2748
.pdfвиды для линейных уравнений с постоянными коэффициентами преобразуются к форме
|
|
|
v f |
, 0; |
||
v |
v |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
f |
, 0; |
|
v |
bv |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
v f |
, 0 |
||
v |
v |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
для гиперболического, параболического и эллиптического классов уравнения соответственно.
Пример 1. Найти класс уравнения
u |
4u |
21u |
2u |
3u |
5u |
xx |
xy |
yy |
x |
y |
|
и преобразовать его к канонической форме.
Решение.
1. Выписываем коэффициенты уравнения
x2
a |
, |
11 |
|
a12
и |
a22 . |
Получим:
a |
1, |
11 |
|
a |
2, |
12 |
|
a |
21. |
22 |
|
2. |
Находим значение |
|
|
|
|
|
D a2 |
a a 4 21 25 0. |
|||
|
12 |
11 |
22 |
|
|
3. |
Так как D 0 для любых |
x, |
y, то заданное уравне- |
ние принадлежит к гиперболического классу во всей плоскости xOy.
4. Определяем общие интегралы характеристического
уравнения:
dy |
2 |
4dxdy 21 dx |
2 |
0. |
|
|
dy |
||
|
|
|
dx |
||
dy |
, |
|
d x |
||
|
|
2 |
|
dy |
|
4 |
||
|
|
dx |
|
|
|
|
имеем:
21 0. |
||
dy |
7 |
|
d x |
||
|
Разрешая это уравнение относительно
иdy 3. Таким образом, у характери- d x
стического уравнения есть два общих решения |
y 7x С1 |
y 3x С2 или в форме общих интегралов |
7x y С1 |
3x y С2 .
5. В заданном уравнении произведѐм подстановку
21
и
и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае 10x |
и |
|
x |
||||||||||
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
xx |
|
xy |
|
yy |
|
xx |
|
|
|
xy |
x, y 7x y, |
|
|
|
|||
x, y 3x y. |
|
|
|
|||
|
|
. 7; |
|
|
1; |
|
|
|
|||||
|
10 |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. По правилу |
||||
yy |
|
3; |
x |
|
диффе-
ренцирования сложной функции
u |
u u |
7u |
3u , |
u |
u |
u |
u u |
, |
|||||||||
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
y |
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
u |
u |
2 |
2u u |
2 |
u |
u |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xx |
|
x |
|
|
x |
x |
|
x |
|
|
xx |
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
49u |
42u |
9u , |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
u |
u |
|
|
|
u |
|
u |
|
u |
|
||||||||||
|
xy |
|
|
x y |
|
|
x y |
|
x |
y |
|
|
x y |
|
|
xy |
|
xy |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
7u |
4u |
|
3u |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
u |
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2u |
u . |
||||||
2 |
u |
2 |
u |
u |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
yy |
|
y |
|
|
|
y |
y |
|
y |
|
|
yy |
|
yy |
|
|
|
|
Витоге подстановки заданное уравнение преобразуется
кформе
49u |
42u |
9u |
28u |
16u 12u 21u |
42u |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
21u |
14u |
6u |
3u |
3u |
5u |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
100u |
11u 9u |
5u |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таким образом, заданное уравнение преобразуется к канони-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 0001 , |
в |
||||
ческой форме u |
0,11u |
0, 09u 0, 05u |
||||||||||
которой |
7x y и |
3x y. |
|
|
|
|
||||||
|
Осуществим |
в |
|
заданном уравнении подстановку |
||||||||
|
1 x, y 2 x, y |
|
7x y 3x y |
2x y; |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 x, y 2 |
x, y |
|
|
7x y 3x y |
5x. |
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
В этом случае |
x |
|
. |
|
|
2; |
|
|
|
1; |
|
|
5; |
|
|
0; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5 |
x |
y |
x |
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
По правилу дифференциро- |
||||||||||||||||||
xx |
xy yy xx |
xy yy |
|||||||||||||||||||||||||||
вания сложной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
u |
u u |
|
2u 5u , |
|
u u |
u |
u |
, |
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
||
|
u |
u |
2 |
2u |
u |
2 |
u u |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xx |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
xx |
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4u |
20u |
25u |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u u |
u |
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
u |
|
||||||||||||||||
|
xy |
|
x |
y |
|
|
|
x |
y |
|
|
x |
y |
|
|
|
x |
y |
|
|
|
xy |
|
xy |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u 5u |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
u |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
u . |
|
|||||||
|
2 |
2u u |
2 |
u |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
yy |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
yy |
|
|
|
yy |
|
|
|
||
|
В итоге подстановки заданное уравнение приобретѐт |
||||||||||||||||||||||||||||
форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4u |
20u |
|
25u |
|
8u |
|
20u |
|
21u |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4u 10u |
3u 5u |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25u |
25u u 10u |
|
5u |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть исходное уравнение приводится к другому канониче-
скому виду u |
u |
0, 04u 0, 4u |
0, 2u 0, 0016 2 , где |
|
|
|
|
|
|
2x y и
Пример
5x.
