2258
.pdfx 2 y 3z 64x y 4z 9 .
3x 5y 2 y 10
Решение. Найдем матрицу-столбец неизвестных
X A 1 B .
Определитель системы:
|
1 |
2 |
3 |
=1 |
|
1 4 |
|
2 |
|
4 |
4 |
|
3 |
|
4 1 |
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
5 |
2 |
|
|
5 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41≠0.
Алгебраические дополнения:
|
|
|
1 1 |
|
1 |
4 |
|
|
18; |
|
|
|
|
A |
( 1) |
2 1 |
2 |
|
|
|
3 |
11; |
||||||||||||||
A ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A ( 1) |
3 1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
15; |
|
|
|
|
A |
1 2 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
4; |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A ( 1)2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ( 1)3 2 |
|
|
1 3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 3 |
7; |
|
|
|
|
|
|
8; |
||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
17; |
|
|
|
|
A |
( 1) |
2 3 |
|
|
1 2 |
|
|
1; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
A ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A ( 1)3 3 |
1 2 |
7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
18 |
|
|
11 5 |
6 |
|
|
|
|
|
108 99 50 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
|
4 |
|
|
|
7 8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
24 63 80 |
|
|
|
|||||||||||||||||
41 |
|
|
|
|
41 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
17 |
|
|
|
|
1 7 |
|
|
|
|
|
|
102 9 70 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x=1; y=1; |
z=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
Другой метод решения системы уравнений (3.5) основан на теореме Крамера. Рассмотрим его на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными.
a11x a12 y a13 z b1a21x a22 y a23 z b2 .
a31x a32 y a33 y b3
Составим определитель системы
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
a23 |
, |
|
|
(3.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
а также вспомогательные определители |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
|
a11 |
a12 b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
b2 |
a22 a23 |
|
|
y |
a21 |
b2 |
a23 |
|
z |
a21 |
a22 b2 |
|
|
||||
|
b3 |
a32 a33 |
|
, |
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
, |
|
a31 |
a32 b3 |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема |
3.3. |
(теорема |
Крамера). |
Если |
определитель |
системы отличен от нуля, то система линейных уравнений (3.6) имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера
x |
|
x |
, y |
y |
, z |
|
z |
. |
(3.9) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Если определитель системы равен нулю 0 , а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений несовместна.
Если определитель системы |
0 , и все вспомогательные |
определители равны нулю x |
0 , 0 , 0 , то система |
уравнений имеет бесчисленное множество решений.
Пример 3.2. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера
21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y 3z 6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z 9 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5y 2 y 10 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Решим систему, применяя формулы Крамера. |
|||||||||||||
Определитель системы: 41 отличен от нуля, |
следовательно, |
|||||||||||||||
система имеет единственное решение. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Вычисляем определители: |
x ; y ; |
z : |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
9 |
1 |
4 |
|
|
|
6 ( 18) 2 ( 22) 3 35 108 44 105 41; |
|||||||||
|
|
|
10 5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
4 |
9 |
|
4 |
|
1 ( 22) 6 ( 4) 3 13 22 24 39 41; |
|||||||||
|
|
|
3 |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
4 |
1 |
9 |
|
1 ( 35) 2 13 6 17 35 26 102 41. |
|||||||||||
|
3 |
5 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Тогда: x x / 1, |
y Y / 1, |
z Z / 1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. Метод Гаусса |
|
|
|||||
|
|
|
Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных |
|||||||||||||
преобразований расширенную матрицу системы |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a ... |
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A / B |
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 ... |
amn |
|
|
bm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
привести к ступенчатому виду.
Предположим, что a11 0 . Тогда, умножая первую строку на ( a21 / a11 ) и прибавляя ко второй строке, умножая первую строку на ( a31 / a11 ) и прибавляя к третьей строке, и т.д., получим нулевые
22
элементы в первом столбце под элементом a11 . Далее, подобные операции проводим со второй строкой для получения нулей во втором столбце ниже элемента a22 , который, напоминаем, был
пересчитан на первом этапе. После производим аналогичные операции с третьим столбцом и т.д.
