2536
.pdf5.13 |
y = (arccos5x)ln( x) |
5.14 |
y = (arctg2x)sin x |
|||
5.15 |
y = (ln(x + 7))ctg 2 x |
5.16 |
y = (ctg(7x + 4)) x+3 |
|||
5.17 |
y = (th |
x +1) arctg (2 x) |
5.18 |
y = (cth(1/ x))arcsin 7 x |
||
5.19 |
y = (cos(x + 5))arcsin 3x |
5.20 |
y = ( x + 5)arccos3x |
|||
5.21 |
y = (sin 4x)arctg (1/ x) |
5.22 |
y = (tg3x 4 ) |
x+3 |
||
5.23 |
y = (ctg 2x3 )sin |
x |
5.24 |
y = (tg7x5 ) |
x+2 |
|
5.25 |
y = (arccos(x)) |
cos( x) |
5.26 |
y = (ctg7x)sh(3x+1) |
||
5.27 |
y = (sh5x)arctg ( x+2) |
5.28 |
y = (arctg(x))th(3x+1) |
|||
5.29 |
y = (cth |
x )sin( x+3) |
5.30 |
y = (sh3x)arcctg 2 x |
Задача 6. Найти производную функции (логарифмированием):
6.1 |
y = (arccos(x + 2))tg 3x |
6.2 |
|
y = (arcsin 2x)ctg ( x+1) |
6.3 |
y = (arctg(x + 7))cos 2 x |
6.4 |
|
y = (arcctg(x −3))sin 4 x |
6.5 |
y = (ctg(3x − 2))arcsin 3x |
6.6 |
y = (tg(4x −3))arccos 2 x |
|
6.7 |
y = (cos(2x −5))arctg 5 x |
6.8 |
y = (sin(7x + 4))arcctg ( x) |
|
6.9 |
y = (arcsin 2x)ln( x+3) |
6.10 |
y = (arccos3x)lg(5 x−1) |
|
6.11 |
y = (arctg5x)log2 ( x+4) |
6.12 |
y = (arctg7x)tg ( x+1) |
|
6.13 |
y = (log4 (2x + 3))arcsin( x) |
6.14 |
y = (log5 (3x + 2))arccos(x) |
|
6.15 |
y = (lg(7x −5))arctg 2 x |
6.16 |
y = (ln(5x − 4))arcctg ( x) |
|
6.17 |
y = (log2 (6x + 5))arcsin 2 x |
6.18 |
y = (lg(4x −3))arccos 4 x |
|
6.19 |
y = (ln(7x −3))arctg 5 x |
6.20 |
y = (log5 (3x + 5))arctg ( x) |
|
6.21 |
y = (sin(8x − 7))ctg ( x+3) |
6.22 |
y = (cos(3x +8))th( x−7) |
|
6.23 |
y = (tg(9x + 2))ch(2 x−1) |
6.24 |
y = (ctg(7x + 5))sh(3x) |
|
6.25 |
y = (sh(3x −7))cos( x+4) |
6.26 |
y = (ch(2x −3))tg ( x+5) |
|
6.27 |
y = (th(7x −5))sin( x+2) |
6.28 |
y = (ch(3x + 2))cos( x+4) |
|
6.29 |
y = (ln(7x + 4))tg ( x) |
6.30 |
y = (lg(8x + 3))tg 5x |
171
Задача 7. Найти производную функции (логарифмированием):
7.1 |
y |
= |
x + 7(x −3)4 |
|
||||
(x |
|
+ 2)5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
7.3 |
y = |
(x − 2)3 |
(x −3) |
5 |
||||
|
(x |
+ 2)5 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
||||
7.5 |
y = |
(x + 2)7 |
(x −3)3 |
. |
||||
|
(x +1)5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
7.7 |
y = |
(x −3)2 |
|
x |
+ 4 |
. |
|
|
|
(x + |
|
2)7 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
7.9 |
y = |
(x +1)8 |
(x −3)2 |
|
|
|||
|
(x + 2)5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
5(x + 4)3
7.11y = (x −1)2 (x + 3)5
7.13 |
y = |
(x + 2)3 |
(x −1)4 |
|
(x + 2)7 |
||||
|
|
|||
7.15 |
4 |
x −8(x + 2)6 |
