2748
.pdfТаким образом, зависимости ют собой решения пары задач:
а) |
X |
|
x X x 0, X 0 |
|
X x X 3
и
0;
T t
представля-
б) T t |
|
1 |
T t 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найдѐм решение задачи а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
X x X x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0; |
k |
|
|
i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X x C1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Общее решение: |
|
|
x C2 sin |
|
|
x. Исполь- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зуя граничные данные, будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 0 C 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 3 C2 sin 3 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, n N; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
|
|
x |
|
C sin |
n |
|
x C sin |
n |
x, C |
|
|
C |
, n N. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Найдѐм решение задачи б). Для |
|
n |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
t 81 T t 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dT |
|
|
2n2 |
T; |
|
dT |
|
|
2n2 |
dt; |
|
|
|
dT |
|
|
|
|
2n2 |
|
|
dt; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
81 |
|
|
|
|
T |
|
|
81 |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
81 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ln T |
|
|
|
|
|
|
|
|
t ln An |
; |
ln T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ln An |
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ln T |
|
|
|
|
|
81 |
|
|
ln An |
; |
ln T |
|
An e |
|
81 |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
2n2 |
t , n N. |
|
||||||||||||
Общее решение данного уравнения: T An e |
|
81 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Таким образом, вспомогательные решения заданного уравнения представляются в форме
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
v x, t C |
~ |
|
|
|
|
t |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
x A e |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
x, |
|||||||||||
|
|
An e |
|
81 |
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
An |
Cn An . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Решение |
исходного |
|
|
уравнения |
|
теплопроводности |
|||||||||||||||||||||||
ищем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
|
|
u x, t |
n |
x, t |
|
|
n |
|
81 |
|
sin |
x. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
v |
|
A e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта функция является решением исходного уравнения и удо-
влетворяет исходным граничным условиям при любых |
An , |
при которых ряд для функции u x, t сходится. |
|
6. Находим коэффициенты
A |
, |
n |
|
такие, что
u x, t
удо-
влетворяет исходному начальному условию, которое запишем в виде:
u |
t 0 |
8sin3 |
3 x 4sin12 x 8sin2 |
3 x sin 3 x 4sin12 x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1 cos 6 x |
sin 3 x |
4sin12 x |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4sin 3 x 4sin 3 x cos 6 x 4sin12 x |
4sin 3 x 4 |
1 |
sin 9 x sin 3 x 4sin12 |
|
2 |
|||
|
|
4sin 3 x 2sin 9 x 2sin 3 x 4sin12 x
6sin 3 x 2sin 9 x 4sin12 x.
x
С другой стороны,
|
|
sin n x 6sin 3 x 2sin 9 x 4sin12 x |
|||||||
u t 0 |
An |
||||||||
|
n 1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6sin |
9 |
x 2sin |
27 |
x 4sin |
36 |
x. |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
Отсюда |
A9 6, |
A27 |
2, |
A36 4, все остальные коэффици- |
енты равны нулю. Подставляя эти коэффициенты в формулу
82
для решения исходного уравнения теплопроводности из пункта 5, получаем:
|
|
9 |
2 |
|
2 |
|
|
27 |
2 |
|
2 |
|
|
36 |
2 |
|
2 |
|
u x, t 6e |
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
||||||
|
81 |
sin 3 x 2e |
81 |
sin 9 x 4e |
81 |
sin12 x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
2 |
t |
|
2 |
t |
6e |
|
sin 3 x 2e |
9 |
sin 9 x 4e |
16 |
|||
|
|
|
|
|
|
sin12 x.
Неоднородное уравнение теплопроводности.
Требуется найти решение неоднородного уравнения
u |
|
|
|
u |
|
|
|
a |
|
2 |
|
f x, t , |
|
t |
2 |
x |
||||
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
удовлетворяющее начальному условию
u |
t 0 |
0 |
|
|
и однородным краевым условиям
u |
x 0 |
0, u |
x l |
0. |
|
|
|
135136137
При этом предполагается, что |
непрерывная функция |
||||
f x, t имеет кусочно-непрерывную |
частную производную |
||||
первого порядка по |
x и что при всех |
t 0 удовлетворяются |
|||
граничные данные f |
|
x 0 f |
|
x l 0. |
|
|
|
|
Определим решение u x,
ряда Фурье
u x, t Tn t sin
n 1
t |
задачи |
nx l
135
- 137
в форме
138
по собственным функциям задачи 126 . Раскладывая зави-
симость
здесь
f
x, t в ряд Фурье по синусам, получим |
|||||||
|
|
|
|
|
nx |
|
|
f x, t fn t sin |
l |
, |
|||||
|
|
|
n 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
fn t |
2 |
l |
f x, t sin |
nxdx. |
|||
l |
|
||||||
|
|
|
l |
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
|
139
140
После подстановки ряда
138
в уравнение
135
и принимая
во внимание |
139 , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
f |
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
T |
|
t |
|
|
|
|
l |
|
T |
|
|
t |
|
|
t |
|
|
sin |
l |
|||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
na |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
T t |
|
T |
|
t |
f |
|
t x, n N. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||
n |
|
l |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пользуясь начальным условием для u x, t |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 sin nx |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
u t 0 |
Tn |
0, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tn t : |
|
|
|
|
|||||
получаем начальное условие для |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
T |
|
t 0 |
0, n N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение уравнения |
|
141 |
при начальном условии |
ет вид:
0.
