- •1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Основные понятия теории вероятностей
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.8. Противоположные события
- •1.11. Условная вероятность
- •Замечание. Справедливо равенство
- •Искомая вероятность
- •Искомая вероятность
- •1.16. Формула полной вероятности
- •1.17. Вероятность гипотез. Формулы Байеса
- •Отсюда
- •1.19. Локальная теорема Лапласа
- •1.20. Интегральная теорема Лапласа
- •1.21. Распределение Пуассона
- •Пример 1.32. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж X автомашин в течение дня подчиняется закону распределения
- •Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания:
- •Искомая дисперсия
- •Пример 1.35. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 1.31.
- •Решение. Закон распределения случайной величины X2 имеет вид
- •Математическое ожидание М (X2) подсчитывается из этой таблицы:
- •Математическое ожидание М (X)=2,675. Используя формулу (1.7), получаем искомую дисперсию
- •Рассмотрим свойства функции распределения.
- •Решение. Искомая вероятность
- •Итак, искомая функция распределения
- •Свойства плотности распределения.
- •Вопросы для самопроверки
Пример 1.35. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 1.31.
Решение. Закон распределения случайной величины X2 имеет вид
Х2 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
р0,25 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,05 0,05 0,025 0,025.
Математическое ожидание М (X2) подсчитывается из этой таблицы:
М (X2) = 0 0,25+1 0,2+4 0,1+9 0,1+16 0,1+25 0,1+ +36 0,05+49 0,05+64 0,025+81 0,025=13,475.
Математическое ожидание М (X)=2,675. Используя формулу (1.7), получаем искомую дисперсию
D(X)=M(X2)-[M(X)]2=13,475 – 7,156 = 6,319.
Рассмотрим свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
D(C)=0.
Это свойство объясняется тем, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния не имеет.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(СX)=С2 D(X).
Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсией этих величин:
D(X+Y)= D(X)+D(Y).
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно неза-
46
висимых случайных величин равна сумме дисперсией этих величин.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:
Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией:
D(X-Y)= D(X)+D(Y).
1.22.6. Среднее квадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служит еще и другая характеристика, называемая средним квадратическим отклонением.
Средним квадратическим отклонением случайной вели-
чины Х называют квадратный корень из дисперсии:
X D X .
Размерность X совпадает с размерностью Х, поэтому
в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют средне квадратическое отклонение, а не дисперсию.
1.22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
Функцией распределения называют функцию F(x), опре-
деляющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.
F(x)=Р(Х<x).
47
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Рассмотрим свойства функции распределения.
Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:
0 F x 1.
Свойство 2. F(x) – неубывающая функция, т.е.
F x2 F x1 , если x2 x1 .
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(a X b) F b F a .
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.
Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b),то 1) F(x)=0 при x a ;
2) F(x)=1 при x b .
Следствие. Если возможные значения непрерывной слу-
чайной величины расположены на всей |
F(x) |
||||
оси х, то справедливы следующие пре- |
|||||
1 |
|
|
|||
дельные соотношения: |
x |
||||
|
|||||
|
|
|
|||
lim |
F(x)=0; lim F(x)=1. |
a 0 b |
|||
x |
x |
Рис. 1 |
|||
График |
функции распределения |
||||
|
|
|
непрерывной случайной величины расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 и изображен на рис. 1. График
48
функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.
Непрерывную случайную величину можно задать, используя кроме функции распределения F(x), функцию, назы-
ваемую плотностью распределения или плотностью вероятности.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):
f(x)= F x .
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b :
b
P a X b f x dx .
a
Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.
Пример 1.36. Задана плотность распределения вероятности случайной величины Х
|
0 |
при |
x 0 , |
f(x)= |
2х |
при |
0 x 1 , |
|
|
49 |
|