||
y = |
(x −1) |
5 |
||
|
|
7(x − 2)4
7.17y = (x +1)2 (x −6)5
7.19 |
y = |
x2 + 2x −3 |
|
|
(x + 3)7 (x − 4) |
2 |
|||
|
|
|||
7.21 |
y = |
(x + 4)3 (x − 2)4 |
||
|
|
3(x − 2)5
7.23y = (x −1)4 (x −7)2
3 (x + 2)5
7.2 y = |
(x −3)5 (x + 2)3 |
|
|
||||
|
|
(x −1)3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
7.4 |
y = |
(x + 3)5 |
(x − 2) |
2 |
. |
||
|
(x +1)7 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
7.6 |
y = |
(x −1)4 (x + 2)5 |
|
. |
|||
|
3 (x − 4)2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
7.8 |
y = |
|
(x − 7)10 |
3x −1 |
. |
||
|
|
(x + |
3)5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
7.10 |
y = |
(x + 2)(x −7)4 |
|
|
|||
|
3 (x −1)4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
7.12 |
|
|
|
3 (x −1)7 |
|
|
|
y = (x +1)5 (x −5)3 |
|
|
|||||
7.14 |
y = |
3 |
(x − 2)5 (x + 3)2 |
||||
|
(x |
− 7)3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
7.16 |
y = |
5 |
x +1(x −3)7 |
|
|
||
|
(x +8)3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
7.18 |
|
|
|
5 (x +1)2 |
|
|
|
y = (x −3)4 (x − 4)3 |
|
3(x − 2)4
7.20y = (x −5)(x +1)7
7.22y = (x −1)6 (x + 2)3
5(x +3)2
7.24y = (x + 7)2 (x −3)5
x2 +3x −1
172
7.25 |
3 |
x −3(x + 7)5 |
y = |
(x − 4)2 |
|
|
|
|
7.27 |
5 |
(x − 2)3 (x −1) |
y = |
(x +3)4 |
|
|
|
6(x −1)5
7.29y = (x + 2)4 (x −5)7 .
Задача 8. Найти y′ и
8.1y2 =8x2 + 3 x4
8.3 |
y = x + arctg( y) |
|||
8.5 |
y 2 |
= 25x − 4 |
|
|
8.7 |
y 2 |
− x = cos( y) |
||
8.9 tg( y) = 3x +5y |
||||
8.11 |
y = e y + 4x |
|
||
8.13 |
y 2 + x2 |
= sin( y) |
||
8.15 |
4sin 2 (x + y) = x |
|||
8.17 |
tg( y) = 4 y −5x |
|||
8.19 |
xy −6 = cos y |
|||
8.21 |
y 2 = x + ln( y / x) |
|||
8.23 |
x2 y 2 + x = 5y |
|||
8.25 |
sin y = xy 2 + 5 |
|||
8.27 |
|
x + |
y = |
7 |
8.29 |
sin 2 (3x + y 2 |
= 5 |
||
Задача 9. Найти |
y′x и |
9.1x = (2t +3) cos t,
y = 3t 3 .
x = 6 cos3 t,
9.3
y = 2sin3 t.
7.26 |
y = |
x +10 |
(x −8)3 |
||
(x −1) |
5 |
||||
|
|
||||
7.28 |
4 |
(x =1)3 |
(x − 2)5 |
||
y = |
(x |
−3)2 |
|||
|
|
5(x + 2)3
7.30y = (x −1)4 (x −3)5 .
y′′ для функции в неявном виде:
8.2x2 / 5 + y 2 / 7 =1
8.4x2 / 5 + y 2 / 3 =1
8.6arcctg( y) = 4x + 5y
8.83x + sin( y) = 5y
8.10xy = ctg( y)
8.12ln y − y / x = 7
8.14e y = 4x − 7 y
8.16sin y = 7x +3y
8.18y = 7x − ctg( y)
8.203y = 7 + xy3
8.22xy 2 − y3 = 4x −5
8.24x4 + x2 y 2 + y = 4
8.26x3 + y3 = 5x
8.28 y 2 = (x − y) /(x + y) 8.30 ctg 2 (x + y) = 5x
y′′x x для параметрической функции:
x = 2 cos2 t,
9.2
y = 3sin 2 t.