2. Найти класс уравнения
u |
2u |
u |
u |
u |
u xy |
xx |
xy |
yy |
x |
y |
|
и преобразовать его к канонической форме.
Решение.
1. Выпишем коэффициенты уравнения
Получим: a |
1, |
a |
1, |
a |
1. |
11 |
|
12 |
|
22 |
|
2. Определяем значение
D a122 a11a22 11 0.
23
a |
, |
11 |
|
a12
и |
a22 . |
3. Так как |
D 0 |
для любых |
x, |
y, |
то заданное уравне- |
ние принадлежит к параболическому классу во всей плоскости xOy.
4. Определяем общие
уравнения: dy |
2 |
2dxdy |
|
интегралы характеристического
dx |
2 |
0. |
|
dy |
2 |
dy |
|
|
|
|||
2 |
1 |
0. |
Разрешая это уравнение относительно |
|||||
|
|
|
|
|||||
dx |
|
dx |
|
|
|
|||
dy |
, |
имеем: |
dy |
1. |
Таким образом, у характеристического |
|||
d x |
d x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
уравнения есть только одно общее решение y x С или в форме общего интеграла x y С.
5. В заданном уравнении осуществляем подстановку
x y,y
(в роли |
можно было выбрать и любую иную дважды диф- |
||||||||||||||||||||
ференцируемую функцию, |
не зависящую от |
x, y ). В |
|||||||||||||||||||
этом случае x |
и |
|
xy . |
1; |
|
|
1; |
0; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
По правилу диффе- |
||||||
y 1; |
xx xy |
yy |
xx |
xy yy |
|||||||||||||||||
ренцирования сложной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
u |
u u u |
, u u u u |
u , |
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
, |
|
u |
u |
2 |
2u |
u |
2 |
u u |
u |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xx |
|
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
x |
|
|
xx |
|
xx |
|
|
|
|
u |
u |
u |
|
|
|
u |
u |
u |
|||||||||||||
xy |
|
|
x y |
|
|
|
x |
y |
|
x y |
|
|
x |
y |
|
xy |
|
|
xy |
u u ,
u |
u |
2 |
2u |
u |
2 |
u |
u |
u |
2u |
u . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yy |
|
y |
|
y y |
|
y |
yy |
yy |
|
|
|
Витоге подстановки заданное уравнение преобразуется
кформе
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2u 2u u 2u u u |
u |
u u , |
24
u |
u |
u , |
|
|
|
Таким обазом, заданное уравнение имеет каноническую фор-
|
|
|
|
x y и y. |
||
му u u u , где |
||||||
Пример 3. Найти класс уравнения |
|
|||||
|
u |
2u |
2u |
6u |
6u |
3u |
|
xx |
xy |
yy |
x |
y |
|
и преобразовать его к канонической форме.
Решение.
1. Выпишем коэффициенты уравнения
x
a |
, |
11 |
|
y |
2 |
|
a12
и |
a22 . |
Получим:
a |
1, |
11 |
|
a |
1, |
12 |
|
a |
2. |
22 |
|
2. |
Находим значение |
a a |
1 2 1 0. |
|||||
|
|
D a |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
11 |
22 |
|
|
|
|
3. |
Так как |
D 0 для любых |
x, |
y, то заданное уравне- |
ние принадлежит к эллиптическому классу во всей плоскости xOy. 4. Опеделяем общие интегралы характеристического
уравнения:
dy |
2 |
2dxdy 2 |
dx |
2 |
0. |
|
|
dy 2 |
dy |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
0. Разрешая это |
уравнение относительно |
|||
|
|
|
|
||||||||
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|||||
dy |
, |
имеем: |
dy |
1 i и |
dy |
1 i. Таким образом, у характе- |
|||||
d x |
d x |
d x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ристического |
уравнения |
есть |
два общих решения |
||||||||
y x ix С1 |
и |
y x ix С2 или в форме общих интегралов |
x, y x y ix С1 и x, y x y ix С2. |
|
5. В заданном уравнении осуществляем подстановку |
|
|
Re x, y x y, |
|
Im x, y x |
(в роли |
и можно было выбрать Re x, y и Im x, y ). |
|
25 |
В этом
|
0; |
y |
|
случае
xxxy
y
yyxx
и
x .
|
|
xy |
yy |
x
0.
