2893
.pdfпричем ϕ(z0 ) ≠ 0 и ϕ(z) аналитична в некоторой окрестности точки z0. Так как ϕ(z) непрерывна в точке z0 и ϕ(z0 ) ≠ 0 , то ϕ(z) не имеет нулей и в некоторой окрестности этой точки. Поэтому функция 1ϕ(z) будет также аналитической в этой окрестности и, следовательно, разлагается в ней в ряд Тейлора:
|
|
1 |
= b |
+b |
(z − z |
) +b |
|
(z − z |
)2 |
+... +b |
(z − z |
|
|
)n +..., |
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||
ϕ(z) |
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
= |
|
1 |
|
|
≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отсюда получаем |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (z) = |
1 |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
||
g(z) |
(z − z0 )N ϕ(z) |
(z − z0 )N |
ϕ(z) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
(b |
|
+b (z − z |
|
) +b |
|
(z − z |
)2 |
+...). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
− z0 )N |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
2 |
|
0 |
|
|
Раскрывая скобки и меняя обозначения коэффициентов, запишем последнее разложение в виде
|
c−N +1 |
|
|
c−N +1 |
|
c−1 |
∞ |
f (z) = |
|
+ |
+... + |
+∑cn (z − z0 )n = |
|||
(z − z0 ) |
N |
N −1 |
z − z0 |
||||
|
|
|
(z − z0 ) |
n=0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ cn (z − z0 )n , (7.3) |
|
|
|
|
|
|
|
n=−N |
где c−N = b0 ≠ 0 . Таким образом, главная часть лорановского
разложения функции f(z) содержит лишь конечное число членов; мы пришли к искомому равенству (7.2).
2. Пусть в проколотой окрестности точки z0 функция f(z) представляется лорановским разложением (7.2) (в более развернутом виде см. (7.3)), главная часть которого содержит лишь конечное число членов, причем c−N ≠ 0 . Надо доказать,
что z0 — полюс функции f(z). Умножая равенство (7.3) на (z — z0)N, получим функцию
h(z) = f (z)(z − z0 )N = c−n+1 (z − z0 ) +c−N +2 (z − z0 )2 +... (7.4)
151
Ряд в (7.4) является степенным рядом, сходящимся к аналитической функции не только в проколотой, но и во всей окрестности точки z0. Поэтому функция h(z) станет аналитической в этой окрестности, если доопределить ее в z0, положив h(z0) = c−N ≠ 0 . Тогда
lim f (z) = lim |
h(z) |
→ ∞. |
||
(z − z0 ) |
||||
z→z0 |
z→z0 |
|
||
|
|
Таким образом, точка z0 является полюсом, и теорема 7.3 доказана.
Кратность (порядок) нуля z0 функции g(z) = 1/f(z)
называется порядком полюса z0 функции f(z). Если N — порядок полюса z0, то g(z) = (z — z0)Nϕ(z) , причем ϕ(z) ≠ 0 , и,
как показано в первой части доказательства теоремы 26.3, разложение функции f(z) имеет вид (7.3), где c−N ≠ 0 . Обратно,
если f(z) раскладывается в ряд (7.3) и c−N ≠ 0 , то
1 |
= (z − z0 )N |
1 |
(z − z0 )N ϕ(z), где ϕ(z0 ) = |
1 |
≠ 0, |
|
f (z) |
h(z) |
h(z0 ) |
||||
|
|
|
т.е. N — порядок полюса функции f(z). Таким образом, порядок полюса z0 функции f(z) равен номеру старшего ненулевого коэффициента главной части лорановского разложения в проколотой окрестности точки z0 (т.е. равен такому числу N,
что c−N ≠ 0 и сп = 0 при п > N).
Докажем следующее утверждение, удобное для применений.
Следствие 7.4. Точка z0 является полюсом порядка N функции f(z) тогда и только тогда, когда f(z) представима в
виде |
h(z) |
|
|
f (z) = |
, |
||
(z − z0 )N |
|||
|
|
где h(z) — аналитическая функция в окрестности точки z0 и h(z0 ) ≠ 0 .