9.4 x =1/(t + 2),y = (t /(t + 2))2
173
x = e−2t ,
9.5
y = e4t .
x = 3t /(1 + t 3 ),
9.7
y = t 2 /(1 + t 2 ).
x = 4t + 2t 3 ,
9.9
y = 5t 3 −3t 2 .
x = et cost,
9.11
y = et sin t
x = 5cos t,
y = 4sin t.
9.15x = arctg(t),
y = ln(1 + t 2 ).
x = 3(t −sin t),
y = 3(1 −cost).
9.19x = sin 2t,y = cos2 t
9.21x = (ln t) / t,
y = t 2 ln t.
9.23x =1/(t +1),
y = (t /(t +1))2 .
x = e−3t ,
9.25
y = e8t .
9.27x = ln 2 t,y = t + ln t.
x = 6t 2 − 4,
9.29
y = 3t 5 .
x = t ,
9.6
y = 5 t.
|
|
t |
2 |
−1, |
|
|
9.8 |
x = |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y = (t +1) / t |
−1. |
||||
|
|
x = (ln t) / t,
y = t ln t.
9.12x = t 4 ,
y = ln t.
|
|
5cos |
2 |
|
t, |
|
|||||||
9.14 |
x = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y = |
3sin |
|
t. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x = arcsin t, |
|
|
||||||||||
9.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −t |
2 |
. |
|
|
||||||
|
y = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.18 |
x = 3(sin t −t cos t), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3(cost +t sin t). |
||||||||||||
|
|
|
3t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.20 |
x = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x = arccost, |
|
|||||||||||
9.22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −t |
2 |
. |
|
|
||||||
|
y = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5sin |
3 |
|
t, |
|
|
||||||
9.24 |
x = |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
y = |
3cos |
|
t. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
(t − |
1) |
2 |
, |
|||||||
9.26 x = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
t −1. |
|
|
|||||||
|
y = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
9.28 |
x = te |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t |
/ e |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
9.30 |
x = arcsin t, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ln t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
174
Задача 10. Найти |
y′′′(x0 ) |
для данного аргумента x0 : |
|||
10.1 |
y = sin 2 x, x0 |
= π / 2. |
10.2 |
y = arctg(x), x0 |
=1. |
10.3 |
y = ln(2 + x2 ), x0 = 0. |
10.4 |
y = e x cos x, x0 |
= 0. |
|
10.5 |
y = e x sin 2x, x0 = 0. |
10.6 |
y = e−x cos x, x0 |
= 0. |
10.7 |
y = sin 2x, x0 = π. |
|
10.8 |
y = (2x +1)5 , x0 |
=1. |
||||||
10.9 |
y = ln(1 + x), x0 |
= 2. |
|
10.10 |
y = |
1 |
x2 e x , x0 |
= 0. |
|||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
10.11 |
y = arcsin x, x0 = 0. |
|
10.12 |
y = (5x − 4)5 , x0 |
= 2. |
||||||
10.13 |
y = x sin x, x0 |
= π / 2. |
10.14 |
y = x2 ln x, x0 |
=1/ 3. |
||||||
10.15 |
y = x sin 2x, x0 = −π / 4. |
10.16 |
y = x cos 2x, x0 = π /12. |
||||||||
10.17 |
y = x4 ln x, x0 |
=1. |
|
10.18 |
y = x + arctg, x0 |
=1. |
|||||
10.19 |
y = cos2 x, x0 |
= π / 4. |
10.20 |
y = ln(x2 − 4), x0 |
|
= 3. |
|||||
10.21 |
y = x2 cos x, x0 = π / 2. |
10.22 y = x arccos x, x0 = |
3 / 2. |
||||||||
10.23 |
y = (x +1) ln(x +1), x0 |
= −1/ 2. |
10.24 y = ln3 x, x0 |
|
=1. |
||||||
10.25 |
y = 2x2 , x0 =1. |
|
10.26 |
y = (4x −3)5 , x0 |
=1. |
||||||
10.27 |
y = x * arcctg(x), x0 |
= 2. 10.28 |
y = (7x − 4)6 , x0 |
=1. |
|||||||
10.29 |
x * sin 2x, x0 = π / 4. |
|
10.30 |
y = sin(x3 +π), x0 |
= 3 π . |
Задача 11. Вычислить пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11.1 |
lim |
2x2 |
+3x − 2 |
. |
|
|
|
11.2 lim |
3x2 |
−5x + 2 |
. |
|
|||||||
3x2 |
+ 2x −8 |
|
|
|
|
2x2 − x −1 |
|
||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
||||||||
11.3 |
lim |
10x * 3x2 −8 |
. |
|
|
|
11.4 lim |
2x2 |
− x −3 |
. |
|
|
|
||||||
3x2 |
−8x + 4 |
|
|
|
|
x2 −3x − 4 |
|
|
|
||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
||||||||
11.5 |
lim |
|
7x |
− x2 −12 |
|
. |
11.6 lim |
|
3 − |
8x −3x2 |
|
. |
|
||||||
2x2 |
−11x +15 |
|
|
|
+ x −6 |
|
|
||||||||||||
|
x→3 |
|
|
x→−3 x2 |
|
|
|
||||||||||||
11.7 |
