2258
.pdfТеорема. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторы линейно зависимы, то все n векторов линейно зависимы.
Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Теорема . Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.
4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису
Базисом в пространстве называется максимально возможная по количеству линейно независимая система векторов. В
трехмерном пространстве три некомпланарных вектора a , b , c (некомпланарность делает векторы линейно независимыми) образуют базис. Добавление в систему векторов четвертого вектора
d превращает систему векторов в линейно зависимую, вследствие
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чего |
вектор |
d может |
быть |
представлен в |
виде линейной |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комбинации векторов a , |
b , |
c , т.е. для любого d |
найдутся такие |
|||||
вещественные числа , , , что справедливо равенство: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
a b |
c , |
(4.2) |
||
|
, , называются координатами вектора |
|
||||||
где |
d относительно |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базиса a , |
b , |
c . |
|
|
|
|
|
Два линейно независимых вектора (не коллинеарных) a и b образуют в двухмерном пространстве (на плоскости) базис, и любой
вектор c может быть представлен в виде некоторой линейной
комбинации векторов a и b , т.е.
|
|
|
|
c |
a |
b |
(4.3) |
|
|
|
|
Каждый вектор d |
может |
быть |
единственным способом |
разложен по базису векторов.
30
При задании базиса линейные операции над векторами становятся обычными линейными операциями над числамикоординатами этих векторов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. |
При |
сложении |
двух векторов |
|
d 1 |
и d 2 их |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты относительно любого базиса a , |
b , |
c |
складываются. |
||||||||
|
|
|
|
на любое число все его координаты |
|||||||
При умножении вектора d |
|||||||||||
умножаются на это число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если d1 1 a |
1 b 1 c 1 , 1 , 1 , а d2 |
{ 2 , 2 , 2 }, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то d 1+ d 2 1 |
2 , 1 2 , 1 2 , а d 1 1 , 1 , 1 . |
||||||||||
|
4.5. Проекция вектора на ось и ее свойства |
|
|
||||||||
|
Проекцией |
вектора |
|
|
|
|
называется |
величина |
|||
|
a AB на ось |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направленного отрезка A1 B1 |
оси u, обозначаемая как при а . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
B1 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол наклона вектора |
|
|
|
|
|
|
|
между |
||
|
a AB к оси u – это угол |
||||||||||
вектором AB и осью u. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Теорема 1. Проекция вектора a на ось u равна длине вектора |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a , умноженной на косинус угла |
наклона вектора a к оси u. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
при а |
а |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
Теорема 2 (Линейные свойства проекций). При сложении
двух векторов d1 и d2 их проекции на произвольную ось
складываются. При умножении вектора d1 на любое число
проекция этого вектора на произвольную ось также умножается на число .
4.6. Декартова прямоугольная система координат
Декартова прямоугольная система координат представляет собой три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей: ось Оx – ось абсцисс; ось Оy – ось ординат; ось Оz – ось аппликат.
z
A
O
y
x
Рис. 7
Направленный отрезок OA называется радиус-вектором. Декартовой прямоугольной системе координат отвечает
тройка взаимно ортогональных единичных базисных векторов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ортов) i , |
j , |
k . |
Для |
произвольного вектора |
|
d найдется |
|||
единственная |
тройка |
чисел x, y, z такая, |
что будет |
справедливо |
|||||
равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
xi |
y j z k , |
|
|
(4.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
{1,0,0} , |
j {0,1,0} , k |
{0,0,1} , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
{x, y, z}. |
|
x, y, z – декартовы прямоугольные координаты d , d |
|||||||||
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
Теорема 3. Декартовы прямоугольные координаты x, y, z
вектора d равны проекциям этого вектора на оси Оx , Оy , Оz соответственно, т.е. | OA | x; | OB | y; | OC | z
|
z |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
x |
A |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
|
Обозначим , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
углы наклона вектора d |
к осям Ox, Oy, |
||||||
Oz. Числа cos , |
cos , |
cos |
принято называть направляющими |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
косинусами вектора d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из теоремы 2 и теоремы 3 вытекает, что |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x | d | cos |
; |
y | d | cos ; |
z |
| d | cos . |
(4.5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, |
что |
|
|
d |
- диагональ |
прямоугольного |
параллелепипеда, имеем выражение длины вектора, а также направляющих косинусов через его координаты
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 |
|
|||||||||||
| d | |
(4.6) |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 y2 |
z2 |
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x2 y2 |
z2 |
|
|||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 y2 |
z2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенств (4.7) следует, что сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1
|
|
cos2 cos2 cos2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.1. Образуют ли векторы a, b, c базис в трехмерном |
|||
|
|
|
8; 5;13 по базису векторов |
|
пространстве ? Разложить вектор d |
||||
|
|
|
|
|
a |
2;1;3 ,b |
3;5; 1 , c 1;1;2 . |
|
|
Решение. Три вектора в пространстве R3 могут образовать
базис, если они некомпланарны.