142
141
142
име-
|
l |
|
na |
|
2 |
|
|
|
t |
||||
n |
|
|
|
|
||
e |
|
|
|
f |
||
T t |
|
|
l |
|
||
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
Подставляя выражение |
143 |
|||||
решение задачи 135 |
– |
137 |
||||
l |
|
na 2 |
t |
|||
|
|
|
|
|
||
u x, t e |
l |
|
|
fn |
||
|
|
|
|
|
|
n 1 0
n |
d . |
|
для Tn t в форме
d sin
в ряд
nx . l
138 ,
143
получаем
144
Замечание. При условии неоднородности начальных данных, в решение 144 нужно присоединить частное решение однородного уравнения теплопроводности, удовлетворяющее исходным начальным данным u t 0 x и u x l 0.
84
Общая первая краевая задача.
Изучим общую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности: решить уравнение
u a |
u |
f x, t |
2 |
|
|
t |
xx |
|
145
с дополнительными начальным и граничными условиями
u |
t 0 |
|
|
x |
|
, |
146 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 1 t , |
||
|
||||
u |
|
|||
u |
|
|
|
t . |
|
|
|||
|
|
x l |
2 |
|
|
|
|
147
Определим новую подлежащую нахождению зависи-
мость |
v x, t : |
u x, t U x, t v x, t ,
148
являющуюся смещением от некоторой заданной зависимости
U x, t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данная |
зависимость |
v x, t находится |
как |
решение |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, f |
x, t f x, t |
|
|
|
|
2 |
||||
уравнения vt |
a vxx f x, t |
Ut |
a Uxx с |
||||||||||||||||||
дополнительными условиями |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
v |
t 0 |
|
x |
|
, x x U |
t 0 |
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
v |
x 0 |
|
|
t |
, |
t t U |
|
x 0 |
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
v x l |
|
2 t , |
|
|
2 t 2 t U x l . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Выберем |
вспомогательную |
|
функцию U x, t |
|
|
так, чтобы |
|||||||||||||||
1 t 0 |
и 2 |
t 0, |
для чего достаточно положить |
|
|||||||||||||||||
|
|
U x, t 1 t |
|
x |
2 t 1 t . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, определение зависимости u x, t |
как реше- |
ния общей краевой зависимости v x, t
задачи трансформировано к определению как решения краевой задачи с нулевыми
граничными данными. Способ определения зависимости
85
v x, t
изложен в пункте о неоднородном уравнении тепло-
проводности.
Описанный перед этим общий план решения задач с неоднородностями в уравнении и граничных данных в некоторых случаях оказывается трудной для нахождения неизвест-
ной зависимости
u x, t .
Сложности при определении вспо-
могательной зависимости
v x, t
связаны с видом зависимо-
сти
U x, t ,
для которой находится смещение.
К примеру, для задач со стационарными неоднородностями проще находить стационарное решение и определять смещение от него.
Изучим, к примеру, задачу для ограниченного стержня
0, l , концы которого фиксируются при постоянных темпе- |
||||||||||||||||||||||||||
ратурах u0 |
и u1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u a2u , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
t 0 |
|
x , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x 0 |
u0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
x |
l |
u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение определим в форме суммы |
u x, t |
|
x v x, t , |
|||||||||||||||||||||||
u |
||||||||||||||||||||||||||
здесь u x |
– стационарная температура, а |
v x, t – смещение |
||||||||||||||||||||||||
от неѐ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимости |
u x |
и |
v x, t |
удовлетворяют соотноше- |
||||||||||||||||||||||
ниям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, v a2v ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|||
|
u |
x 0 |
u |
, v |
t 0 |
|
x u x |
|
x ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
u |
x |
l |
u |
, v |
x |
0 |
v |
x l |
0. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Исходя из этого определяем |
|
x |
u |
x |
u u |
|
|
. |
||||||||||||||||||
u |
0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
l |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимость
v x, t ,
задаваемую начальным условием и
однородными граничными данными, легко определяем методом Фурье.
Теплопроводность бесконечного стержня. Задача Коши для уравнения теплопроводности.
Рассмотрим задачу о распространении тепла в неограниченном стержне без внутренних источников тепла и теплоизолированной боковой поверхностью. Предположим, что в начальный момент времени известна температура в разных сечениях неограниченного стержня. Необходимо найти распределение температуры в стержне в очередные моменты времени.