lim |
2x2 |
−17x +35 |
. |
11.8 lim |
|
2x2 |
− x −1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
x2 |
− x − 20 |
|
|
|
|
4 −3x2 − x |
|
|
|
|||||||||
|
x→5 |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
||||||||
11.9 |
lim |
|
2x2 |
−16x +1 |
. |
|
|
11.10 lim |
3x2 + 2x −1 |
. |
|||||||||
|
3x2 +5x − 2 |
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
175
11.11 |
lim |
2x2 |
+ x −3 |
|
. |
|
|
|
|
11.12 lim |
|
4x2 |
+ 2x −3 |
. |
|
|
|
||||||||||||
3x2 |
+ x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ x − 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11.13 |
lim |
3x2 |
+10x + |
5 |
. |
11.14 lim |
|
|
3x2 |
−14x −5 |
|
. |
|||||||||||||||||
|
x2 |
− 2x − |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 6x + |
|
5 |
|
||||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11.15 |
lim |
|
3x2 −6x + |
2 |
|
. |
11.16 |
lim |
|
4x2 +9x + 2 |
|
. |
|||||||||||||||||
|
x2 |
+5x + |
|
6 |
|
|
|
|
x2 |
−3x −10 |
|
|
|||||||||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
11.17 |
lim |
|
5x2 + 4x +1 |
. |
|
11.18 lim |
|
|
|
|
|
x2 |
+ x −6 |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
x2 |
−6x −7 |
|
|
|
|
|
2x2 |
+3x − |
7 |
|
||||||||||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
x→−3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11.19 |
lim |
|
x2 |
|
−5x + 6 |
|
|
. |
|
11.20 lim |
|
|
|
|
|
x2 |
−6x +5 |
|
|
. |
|||||||||
3x2 |
− 4x − |
|
3 |
|
|
2x2 |
−7x −18 |
||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
x→5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
11.21 |
lim |
|
x2 − x −12 |
|
. |
|
|
|
|
11.22 lim |
|
4x2 |
−7x − 2 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
x2 − 4x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 −7x +10 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11.23 |
lim |
|
x2 |
|
− x −12 |
. |
|
|
|
|
11.24 lim |
|
|
3x2 |
+ x + 4 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
+ x −3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11.25 |
lim |
2x2 |
−3x + 2 |
. |
|
11.26 lim |
|
|
3x2 |
+ x − 2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4x −3x2 − |
1 |
|
|
|
|
x2 − 2x +3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11.27 |
lim |
2x2 |
+3x −14 |
. |
11.28 lim |
|
3x2 |
−10x +8 |
. |
||||||||||||||||||||
|
3x2 −7x + |
2 |
|
|
|
2x2 −3x − |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
11.29 |
lim |
3x2 |
− 2x − |
5 |
|
. |
|
11.30 lim |
|
|
2x2 −3x −9 |
|
. |
||||||||||||||||
|
x2 |
|
+5x + 4 |
|
|
3x2 |
−5x −10 |
||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задача 12. Вычислить пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12.1 lim |
|
3x − 2 − 2 . |
|
|
|
|
|
12.2 |
lim |
|
x + 4 −1 . |
|
|
||||||||||||||||
x→2 |
|
x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−3 |
|
3 − 2x −3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
12.3 lim |
|
x2 |
|
+ 4 − 2 |
. |
|
|
|
|
|
12.4 |
lim |
|
z |
+ 6 − 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
9 − x2 −3 |
|
|
|
|
|
|
z 2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12.5 lim |
|
x +13 − 4 . |
|
|
|
|
|
12.6 lim |
|
|
|
|
x − 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→3 |
|
x |
2 |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
2x +1 −3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12.7 lim |
|
9 − x −3 . |
|
|
|
|
|
|
|
12.8 lim |
|
|
|
2x +3 −3. |
|
|
|
|
|
||||||||||
x→0 |
|
x + 4 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
2 − x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
176
12.9 lim |
|
n2 +9 −3 |
. |
|
|
12.10 lim |
5 |
− m2 +9 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
4 − n2 − 2 |
|
|
|
2m +1 −3 |
|
|
|
||||||||||||||||
n→0 |
|
|
|
|
|
|
m→4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12.11 |
lim |
5x +1 − 4 . |
|
|
12.12 lim |
|
4 +3x − |
4 −3x . |
||||||||||||||||