1;
По
1; y
правилу
|
1; |
x |
|
диффе-
ренцирования сложной функции
|
u |
u u |
u |
u |
, |
u |
u |
u |
u , |
|
|
||||||
u |
x |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
y |
y |
|
y |
|
u |
, |
u |
2 |
2u |
|
u |
2 |
u |
u |
u |
|
2u |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xx |
|
x |
|
|
x x |
|
x |
|
|
|
xx |
xx |
|
|
|
|
|
u |
u |
|
u |
|
|
|
u |
|
u |
|
u |
|
||||||||||
xy |
|
|
x y |
|
|
|
|
x y |
x |
y |
|
|
x y |
|
|
|
xy |
xy |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
u |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u |
u |
|
|
2u |
|
|
|
|
|
u |
|
u |
u . |
|
|||||||
|
2 |
|
u |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
yy |
|
|
y |
|
|
|
y y |
|
y |
|
yy |
|
|
|
yy |
|
|
||||
В итоге подстановки исходное уравнение принимает |
||||||||||||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2u |
u |
2u |
2u |
2u |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
6u 6u |
|
6u 3u |
2 |
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
6u |
3u |
2 |
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть исходное уравнение приводится к каноническому ви-
|
|
|
2 |
, где x y и x. |
|
||||
ду u u 6u 3u |
|
2.2. Классификация уравнений второго порядка со многими переменными в точке
Точно также возможно произвести классификацию уравнений в частных производных второго порядка, когда числонезависимых аргументов превышает 2.
Исследуем квазилинейное (то есть линейное относительно всех старших производных) дифференциальное уравнение второго порядка
n |
x, u, grad u 0. |
|
|
|
|
aij x uxi x j |
23 |
|
i 1 |
|
|
|
|
26
Чтобы упростить уравнение 23 |
в точке |
x0 |
с помощью |
|||||
замены переменных |
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
y y |
x |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
y y1, y2 , ..., yn , yi |
yi x1, |
x2 |
, ..., xn , |
i 1, n, |
yi |
– дважды |
непрерывно дифференцируемые функции, якобиан преобра-
|
y |
, y |
, ..., y |
n |
|
|
y |
|
|
|
|
||||
зования |
D |
1 |
2 |
|
|
det |
|
|
i |
|
x 0, |
достаточно упро- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
, x |
, ..., x |
|
|
|
|
|
x |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
стить квадратичную форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
x |
p p |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
25 |
||||
|
|
|
|
ij |
0 |
|
i |
|
j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i, j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с помощью невырожденного линейного преобразования
|
n |
|
|
|
|
, det |
|
0, |
|
||||
p |
|
|
li |
q |
li |
|
|||||||
i |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переводящем форму 25 |
|
|
|
|
|
|
n |
~ |
ql qk , |
||||
в форму |
|
lk y0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k , l 1 |
|
|
|
~ |
|
|
|
n |
|
|
y |
y |
|
||||
lk y |
ij |
x |
|
|
l |
|
k |
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i, j 1 |
|
|
x |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
где
26
27
– новые коэффициенты при вторых производных.