Найдем смешанное произведение векторов a, b, c :
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 1 |
2 11 1 5 3 8 41 0 , |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
следовательно |
векторы |
|
некомпланарны |
|
и |
образуют |
базис в |
|||||||||||||||||||||||
пространстве. |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, , |
координаты |
||||||||||||||
|
|
d |
a |
b c ,где |
||||||||||||||||||||||||||
вектора |
|
|
базисе |
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
d в |
|
a, b, c . Найдем эти координаты, |
||||||||||||||||||||||||||||
составив и решив систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая ее методом Гаусса, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 3 |
1 |
|
|
|
8 |
|
1 5 1 |
|
|
5 |
1 |
|
5 |
|
1 |
|
5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
8 |
|
|
|
|
7 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
1 5 1 |
|
|
|
5 |
|
~ |
2 |
|
~ |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
~ |
|||||||||||||
|
3 |
1 2 |
|
|
13 |
|
|
|
3 |
1 2 |
|
|
13 |
|
|
0 |
|
16 |
1 |
|
28 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 1 |
5 |
|
|
|
5 |
|
1 1 |
5 |
|
|
|
5 |
|
1 1 |
5 |
|
|
|
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
16 |
|
|
||||||
|
0 |
|
2 |
|
|
~ |
16 |
28 |
|
~ |
|
0 |
28 |
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
|
0 0 41 |
|
|
|
|||||||
|
1 |
16 |
|
|
|
|
0 3 |
|
|
|
|
|
|
82 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
16 28 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, d |
a |
2b |
4c . |
|
|
||
4.7. Формулы деления отрезка в данном отношении |
|||||||
Рассмотрим |
в |
пространстве две |
точки |
M1 , M 2 и |
|||
направленный отрезок M1M 2 , соединяющий эти точки. |
|||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
M M2 |
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2x |
Y |
|
|
|
|
|
|
Mx |
|
|
|
|
|
M1 |
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
Пусть |
точка |
M |
делит |
отрезок |
M1 M 2 |
в отношении |
M1M . MM 2
Обозначим проекции точек M1, M , M 2 |
на координатную ось |
|||||||||||||||||||||
Оx как x , x, |
x |
|
. Тогда |
x x1 |
|
, или |
|
x |
x1 x2 |
. |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
x2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
По аналогии имеем |
y |
y1 y2 |
|
|
; |
z |
|
z1 |
z2 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||
Общеизвестный случай координат точки, делящей отрезок |
||||||||||||||||||||||
пополам, получается при =1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
x1 x2 |
; |
y |
y1 y2 |
|
; |
z |
z1 |
z2 |
. |
(4.8) |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.8. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число,
|
|
обозначаемое как a b |
или ( a, b ) , и равное произведению длин |
этих векторов на косинус угла между ними..
|
|
|
|
|
|
|
|
( a, b ) | a | |
| b | cos , |
(4.9) |
|
где |
|
|
|
|
|
- угол между a |
и b . |
|
|
|
|
|
Физический смысл – скалярное произведениеэто работа |
||||
|
|
|
|
|
|
вектора силы a вдоль вектора перемещения b . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Произведение | b | cos |
прa b - есть проекция вектора b на |
|||
|
|
|
|
|
|
ось, |
определяемую |
вектором |
a . |
Таким образом, |
скалярное |
произведение двух векторов равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую
первым из указанных векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.10) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a,b |
a |
пр b |
|
b |
|
пр a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
| a |2 |
( a, a ) . |
|
|
(4.11) |
|||||||
Свойства скалярного произведения |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. ( a, b ) ( b, a ) |
|
(Коммутативность |
скалярного |
|||||||||||
произведения). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
( a, b ) ( a, b ) (сочетательное |
свойство |
относительно |
|||||||||||
числового множителя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
( a |
b , c) ( a, c ) ( b, c ) |
|
(распределительное |
||||||||||
свойство относительно суммы векторов). |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.( a, a ) 0 , если a - ненулевой вектор,
5.Координатное представление скалярного произведения.