|
x→3 |
x2 −9 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|||||
12.13 |
lim |
5x −1 −3 . |
|
|
12.14 lim |
5x + 4 −3 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
− 2x |
|
|
|
|
|
|
|
2x −1 −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12.15 |
lim |
x3 −8 |
|
|
|
|
. |
|
|
12.16 lim |
|
b −1 − 2 |
. |
|
|
|
|
|||||||
4x +1 −3 |
|
|
2b −1 −3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
b→5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12.17 |
lim |
9 + x −3 . |
|
|
|
12.18 lim |
3a +10 − 4 . |
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
x2 +3 |
|
|
|
|
|
|
|
a→2 |
|
a 2 − 4 |
|
|
|
|
|
|||||||
12.19 |
lim |
9 − m2 |
|
|
|
|
. |
|
12.20 lim |
|
x 2 |
− 49 |
|
|
. |
|
|
|||||||
4m −3 − |
3 |
|
|
2x +11 −5 |
|
|
||||||||||||||||||
|
m→3 |
|
|
x→7 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
12.21 |
lim |
1 + 3z 2 − |
2 |
. |
|
12.22 lim |
|
2x − 2 − 2 |
. |
|
|
|
||||||||||||
z |
2 |
− z |
|
|
|
|
|
|
x +1 − 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
z→1 |
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12.23 |
lim |
1 +3t − 2t + 6 |
. |
12.24 lim |
x3 − |
8 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t→5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t −5t |
|
|
|
2x − 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12.25 |
lim |
6m +1 −5 . |
|
12.26 lim |
|
z −1 − |
|
2 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
m→4 |
m − 2 |
|
|
|
|
|
|
z→3 |
|
2z +3 −3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12.27 |
lim |
|
x −3 |
|
|
|
. |
|
12.28 lim |
|
x2 +9 − |
3 |
. |
|
|
|||||||||
2x − 2 − |
|
|
|
|
|
x2 + 25 −5 |
|
|
||||||||||||||||
|
x→9 |
|
4 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
12.29 |
lim |
3 − n − |
|
|
3 + n . |
|
12.30 lim |
|
a − 4 |
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
n→0 |
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
a→4 |
|
5a +5 − |
5 |
|
|
|
|
||||||
Задача 13. Вычислить пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
13.1 lim |
2a3 − a + |
1 |
. |
|
|
|
|
13.2 lim |
2x2 |
−3x +1 |
. |
|||||||||||||
|
2 + 2a − |
5 |
|
|
|
|
x2 |
+ x − |
4 |
|
||||||||||||||
a→∞ a |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|||||||||||||||
13.3 lim |
|
2z 3 +3z −1 |
|
. |
|
|
13.4 lim |
2n2 |
−3n |
+1 |
. |
|||||||||||||
|
2z 3 + z 2 − 4 |
|
|
n2 + 2n − |
3 |
|||||||||||||||||||
z→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
177
13.5 lim |
3m3 + 2m −5 |
. |
|
|
|
|
13.6 lim |
2z 2 + z −3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
m→∞ m4 +5m2 − |
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ z 2 +3z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
13.7 lim |
3a 2 − 4a +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
13.8 lim |
|
m3 −8m +1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a |
2 + |
3a − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3m3 − m + |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
m→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
13.9 lim |
|
3n2 − 4n +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
13.10 lim |
2 −3z − z |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2n2 + n − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2z 3 |
+ z −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13.11 |
lim |
3n2 |
− |
4n |
5 +1 |
. |
|
13.12 lim |
|
|
4a3 +3a 2 −1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
2n5 |
+ |
3n3 − n |
|
|
|
|
2a3 |
−3a + |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
a→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
13.13 |
lim |
y6 |
−3y 2 − 2 |
. |
13.14 lim |
6z 5 −3z 2 +1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 y 6 + 4 y +5 |
|
3z 5 |
− 2z + |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y→−∞ |
|
|
|
z→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
