2539
.pdfФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
И.Н. Пантелеев
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ: ПРАКТИКУМ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2011
УДК 681.3.06(075)
Пантелеев И.Н. Высшая математика. Кратные интегралы и векторный анализ: практикум / И.Н. Пантелеев.
Воронеж: ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. – 220 с.
Учебное пособие включает материал, необходимый для подготовки к практическим занятиям по курсу высшей математики в третьем семестре. Содержит краткий теоретический материал по методам вычисления кратных интегралов, векторному анализу и теории поля с приложениями к задачам геометрии, механики и физики, а также большое количество примеров, иллюстрирующих основные методы решения.
Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям 280100 «Безопасность жизнедеятельности», 280200 «Защита окружающей среды», специальностям 280103 «Защита в чрезвычайных ситуациях», 280101 «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», дисциплине «Высшая математика». Предназначено студентам очной формы обучения.
Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и содержится в файле
Vmfmm_ KratInt1.pdf.
Ил. 71. Библиогр.: 11 назв.
Рецензенты: кафедра физики Воронежского государственного университета инженерных технологий (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Н.Н. Безрядин); профессор Г.Е. Шунин
©Пантелеев И.Н., 2011
©Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011
И.Н. Пантелеев
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ: ПРАКТИКУМ
Учебное пособие
Учебное издание
Пантелеев Игорь Николаевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ: ПРАКТИКУМ
В авторской редакции
Компьютерный набор И.Н. Пантелеева
Подписано к изданию 15.12.2011. Объем данных 1761 кб
|
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический |
Воронеж 2011 |
университет» |
394026 Воронеж, Московский просп., 14 |
ВВЕДЕНИЕ
Изучение математики развивает логическое мышление, приучает человека к точности, к умению выделять главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложнейших задач, возникающих в различных областях деятельности. Цель пособия - помочь студентам научиться самостоятельно решать задачи по курсу высшей математики, при условии, что изучение теории должно выполняться по рекомендованному в программе учебнику и конспекту лекций.
Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, теоремы без доказательств, главнейшие формулы, методы и способы решения задач. Решение типовых примеров и задач в параграфе, как правило, расположено по возрастающей трудности.
Характерной особенностью является включение решений задач вычислительного характера, что позволяет развивать необходимые навыки и умение для студентов инженерных специальностей. Кроме того, значительное внимание уделено методам решения прикладных задач с физическим смыслом.
Часть задач была заимствована из сборников: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, 1975; Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике, 1972; Задачи и упражнения по математическому анализу, под редакцией Б.П. Демидовича, 1968; Бугров Я.С., Никольский Я.С. Высшая математика. Задачник, 1982.
Пособие включает задания для типового расчета по кратным интегралам и теории поля по основным разделам, изучаемым в курсе высшей математики в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 280700 «Техногенная безопасность».
3
1. КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1. Двойной интеграл и его вычисление
1°. Двойной интеграл является обобщением понятия определенного интеграла на случай функции двух
переменных f(x, у) и представляет конечный предел двумерной интегральной суммы в области (S).
∫∫ f (x, y)maxlimx →0∑∑ f (xi , y j ) xi yj . |
(1) |
||||
(S ) |
|
i |
i |
j |
|
max |
yi →0 |
|
|||
где xi y j = (xi+1 − xi )(yj+1 − yj ) |
- площади элементарных об- |
ластей, на которые разбивается плоская область S.
На двойной интеграл распространяются свойства простого определенного интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, область интегрирования можно разбивать на части.