В |
|
результате, |
получаем |
|
|
расширенную |
матрицу, |
|||||||||
соответствующую системе уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l |
x l x |
|
l |
x |
|
l |
x |
|
l |
x |
|
c , |
||||
|
11 1 12 |
2 |
|
1r |
|
r |
1,r 1 |
|
r 1 |
1n |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
l22 x2 l2r xr l2,r 1 xr 1 l2n xn c2 , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
lrr xr lr ,r 1 xr 1 |
lrn xn cr |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
cr 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
cr 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Присутствие хотя бы одного из неверных числовых равенств в нижней части системы говорит о несовместности системы.
Если же все сr 1 , … cm равны нулю, то система уравнений совместна. Тогда эти верные числовые равенства можно опустить.
Переносим в (3.12) все члены, содержащие |
xr 1 ,...xn в правую |
||||||||||||||
часть, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l x l x |
|
l |
x |
|
с l |
x |
|
l |
x |
|
, |
||||
|
11 1 |
12 |
2 |
1r |
|
r |
1 |
1,r 1 |
|
r 1 |
|
1n |
|
n |
|
|
|
l22 x2 |
l2r xr |
c2 |
l2,r 1 xr 1 |
l2n xn , (3.11) |
|||||||||
|
|
|
|
lrr xr cr lr ,r 1 xr 1 lrn xn , |
|||||||||||
|
|
|
|
Здесь ( xr 1 ,...xn ) – свободные переменные, им можно придавать произвольные значения. Неизвестные x1 ,..., xn называются базисными и определяются по значениям свободных неизвестных. Из последнего уравнения находим xr , далее найденное xr подставляем в предпоследнее уравнение, находим
xr 1 и т.д..
Пример 3.3. Решить систему уравнений:
23
x 2 y 3z 63x 5 y 3z 1.2x 7 y z 8
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
1 |
2 |
3 |
|
6 |
|
|
|
||||||
|
3 |
- 5 |
3 |
|
1 |
|
|
|
. |
||||
|
2 |
7 |
-1 |
|
8 |
|
|
|
|
||||
|
Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-3) и складываем со 2-й строкой. Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-2) и складываем с 3-й строкой. Получаем:
1 |
2 |
3 |
|
6 |
|
|
|
||||||
|
0 |
-11 |
- 6 |
|
-17 |
|
|
|
. |
||||
|
0 |
3 |
- 7 |
|
- 4 |
|
|
|
|
||||
|
Умножаем каждый элемент 2-й строки на( 113 ) и складываем с
3-й строкой. Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
0 |
-11 |
|
- 6 |
|
-17 |
. |
|
|
|
|
|
95 |
|
|
95 |
|
|
|
0 |
- |
|
- |
|
||
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
Тогда r(A) = r(A/B) |
=3 |
– система совместна. Полученной |
||||
матрице соответствует система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y 3z 6 |
|
|
||||
|
-11y 6z -17 , |
|||||
|
||||||
|
|
|
95 |
|
95 |
|
|
- |
|
z - |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
11 |
|
11 |
|
откуда обратным ходом получаем z = 1; y=1; x=1.
Пример 3.4. Решить систему уравнений:
24
x y z 1
2x y z 2 .3x 2 y 2z 3
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|||
|
3 |
2 |
2 |
|
r(A)=2; r(A/B)= 2
1 |
1 1 |
1 1 |
1 1 |
1 |
|
1 |
|||||
|
|||||||||||
2 |
~ |
0 |
-1 |
-1 |
0 ~ |
|
0 |
-1 -1 |
|
0 , |
|
|
|
0 |
-1 |
-1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
3 |
|
0 |
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
=> система совместна. Тогда |
|
|
|
|
|||||||
x y z 1 |
|
x y z 1 |
|
|
|
||||||
|
- y - z 0 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
||
|
|
|
y -z |
|
|
|
где z – свободная переменная, z = t, тогда x =1, y = -t, z = t.
Вопросы для самопроверки
1.Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?
2.Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?
3.Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
4.Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?
5.При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?
6.Что можно сказать о системе линейных уравнений, если
ееопределитель равен нулю?
7.При каком условии система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?
8.Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
9.В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?
25
4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
4.1. Понятие вектора
Во многих математических и прикладных задачах
рассматривается направленный |
отрезок, называемый вектором, |
|
|
обозначаемый либо a , либо AB с указанием начальной точки A |
|
(точки приложения) и конечной точки B . |
|
|
В |
А |
AB |
Рис. 2
Длина (модуль) вектора AB обозначается | AB | .