Из линейной алгебры известно, что найдѐтся невырожденное
линейное форма 25
преобразование |
26 , |
такое, что квадратичная |
преобразуется к каноническому виду: |
Кроме того, лые числа r
r |
|
|
m |
|
|
l |
|
l |
|
|
|
q |
2 |
|
2 |
, m n. |
|
|
q |
28 |
|||
l 1 |
|
|
l r 1 |
|
согласно закону инерции квадратичных форм це-
и |
m |
свободны от преобразования 26 . Это даѐт |
возможность произвести классификацию дифференциальных
27
уравнений |
23 в зависимости от значений коэффициентов |
||
a в точке |
x . |
|
|
ij |
0 |
|
|
В случае, когда в квадратичной форме 28 |
m n |
и все |
|
слагаемые имеют одинаковый знак, то есть либо |
r m, |
либо |
|
r 0, уравнение 23 принадлежит к эллиптическому классу |
|||
в точке x0 ; в случае, когда m n, но присутствуют слагае- |
|||
мые различных знаков (то есть 1 r n 1), уравнение |
23 |
||
принадлежит к гиперболическому классу в точке |
x0 ; и, в слу- |
||
чае, когда |
m n, уравнение 23 принадлежит к параболиче- |
скому классу в точке |
x0 . |
Замечание. Данная классификация зависит от выбора
точки x0 , поскольку числа r и m |
зависят от выбора точки |
|||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x0 . К примеру, уравнение Трикоми |
y |
x |
2 |
|
y |
2 |
|
0 |
принад- |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лежит к смешанному классу: в случае, когда |
y 0, |
принад- |
||||||||||
лежит к гиперболическому классу, когда |
|
|
y 0, |
|
|
принадлежит |
||||||
к эллиптическому классу, а в случае, когда |
y 0, принадле- |
|||||||||||
жит к параболическому классу . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, что коэффициенты |
|
aij |
уравненич 23 |
|||||||||
являются константами, и что преобразование |
26 |
преобра- |
зует квадратичную форму 25 |
к каноническому виду |
28 . |
В этом случае линейная подстановка независимых аргумен-
|
|
n |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
тов |
yl |
li xi |
переводит уравнение |
к такому канони- |
|||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ческому виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r |
~ |
m |
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
u yl yl |
u yl yl |
x, u, grad u |
0. |
29 |
|||||
|
|
l 1 |
|
l r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
Как правило, в приложениях математической физики количество независимых аргументов не более четырѐх, один из которыхх – время, а три остальных – пространственные аргументы. Следовательно, в достаточно объемлющем случае линейные дифференциальные уравнения второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического классов с постоянными коэффициентами имеется возможность преобразовать к таким каноническим видам соответственно:
Здесь
u u pu |
f |
x , x |
, x , t ; |
||||||||||
|
|
|
tt |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
u ut f x1, x2 , x3 , t ; |
||||||||||||
|
u pu f x1, x2 , x3 . |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
2 |
|
x |
2 |
|
x |
2 |
– оператор |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
30
3132
Лапласа по про-
странственным переменным. |
|
|
Примеры. |
Уравнение Лапласа |
u 0 |
эллиптическому |
классу, волновое уравнение |
принадлежит к
W u |
f , в ко- |
a |
тором
Wa
– волновой оператор (оператор Даламбера),
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
2 |
, |
– оператор Лапласа, |
||||
|
|
2 |
a |
||||||
a |
|
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
болического |
типа |
и |
уравнение |
||||||
u |
|
|
2 |
u f |
– параболического типа. |
||||
t |
a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
x |
, |
– гипер- |
|
|
|
2 |
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
теплопроводности
2.3. Характеристические поверхности
Пусть непрерывно x x1, x2 , ..., xn , n 2,
верхности x 0 grad
дифференцируемая функция |
|
удовлетворяет условию, что на
x 0 и
x ,
по-
29
n |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
x |
|
|
|
ij |
|
x |
x |
|
|
i, j 1 |
|
|
j |
||
|
i |
|
|
В этом случае поверхность
x |
0. |
|
|
x 0 |
33
именуется харак-
теристической поверхностью (или характеристикой) ква-
зилинейного дифференциального уравнения 23 , а уравне-
ние 33 – характеристическим уравнением. В случае |
n 2 |
характеристическая поверхность именуется характеристиче- |
|
ской линией. |
|
Допустим, что |
любая поверхность множества |
x C 0, a C b, |
является характеристикой уравнения |
23 .
Так как на всякой характеристике
grad 0,
то это
множество заполняет какую-то достаточно малую область
G,
через любую точку которой проходит одна и только одна ха-
рактеристика. Предположим, |
что – |
дважды непрерывно |
|
дифференцируемая в области |
G функция. В этом случае, ес- |
||
ли в преобразовании 24 |
положить y1 |
x , то согласно |
|
27 и 33 коэффициент |
~ |
|
|
11 |
станет равным нулю в соответ- |
||
~ |
|
|
|
ствующей области G . Следовательно, |
зная одно или не- |
скольких множетв характеристик дифференциального уравнения, можно преобразовать данное уравнение к возможному простому виду.
Примеры характеристик. |
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
а) Волновое уравнение |
a u |
|
f . |
Его характеристиче- |
2
ское уравнение имееет вид t
ность
a2 t t0 2 x x0 2
30
a2 n 2 0. Поверх-
x
i 1 i
0, |
34 |