Замечание. К этой модельной задаче сводятся физические ситуации, в которых стержень настолько длинный, что температура в его внутренних точках мало зависит от условий на концах стержня.
Пусть ось стержня совпадает с осью Ox. Тогда математически задача о распространении тепла формулируется следующим образом: найти решение уравнения теплопроводности
|
u |
a2 |
2u |
, x , 0 t , |
|||||||||
|
t |
x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
f1 x . |
|
|
||||||
с начальным условием |
u |
t 0 |
|
Введя новую перемен- |
|||||||||
2 |
t, преобразуем уравнение теплопроводности: |
||||||||||||
ную a |
|||||||||||||
|
|
u |
|
u |
|
|
a |
2 |
u |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
. |
|
|
149 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение этого уравнения ищем в виде произведения двух
функций: |
u x, X x T . Подставляя функцию u x, |
в |
|
этом виде в уравнение теплопроводности 149 , |
получим: |
|
|
|
87 |
|
|
X x T X x T τ , |
||||
T |
|
X x |
. |
|
T |
X x |
|||
|
|
Последнее равенство должно выполняться при любых и x. Данное требование справедливо, если дроби в его левой и правой частях равны одной и той же константе.
T |
|
X x |
const. |
|
T |
X x |
|||
|
|
Требование ограниченности решения, следующее из физических соображений, устанавливает отрицательный знак этой константы. Тогда из соображений удобства можно положить
const |
. |
2 |
|
В результате получим два уравнения:
|
|
|
2 |
|
T |
|
T , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X x 0. |
X x |
2 |
|||
|
|
|
|
|
Первое уравнение есть уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и его решение имеет вид:
где |
A |
– произвольная |
уравнения имеет вид:
T Ae |
2 |
|
|
, |
|
|
постоянная. Общее решение второго
X x B cos x C sin x, где B, C –
также произвольные постоянные. Далее запишем частное решение уравнения
u x, , a cos x b sin x e |
2 |
|
|
, |
|
|
||
где произведено переобозначение произвольных |
констант: |
|
a AB, b AC. |
|
|
Найденная функция является решением уравнения, но начальным условиям она не удовлетворяет. Зависимость функции u x, , от константы как от параметра позво-
ляет искать необходимое частное решение в виде бесконеч-
ной |
суперпозиции |
частных |
решений: |
|
|
88 |
|
a cos |
|
|
|
u x, , |
по |
ние
x
b sin x e |
|
|
в пределах от
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
Интегрируя функцию
до , тоже найдѐм реше-
|
|
|
|
u x, a cos x b sin x e |
2 |
|
|
|
d , |
150 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
если a и b удовлетворяют условию, что данный инте-
грал, его производная по и вторая производная по x определены и находятсятся дифференцированием интеграла по и x. Коэффициенты a и b подбираются так, чтобы
удовлетворять начальному условию
|
|
a |
u 0 |
|
|
|
|
|
Предполагая,
|
|
|
cos x b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x d f |
|
x |
|
. |
151 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что функция |
f1 |
x |
интегрируема на всей чис- |
ловой оси, представим еѐ в виде интеграла Фурье:
Так как |
cos |
u 0
f1 x
f1
|
1 |
|
|
f cos x d d . |
|
2 |
|
|
|||
|
1 |
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
x cos cos x sin sin x, то |
cos cos x sin sin x d d . |
152 |
|
Сравнивая формулы
151
и |
152 , |
находим коэффициенты
a
и b :
|
a |
1 |
|
|
cos d , |
|
|
|
1 |
||
|
2 |
|
f |
||
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
sin d . |
||
|
|
f |
|||
|
|
|
|||
b |
|
|
|||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
89 |
|
Подставляя
имеем
u x, |
1 |
|
2 |
||
|
коэффициенты |
a |
и b |
в решение |
150 , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
cos cos |
x sin sin x e d |
|
|||||||||
|
|
|
f |
d |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x d |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
f cos |
e d . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это выражение является решением задачи Коши для уравнения теплопроводности. Однако это выражение является достаточно громоздким и малопригодным для анализа. С целью его упрощения введѐм новые переменные:
x |
; |
|
; |
x |
|
|
|
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
; d |
d; |
|
; d |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Подстановка новых переменных в последнее изменение порядка интегрирования даѐт:
u x, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos d |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
||||||||||||
2 |
|
f |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
e |
|
cos d |
f1 x |
|
d . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим отдельно внутренний интеграл
; |
|
|
d |
. |
|
|
||
|
выражение и
e |
|
2 |
d |
|
|||
|
|
153
I e 2 cos d .
В случае |
0, |
I 0 |
Продифференцируем
I e 2
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
e |
|
d |
|
– интеграл Пуассона. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I и проинтегрируем по частям:
sin d 1 sin d e 2
2
90