13.15 |
lim |
|
x3 |
− 4x |
2 +5 |
|
|
. |
13.16 lim |
a 4 −3a 2 + 2 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3x4 + 2x2 − x |
5a 4 |
−3a − |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
z→−∞ |
|
a→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
13.17 |
lim |
|
9b5 |
− 4b3 + 2 |
. |
13.18 lim |
|
3x2 − 4x +1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3b4 − 2b +3 |
|
|
|
|
|
|
|
2x2 −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
b→−∞ |
|
|
|
z→∞ x3 − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
13.19 |
lim |
4n5 |
−3n2 +1 |
. |
|
13.20 lim |
9z 3 − 4z 2 +1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2n5 |
− |
2n +3 |
|
|
|
6z 3 |
+3z + |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13.21 |
lim |
|
3x5 |
− x2 + x |
. |
|
13.22 lim |
|
|
6n3 |
− 2n |
|
+ 7 |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
x4 |
+ |
2x +5 |
|
|
|
|
|
|
−5n + 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z→−∞ |
|
|
|
|
|
|
n→−∞ 3n3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
13.23 lim |
7n4 |
− |
2n |
3 + 2 |
|
. |
13.24 lim |
|
|
3a7 |
+ 6a |
|
−5 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
n4 |
+ 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
4a7 |
+ 2a3 −3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
n→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a→∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13.25 |
lim |
|
8x5 |
−3x2 +9 |
|
. |
|
13.26 lim |
|
|
n4 |
−5n + 2 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
2x5 |
+ |
2x +5 |
|
|
|
|
2n4 |
+3n2 − n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
z→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
13.27 |
lim |
|
6x4 − 4x3 + |
|
8 |
. |
13.28 lim |
|
|
3a 4 |
− 4a |
2 + |
5 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
2x3 −3x2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
z→−∞ |
|
a→−∞ 6a 4 + 2a3 − |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
13.29 |
lim |
6x4 |
− |
4x3 +8 |
. |
|
13.30 lim |
|
|
2z 3 |
+ 7z |
|
− 4 |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
2x3 |
− |
3x2 +1 |
|
|
6z 3 |
−3z 2 + 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
z→∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Задача 14. Вычислить пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
14.1 limsin 3α ctg2α. |
|
|
|
|
|
|
14.2 lim |
1 −cos 4ϕ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ→0 |
|
sin 2 3ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
178
14.3lim arcsin 6β .
β→0 2β
14.5lim arctg5α .
α→0 3α
14.7 lim |
|
sin 2 6x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
tg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14.9 lim |
|
|
|
tg 2 3β |
|
|
. |
|
|
|||||
1 |
|
− cos 4β |
|
|
||||||||||
β→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
14.11 |
lim |
|
tg 2 4x |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
sin 2 3x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14.13 |
lim |
|
1−cos 4x |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
tg 2 5x |
|
|
|
|
|
||||||
14.15 |
lim |
|
cos x −cos3 x |
. |
||||||||||
|
|
4x2 |
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14.17 |
lim |
|
1−cos5x |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
xtg2x |
|
|
|
|
|
||||||
14.19 |
lim |
|
5z |
2 |
|
|
|
|
. |
|
||||
|
sin 3z tg2z |
|
||||||||||||
|
z→0 |
|
|
|
5x
14.21 lim . z→0 arctg3x
14.23lim 1 − cos8α α→0 1 − cos 2α
14.25 |
lim |
α sin 3α |
. |
|
|
|
|||
|
α→0 cosα − cos3 α |
|
||
14.27 |
lim |
arcsin 2 3α |
. |
|
2α sin 5α |
|
|||
|
α→0 |
|
|
|
14.29 |
lim sin2 3x ctg 2 5x. |
|||
|
x→0 |
|
|
|
14.4 lim |
ϕsin 2ϕ . |
|
|
|
||||||
ϕ→0 |
|
tg 2 3ϕ |
|
|
|
|||||
14.6 lim x |
1 −cos 4x . |
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
sin 2 3x |
|
|
|||
14.8 lim |
|
|
|
|
sin 5y |
. |
|
|
||
|
arcsin 2 y |
|
|
|||||||
y→0 |
|
|
|
|