152
Доказательство. Функция ϕ(z) =1h(z) аналитична в
некоторой окрестности точки z0. Условие следствия 7.4 равносильно следующему:
g(z) = |
1 |
= (z − z0 )N |
1 |
= (z − z0 )N ϕ(z), |
ϕ(z0 ) ≠ 0 . |
|
f (z) |
h(z) |
|||||
|
|
|
|
Поэтому z0 — нуль кратности N функции g(z), а значит, и полюс кратности N функции f(z).
Пример 7.5. Найти изолированные особые точки функции
f (z) = |
z −1 |
|
(z2 +1)(z +3)2 |
|
|
и определить их тип. |
|
|
Решение. Особыми |
будут точки, в которых |
|
(z2 +1)(z +3)2 = 0 = 0. Если z2 + 1 = 0, то z = ±i, если (z + З)2 =0, |
то z = -3. Поэтому функция имеет три особые точки z1=i, z2=-i, z3= -3. Рассмотрим z1:
f (z) = |
z −1 |
|
= |
|
1 |
|
|
z −1 |
= |
h1 (z) |
, |
|||
(z −i)(z +i)(z +3)2 |
z −i |
(z +i)(z +3)2 |
z −i |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где h (z) = |
|
z −1 |
. Так как |
h (i) = |
i −1 |
|
≠ 0 , то z1=i - |
|||||||
(z +i)(z +3)2 |
2i(i +3)2 |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
полюс первого порядка (мы воспользовались следствием 7.4). Аналогично доказывается, что z2 = -i тоже полюс первого порядка. Для z3 имеем
f (z) = |
|
z −1 |
|
|
= |
h3 (z) |
|
, h (z) = |
z −1 |
. |
|
(z −i)(z +i)(z + |
3)2 |
(z +3)2 |
|
(z −i)(z +i) |
|||||||
|
|
3 |
|
||||||||
Так как h (−3) = |
|
−3 −1 |
|
≠ 0 ,то z3 |
= - 3 полюс второго по- |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
−4(−3 +i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рядка.
Перейдем к рассмотрению существенно особых точек.
Теорема 7.6. Изолированная особая точка z0 функции f(z) является существенно особой тогда и только тогда, когда главная часть разложения Лорана с центром z0 имеет бесконечно много отличных от нуля коэффициентов сп.
153
Доказательство. Теорема 7.6 непосредственно вытекает из теорем 7.2 и 7.3. Действительно, если точка z0 — существенно особая, то главная часть лорановского разложения не может отсутствовать либо содержать конечное число членов (в противном случае точка z0 будет либо устранимой, либо полюсом). Поэтому число членов в главной части должно быть бесконечным.
Обратно, если главная часть содержит бесконечно много членов, то z0 не может быть ни устранимой точкой, ни полюсом. Следовательно, эта точка — существенно особая.
Согласно определению, существенно особая точка характеризуется тем, что функция f(z) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при z → z0 . Полное представление о
том, насколько нерегулярным является поведение функции в окрестности существенно особой точки, дает следующая теорема.
Теорема 7.7 |
(теорема Сохоцкого). Если z0 |
— |
|||
существенно особая |
точка |
функции f(z), то |
для любого |
||
комплексного числа |
А, |
включая |
A = ∞, |
найдется |
|
последовательность |
точек |
zn такая, |
что |
zn → z0 |
и |
lim f (zn ) = A .
n→∞
Доказательство. Рассмотрим вначале случай A = ∞. В первой части доказательства теоремы 7.2 мы установили, что если f(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки z0, то все коэффициенты сn, п = - 1, - 2,... главной части равны нулю (и, следовательно, особенность в z0 устранимая). Так как по условию z0 существенно особая точка, то в любой проколотой окрестности точки z0 функция f(z) является неограниченной. Возьмем некоторую проколотую окрестность
0 < z − z0 < R , в которой f(z) является аналитической. В этой окрестности найдется точка z1, такая что f (z1 ) >1 (если бы f (z1 ) <1 во всех точках, то f(z) была бы ограниченной). Точно также в проколотой окрестности 0 < z − z0 < R 2 найдется
154
точка z2, в которой |
|
f (z2 ) |
|
> 2 , |
и |
т.д.: в проколотой |
||||
|
|
|||||||||
окрестности 0 < z − z0 |
< R n |
найдется |
точка zn, в которой |
|||||||
|
f (zn ) |
|
> n . Очевидно, |
что zn |
→ z0 |
и |
lim f (zn ) = ∞. Таким |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
образом, в случае A = ∞ теорема 26.7 доказана.