2°. Вычисление двойного интеграла сводится к
последовательному |
вычислению |
двух |
обыкновенных |
||
определенных интегралов |
y2 (x) |
|
|
|
|
|
b |
f (x, y)dy |
|
||
|
∫dx |
∫ |
(2) |
||
|
a y1 (x) |
|
|
|
|
или |
|
x2 (y) |
|
|
|
|
c |
f (x, y)dx |
|
||
|
∫dy |
∫ |
(3) |
||
|
d |
x1 (y) |
|
|
|
Если внутренний интеграл берется по переменной у, то переменная х рассматривается как постоянная, а если по х, то постоянной будет у. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле как правило являются переменными и зависят от переменной, которая рассматривается как постоянная, пределы же внешнего интеграла всегда постоянны. Пределы интегрирования внутреннего и внешнего интеграла постоянны только тогда, когда область интегрирования является прямоугольни-
4
ком со сторонами, параллельными осям координат. Область
интегрирования |
интеграла (2) (рис. 1.1 ) a ≤ x ≤ b , |
y1 (x)≤ y ≤ y2 (x) |
такова, что любая прямая, параллельная оси |
у, пересекает ее границу только два раза. Вычисление двойного интеграла по области d ≤ y ≤ c , x1 (y)≤ x ≤ x2 (y)
(рис. 1.2 ) целесообразно выполнять по формуле (3), поскольку любая прямая, параллельная оси х, пересекает границу области только два раза.
Рис. 1.1
Рис. 1.2
3°. Если верхняя или нижняя граница области описывается несколькими функциями (рис. 1.3), то область интегрирования следует разбить прямой х = с на две области S1 и S2. Двойной интеграл по области S в этом случае разбивается на сумму интегралов
5
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy +∫∫ |
f (x, y)dxdy = |
|||
(S ) |
(S1 ) |
(S2 ) |
(4) |
|
= ∫c |
y(x) |
(x, y)dy + ∫b |
y(x) |
|
dx ∫ f |
dx ∫ f (x, y)dy. |
|||
a |
y1 (x) |
c |
y2 (x) |
|
Рис. 1.3
Если левая или правая граница области описывается несколькими функциями (рис. 1.4), то область интегрирования S разбивается на две области S1 и S2, а двойной интеграл вычисляется по формуле
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy +∫∫ |
f (x, y)dxdy = |
|||
(S ) |
|
(S1 ) |
(S2 ) |
(5) |
= ∫b |
x(y) |
|
x(y) |
|
dy ∫ f (x, y)dx + ∫c |
dy ∫ f (x, y)dx. |
|||
d |
x1 (y) |
b |
x2 (y) |
|
Рис. 1.4
6
В случае более сложного контура область S разбивается на конечное число частей рассмотренных типов.
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
dxdy |
|
|
1.1. |
Вычислить двойные |
интегралы: а) ∫∫0 1 |
|
; |
||||
|
(x + y)2 |
||||||||
|
|
e y |
|
|
π |
|
2cosϕ |
|
|
2 |
x |
|
; г) ∫2 |
|
|
|
|||
б) ∫dx∫(x2 −2 y +1)dy ; в) ∫∫ ydxdy |
dϕ |
∫ ρ3d ρ . |
|
|
|||||
1 |
0 |
1 1 |
x |
|
π |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
Решение. а) Поскольку пределы интегрирования постоянные величины, то первое интегрирование может быть по любой переменной. Запишем интеграл в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 dx∫1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Вычислим внутренний интеграл по у, считая, что х |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
постоянная величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
∫0 |
|
|
|
|
|
dx = − |
∫0 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
1 |
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Далее вычисляем внешний интеграл по х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x +1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
dx |
=ln |
x +1 |
−ln |
x +2 |
=ln |
|
|
|
|
|
|
=ln |
|
|
−ln |
|
|
=ln |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫0 x +1 |
|
x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2 |
|
0 |
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от
х, то вычисляем сначала внутренний интеграл по у, считая х постоянной величиной
∫2 ((x2 y − y2 + y) |
|
0x )dx = ∫2 (x3 − x2 + x)dx . |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее находим внешний интеграл |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
4 |
|
x |
3 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
(x3 − x2 + x)dx = |
x |
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
= |
35 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
1 |
|
12 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от у, то интегрируем сначала по х, считая у постоянной величиной, а затем интегрируем по у
7
e |
y |
|
e |
y |
y |
|
|
|
|
e |
|
|
|||
∫∫ |
y |
dxdy = ∫dy |
∫ |
dx = ∫y ln x |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
1 |
1 |
|
x |
1 |
|
1 |
x |
|
1 |
|
|
||||
= ∫e |
y ln ydy = |
y2 |
ln y |
|
e |
− |
1 |
∫e |
ydy |
||||||
|
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
dy =
1
= e24+1.