36
|
|
|
|
|
|
|
При координатном представлении векторов a ax , ay , az , |
||||
|
bx , by ,bz скалярное произведение этих векторов равно сумме |
||||
b |
|||||
произведений их соответствующих координат, то есть |
|
||||
|
|
|
ay by |
az bz , |
|
|
(a |
b) ax bx |
(4.12) |
||
|
6. Условие равенства нулю скалярного произведения. |
||||
|
Теорема. Необходимым |
и |
достаточным |
условием |
ортогональности двух векторов является равенство нулю их
скалярного произведения. |
|
|
|
|
|
|
ay by |
az bz |
|
(a |
b) ax bx |
0 . |
Действительное векторное пространство с определенным нами скалярным произведением называется евклидовым пространством.
7. Скалярное произведение вектора самого на себя рано квадрату модуля:
|
|
2 |
ay |
2 |
az |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
(a |
a) ax |
|
|
|
|
a |
|
|
. |
|||
Угол между векторами определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
x1x2 |
y1 y2 z1z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4.13) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 z 2 |
|
x |
2 |
y |
2 z |
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 4.2. Какому условию должны удовлетворять векторы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a и b , чтобы вектор a |
b был перпендикулярен вектору a b ? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . Пользуясь |
||||||||||||
|
Решение. Если a |
|
b a |
b , то a |
b , a b |
|||||||||||||||||||||||||||||
свойствами |
скалярного |
|
произведения, |
|
|
|
получим |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
0 , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
, a |
b |
a, a |
a,b |
b, a |
b,b |
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример 4.3. Дан треугольник с вершинами |
A (-3,5,6), |
B (1,- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5,7), C (8,-3,-1). Найти косинус внутреннего угла при вершине A . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
Внутренний |
угол треугольника |
при вершине A |
равен углу между векторами AB и AC .
37
|
Найдя |
координаты |
|
указанных |
векторов: |
AB 4, 10,1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
AC 11, 8, 7 , по формуле (4.14) вычисляем косинус угла А: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos cos(AB; AC) |
|
|
|
|
|
4 11 ( 10)( 8) 1( 7) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
42 ( 10)2 |
12 |
112 ( 8)2 ( 7)2 |
|
2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример |
4.4. |
|
Даны |
три |
|
вектора |
|
|
|
|
|
|
a i |
2 j 2k , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
2i j |
2k , |
c |
10i |
|
4 j |
2k . Найти пр (b c) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Определим вектор: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
b |
c (2i |
j |
2k ) |
(10i |
4 j |
2k ) 12i |
5 j |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
В соответствии с формулой находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 12 ( 2)5 2 0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a(b c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
пр |
(b |
c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 ( 2)2 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a | |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
4.9. Векторное произведение векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторным |
произведением |
вектора |
|
|
a |
|
|
на |
|
вектор |
b |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
называется |
вектор |
|
c , обозначаемый |
символом |
c |
|
[ a |
b ] |
и |
||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющий трем требованиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1) |
|
длина |
вектора |
|
c |
равна |
|
произведению |
длин |
|
векторов |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
и b на синус угла между ними, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
| c | |
| [ a |
b ] | | a | | b | sin |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.14) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2) |
|
вектор c |
ортогонален к каждому из векторов a |
и b ; |
|
3) вектор c направлен так, что если смотреть с конца векто
ра c , то поворот от первого вектора ко второму на наименьший угол будет производиться против часовой стрелки.
38
Физический смысл векторного произведения: вектор c есть
момент силы b , приложенной в точке M , относительно точки O ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из которой в точку M идет вектор a . |
|
||||||||
Свойства векторного произведения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
[ a |
b ] [ |
b |
a ] (свойство антикоммутативности). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
[ ( a) b ] |
[ a |
b ] |
(сочетательное (ассоциативное) |
|||||
свойство). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
[ ( a b ) c ] [ |
a |
c |
] [ b |
c ] (распределительное |
(дистрибутивное) свойство).
4. для обращения в ноль-вектор векторного произведения ненулевых векторов необходима и достаточна коллинеарность этих векторов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. [ a |
a ] 0 |
для |
любого вектора |
a , |
так как вектор |
a |
||
коллинеарен сам себе. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Длина (или модуль) векторного |
произведения [ a |
b ] |
||||||
равняется |
площади |
S |
параллелограмма, |
построенного |
|
на |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приведенных к общему началу векторах a и |
b . |
|
|
|
Выражение векторного произведения в декартовых координатах
|
{ x1 , y1 , z1} и |
|
{ x2 , y2 , z2 } |
Для двух векторов a |
b |
векторное произведение векторов в координатном представлении имеет вид
|
|
|
|
|
|
[ a |
b ] {( y1z2 |
y2 z1 ),(z1x2 |
z2 x1 ),(x1 y2 |
x2 y1 )} |
(4.15) |
или же
39