Пусть теперь A ≠ ∞ . Предположим вначале, что найдется проколотая окрестность 0 < z − z0 < R1 , в которой f (z) ≠ A .
Тогда функция ψ(z) = |
1 |
будет аналитической в этой |
f (z) − A |
проколотой окрестности и, следовательно, z0 является изолированной особой точкой функции ψ(z) . Покажем, что z0
— существенно особая точка ψ(z) . Пусть это неверно. Тогда
существует |
предел limψ (z) , конечный либо бесконечный. |
||||
|
z→z0 |
|
|||
Поскольку |
f (z) = A + |
|
1 |
, то тогда существует и lim f (z) , |
|
ψ(z) |
|||||
|
|
z→z0 |
что противоречит условию теоремы. Таким образом, z0 — существенно особая точка функции ψ(z) . Согласно
доказанному выше, найдется последовательность точек zn,
такая что zn |
→ z0 и limψ(z) = ∞. Отсюда |
|
|
|
|
||||||||
|
|
z→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
A . |
|
lim f |
(zn ) = lim |
A + |
= A +lim |
= |
|||||||||
|
|
ψ (z) |
|||||||||||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
ψ(zn ) |
n→∞ |
|
|
|||||
Мы доказали |
нужное |
|
утверждение в предположении, что |
||||||||||
f (z) ≠ A в |
некоторой |
проколотой |
окрестности |
точки z0. |
Предположим теперь, что это неверно, т.е. в любой сколь угодно малой проколотой окрестности точки z0 найдется такая точка z', что f(z') = А. Тогда для любого п в проколотой
окрестности 0 < z − z0 < R n можно выбрать такую точку zn. Мы получим последовательность точек, для которых f(zn) = А и
zn → z0 . Поэтому и lim f (zn ) = A . Таким образом, нужное
n→∞
155
утверждение справедливо во всех случаях, и теорема 7.7 доказана.
Согласно теореме 7.7 (Сохоцкого), в любой (сколь угодно малой) проколотой окрестности существенно особой точки функция f(z) принимает значения, сколь угодно близкие к
любому числу из расширенной комплексной плоскости . Для исследования изолированных особых точек часто
бывают полезными уже известные тейлоровские разложения основных элементарных функций.
Пример 7.8. Определить тип особой точки z0 = 0 для функции
f (z) = e3z −1 3
(sin z) − z + z 6
Решение. Разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора по степеням z. Подставляя в (2.11) 3z вместо z и вычитая 1, получим
e3z −1 = 3z + |
(3z) |
2 |
|
(3z) |
3 |
|
9z |
|
27z |
2 |
|
|
+ |
|
+... = z 3 + |
+ |
|
+... . |
|||||
2! |
|
3! |
|
2 |
6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя (2.12), получим разложение знаменателя:
sin z − z + |
z3 |
|
z5 |
|
z7 |
+... = z |
5 |
|
1 |
|
|
z2 |
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
+... |
||
6 |
5! |
7! |
|
5! |
7! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряды в этих разложениях сходятся во всей комплексной плоскости . Имеем
|
|
|
|
|
9z |
|
|
27z |
2 |
|
|
|
|
|
|
9z |
|
27z |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
z 3 + |
+ |
|
|
+... |
|
|
3 + |
+ |
|
|
+... |
|
|
||||||||||||||||
f (z) = |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
6 |
|
|
1 |
h(z) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||
|
|
z |
5 |
|
1 |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
z4 |
|
1 |
|
− |
z2 |
+... |
z4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
7! |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
5! |
7! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 + |
9z |
+ |
27z2 |
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 (z) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
где h(z) = |
2 |
|
|
|
6 |
|
|
. Так как h(z) = |
|
, причем f1(z) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
f2 (z) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5! |
|
− |
|
7! |
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
156
и f2(z) аналитичны в окрестности точки z0 = 0 (и даже во всей плоскости) и f2 (z0 ) ≠ 0 , то h(z) также аналитична в некоторой
окрестности точки z0 = 0; при этом h(0) = 3 5! ≠ 0 . Согласно следствию 26.4, точка z0 = 0 является полюсом порядка N = 4.