г) Вычислим сначала внутренний интеграл
π |
2cosϕ |
|
|
π |
|
2cosϕ |
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫2 |
|
|
∫2 |
|
dϕ =4 ∫2 |
cos4 ϕdϕ = ∫2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dϕ ∫ |
ρ3dρ = |
1 |
|
ρ4 |
(1+cos2ϕ)2 dϕ = |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
π |
0 |
4 |
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−2 |
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
0 |
|
−2 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
(1+cos4ϕ) |
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
1+ |
2cos2ϕ+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
ϕ+sin 2ϕ |
+ |
|
sin 4ϕ |
|
= |
|
π. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
∫π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
1.2. Вычислить двойные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) ∫∫x cos (x + y)dxdy, где D |
|
|
≤ x ≤π, 0 ≤ y ≤ |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
= 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫∫(x + y)dxdy, |
где D ={y = 0, |
y = x2 , x = 2}; |
|
|
|
|
|
|
|
|
D
в) ∫∫xydxdy, где D ={y = −x, y = x2 , y =1};
D
г) ∫∫xdxdy, где область D ограничена осью Ox и одной аркой
D
циклоиды x = a (t −sin t ), y = a (1−cos t ).
Решение. а) Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем сначала по у, а затем по х
π π
∫∫x cos (x + y)dxdy = |
π∫xdx∫2 cos (x + y)dy = π∫x sin (x + y) |
|
2 = |
||||||
D |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
π |
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
= ∫x sin |
+ x |
−sin x dx |
= ∫x (cos x −sin x)dx = |
|
|
||||
0 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
8
= π∫x cos xdx − |
π∫xsin xdx = xsin x − |
π∫sin xdx + x cos x − |
π∫cos xdx = |
||
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
= (x sin x +cos x + x cos x −sin x) |
|
π |
= −1−π −1 = −(2 +π ). |
||
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
б) Представим область интегрирования на рис 1.5. Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем
|
2 |
x2 |
2 |
|
y |
2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||
∫∫(x + y)dxdy = ∫dx ∫(x + y)dy = ∫ xy + |
|
|
|
dx = |
||||||
2 |
||||||||||
D |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
x4 |
x4 |
|
|
x5 |
|
|
2 |
16 |
|
36 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
x |
|
+ |
|
dx = |
|
+ |
|
|
|
|
= 4 + |
|
= |
|
. |
|
|
|
2 |
4 |
10 |
5 |
5 |
||||||||||||
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.5
в) Сделаем чертеж (рис. 1.6).
Рис. 1.6
9
Из совместного решения уравнений y = −x и y = x2 нахо-
дим точки пересечения прямой и параболы А (-1, 1), О (0, 0). Координаты точки В(1,1). Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем
∫∫xydxdxy = ∫1 |
|
|
y |
|
|
|
1 |
∫1 |
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
∫1 |
(y2 |
− y3 )dy = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ydy ∫ xdx = |
yx2 |
|
|
dy = |
||||||||||||||||||||
D |
|
|
0 |
|
|
−y |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
−y |
|
|
2 |
0 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
y3 |
|
y4 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
2 |
3 |
4 |
24 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Для одной арки циклоиды параметр t изменяется от 0 до 2π , а переменная х от 0 до 2πa . Представляя функцию у в виде функции от х у =f(x), запишем искомый интеграл, разделяя переменные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2∫πa xdx |
y= f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫∫xdxdy = |
|
∫ |
dy . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находя дифференциалы dx = a (1−cos t )dt, dy = a sin tdt и |
||||||||||||||||||||||||||||
переходя во внешнем интеграле к переменной t, получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(1−cost) |
|
|
|
|
|
2∫π (t −sint)(1−cost)2 dt = |
|||||||||||||
I = |
2∫π a(t −sint)a(1−cost)dt |
|
∫ |
dy = a3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=a3 |
2∫π (t −2t cost +t cos2 t −sint +sin 2t −sint cos2 t)dt = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|||
= a |
|
|
2 |
−2t sin t −2cos t + |
|
t + |
2 |
sin 2t |
− |
4 |
t |
|
− |
2 |
cos 2t |
+ |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+cos t − |
1 |
cos 2t + |
1 |
cos |
3 |
|
|
|
2π |
|
|
2 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
t |
|
|
|
= 3π |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10