Вектор 0 называется нулевым, если имеет длину, равную нулю. Нулевой вектор не имеет определенного направления.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на
одной прямой, либо на параллельных прямых. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||
|
|
|
|
||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
b |
a |
a |
a |
|||
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ортом |
произвольного |
ненулевого |
вектора |
c называется |
|
|
|
|
|
|
|
единичный вектор, коллинеарный c и имеющий одинаковое с c направление.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковые направления.
26
В декартовой системе координат радиус-вектор, вектор, выходящий из начала координат, характеризуется координатами
OA {x, y, z}, совпадающими с координатами точки A(x, y, z) .
Если известны координаты точек начала |
и конца |
вектора |
||||||||||
A(x1, y1, z1 ) ; |
B(x2 , y2 , z2 ) , |
то AB {x2 x1, y2 y1, z2 z1} то |
||||||||||
координаты вектора |
AB равны разностям координат конца и начала |
|||||||||||
вектора. |
|
Длина |
|
|
вектора |
AB |
равна |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| AB | (x |
2 |
x )2 |
( y |
2 |
y )2 (z |
2 |
z )2 . |
|
|
|||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
Обычно рассматриваются свободные векторы, которые могут быть перенесены в любую точку пространства параллельно самим себе. Три вектора называют компланарными, если они лежат в одной плоскости.
4.2.Линейные операции над векторами
4.2.1.Операция сложения векторов
|
|
|
|
|
|
Правило треугольника: |
Суммой двух векторов |
|
a и |
b |
|
|
|
|
|
|
|
называется вектор a |
b , идущий из начала вектора a |
в конец |
|||
|
|
|
|
|
|
вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a .
b
ab
a
Рис. 4
Свойства операции сложения векторов
1.a b b a (переместительное свойство);
2.(a b ) c a ( b c ) (сочетательное свойство);
27
|
|
|
|
3. a |
O a , где O - ноль-вектор. |
4.Наличие для каждого вектора a противоположного ему
|
|
|
|
|
|
вектор a такого, что a a 0 (противоположный вектор – вектор |
|||||
|
|
|
|
|
|
коллинеарный вектору |
a , но |
имеющий |
противоположное |
||
направление). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операция вычитания векторов |
a b сводится к сложению |
||||
|
|
|
|
|
|
вектора a с противоположным вектором ( b) . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Разность a |
b приведенных к общему началу векторов a и |
||||
|
|
|
|
|
|
b представляет |
собой |
вектор, идущий |
из |
конца вычитаемого |
|
|
|
|
|
|
|
вектора b в конец уменьшаемого вектора a .
b
ab
a
Рис. 5
4.2.2. Операция умножения вектора на вещественное число
|
|
|
|
|
Произведением a |
(или a |
) вектора a |
на вещественное |
|
|
|
|
|
|
число называется вектор b , коллинеарный вектору a , имеющий |
||||
|
|
|
|
|
длину, равную | |
| | a | , и |
направление, |
совпадающее с |
|
|
|
|
0 или противоположное – в |
|
направлением вектора |
a |
в случае |
случае 0 .
28
Геометрический смысл: при умножении вектора a на число
|
|
|
|
|
, вектор a «растягивается» в раз (при 1 ) или «сжимается» |
||||
|
|
|
|
|
(при 0 1). При 0 вектор a еще и меняет направление. |
||||
Свойства: |
|
|
||
|
|
|
|
|
1. |
(a |
b ) |
a b (распределительное свойство ). |
|
|
|
|
|
|
2. |
( ) a |
a |
a (распределительное свойство ). |
3.( a ) ( ) a (сочетательное свойство ).
|
|
|
|
Теорема: Если вектор b |
коллинеарен |
вектору a , то |
|
существует вещественное число |
|
|
|
, такое, что b |
a . |
4.3. Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости и в пространстве
|
|
|
|
|
|
|
Линейной комбинацией |
n векторов a1 , |
a2 , …, an |
называется |
|||
сумма вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a1 |
2 a2 |
... n an , |
|
(4.1) |
где 1, 2 , ... n - любые вещественные числа.
Векторы a1 , a2 , …, an называются линейно зависимыми, если найдутся такие отличные от нуля вещественные числа1, 2 , ... n , что линейная комбинация указанных векторов обращается в нуль, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a1 |
2 a2 |
... n an 0 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы a1 , |
a2 , …, |
an |
называются линейно независимыми, |
если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда все числа 1, 2 , ... n равны нулю.
29