||||||
14.10 lim |
arcsin 2 ϕ |
. |
||||||||
3ϕsin ϕ |
||||||||||
ϕ→0 |
|
|
||||||||
14.12 lim |
1 −cos 4α |
. |
||||||||
|
|
|||||||||
α→0 |
α sin 3α |
|
|
|||||||
14.14 lim |
arctg3x |
. |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||
x→0 |
4x |
|
|
|
14.16 lim |
cos x −cos5x |
. |
|||||
|
|
|
|
||||
|
x→0 |
|
3x2 |
|
|
|
|
14.18 lim sin 5x ctg3x. |
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
14.20 lim sin 8α ctgα. |
|||||||
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
14.22 |
lim tg 2 3x ctg 2 2x. |
||||||
|
z→0 |
|
|
|
|
|
|
14.24 |
lim 3xctg7x. |
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
14.26 |
lim |
|
x sin 2x |
. |
|||
1 − cos 4x |
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|||
14.28 |
lim |
|
xtg2x |
. |
|
||
1 − cos 3x |
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|||
14.30 |
lim |
|
sin 2 3ϕ |
|
. |
|
|
|
arctg 2 2ϕ |
|
|
||||
|
ϕ→0 |
|
|
|
|
179
Задача 15. Вычислить пределы функций:
15.1 |
|
2 − x 2 x+1 |
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→−∞ |
|
|
|
2 + x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −2 x+2 |
||||||||||||
15.3 lim ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
y+2 |
||||||
15.5 |
lim 1 − |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3y − |
|
|
|
|
|||||||
y→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
|
2x − |
3 5−2 x |
||||||||||||||||||
15.7 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
2x + |
|
|
|||||||||||||||||
x→∞ |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1−4 x |
||||
15.9 lim 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 |
||||||||||||
15.11 |
|
|
|
|
2 + x |
3x+1 |
||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→−∞ |
2 − x |
|
|
|
|
||||||||||||||
15.13 |
|
|
|
|
2x +1 x−1 |
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
2x −5 |
||||||||||||||||||||
|
x→−∞ |
|
||||||||||||||||||
15.15 |
|
|
|
|
2x + 3 3x |
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
2x − 2 |
||||||||||||||||||||
|
x→−∞ |
|
|
|||||||||||||||||
15.17 |
lim(2x −3) x2 /( x−2) . |
|||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.19 |
lim(3x − 2)5 x /( x−1) . |
|||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.21 |
|
|
|
|
|
|
2x + |
3 x |
||||||||||||
lim ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
2x −1 |
||||||||||||||
15.23 |
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
n+3 |
||||||||||
lim ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
n |
+ 2 |
||||||||||||||
15.25 |
|
5x +1 x−4 |
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ 5x −1 |
|
|
|
|
15.2 lim 3x +1 3x−4 . x→∞ 3x −1
15.4 |
|
|
4x −3 2 x+3 |
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→−∞ 4x +1 |
|
||||||||||||||
|
2x −1 3x−2 |
|
||||||||||||||
15.6 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→∞ 2x + 5 |
|
|
||||||||||||||
|
3x −1 2 x−4 |
|||||||||||||||
15.8 lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→∞ 3x + 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1−6 x |
|||||
15.10 lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
3x |
− 4 |
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
+ 2 |
2 x+3 |
|
||||||||||||
15.12 lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
+ 3 |
|
||||||||||||
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
− 4x x+3 |
||||||||||||||
15.14 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
1 |
− 4x |
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
||||||||||||
|
2x −3 x |
|
||||||||||||||
15.16 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
2x −1 |
|
||||||||||||
15.18 |
|
|
|
|
4x + |
5 x+3 |
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
4x − |
|
|
||||||||||||||
|
x→−∞ |
1 |
|
15.20 lim(3x −8)( x+1) /( x−3) .
x→3
15.22 lim 3x − 2 x−1. x→∞ 3x + 4
15.24 lim 2x + 4 x−3 . x→∞ 2x − 4
15.26 lim(3x − 2)x /( x2 −1) .
x→1
180