|
|
|
Пример |
7.9. |
Найти |
особые |
|
точки |
|
|
|
функции |
||||||||||||||||||
f (z) = sin |
1 |
|
и определить их тип. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Решение. Функция имеет единственную конечную |
|||||||||||||||||||||||||||
особую точку z0 = 1. В остальных точках |
из |
|
|
|
|
функция |
||||||||||||||||||||||||
w = |
|
1 |
|
|
|
аналитична; следовательно, и функция |
sin w будет |
|||||||||||||||||||||||
|
z −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
аналитической. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Подставляя в разложение синуса (2.12) |
|
|
|
вместо z, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z − |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin |
|
1 |
|
= |
1 |
|
− |
1 |
|
1 |
|
+ |
1 |
|
1 |
+... = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z −1 |
z −1 |
|
(z −1)3 |
|
(z −1)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3! |
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
2n+1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
(z −1) |
||||||||
Мы получили разложение функции |
sin |
|
1 |
|
|
в ряд Лорана в |
||||||||||||||||||||||||
|
z −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проколотой окрестности точки z0 = 1. Поскольку полученное разложение содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями (z — 1), то z0 = 1 — существенно особая точка (в данном случае лорановское разложение состоит только из главной части, а правильная часть отсутствует).
Заметим, что установить характер особенности в данном случае можно было и непосредственно из определения, не прибегая к разложению в ряд. Действительно, существуют последовательности {z'n} и {z''n}, сходящиеся к z0 = 1, и такие, что f(z'n) = 1, f(z''n) = 0 (укажите такие последовательности
157
самостоятельно). Значит, f(z) не имеет предела при z →1 и, следовательно, точка z0 = 1 является существенно особой.
Введем понятие лорановского разложения функции в окрестности точки z0 = ∞ и рассмотрим связь разложения с
характером особенности в этой точке. Отметим, что определения изолированной особой точки и ее типа (устранимая, полюс либо существенно особая) переносятся на случай z0 = ∞ без изменений. Но теоремы 7.2, 7.3 и 7.6,
связанные с характером лорановских разложений, нуждаются в изменении. Дело в том, что члены cn(z — z0)n, п = -1,-2,..., главной части, определяющие "нерегулярность" функции вблизи конечной точки z0, при стремлении z к ∞ будут вести себя "правильно" (стремиться к 0). Напротив, члены правильной части с n = 1,2,... будут стремиться к ∞; они и определяют характер особенности в z0 =∞ . Поэтому главную
часть разложения в окрестности ∞ будут составлять члены с положительными степенями n, а правильную — с отрицательными.
Введем новое переменное w = 1/z. Функция w = 1/z, доопределенная так, что w(∞) = 0 , взаимно однозначно и
конформно |
отображает окрестность |
|
|
z |
|
> R |
точки z0 |
= ∞ |
в |
||||||
|
|
||||||||||||||
окрестность |
w <1 R |
точки |
w0 = |
0. Если функция f(z) |
|||||||||||
аналитична |
в проколотой |
окрестности |
R < |
|
z |
|
< ∞ |
точки |
|||||||
|
|
||||||||||||||
z0 = ∞ , то |
функция |
G(w) = f (1 w) |
будет |
аналитической |
в |
проколотой окрестности 0 < w <1 R точки w0 = 0. Так как при
z → ∞ будет w → 0 , то
lim f (z) = lim G(w) .
z→∞ w→0
Поэтому G(w) имеет в точке w0 = 0 особенность того же типа, что f(z) в точке z0 = ∞ . Разложим функцию G(w) в ряд Лорана
в проколотой окрестности точки w0 = 0:
158
∞ |
∞ |
−∞ |
|
G(w) = ∑ bk wk = ∑bk wk + ∑bk wk . |
(7.5) |
||
k =−∞ |
k =0 |
k =−1 |
|
Суммы в правой части (7.5) представляют правильную и главную части разложения соответственно. Перейдем к переменному z, подставив w = 1/z:
1 |
∞ |
−k |
−∞ |
−k |
|
||
G |
|
|
= ∑bk z |
|
+ ∑bk z |
|
. |
|
|
|
|||||
z |
k =0 |
|
k =−1 |
|
|
||
Обозначая n = −k, bk = b−n = cn и |
замечая, |
что G(1/z) = f(z), |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−∞ |
|
∞ |
|
|
f (z) = ∑cn zn +∑cn zn . |
(7.6) |
||||||
|
|
|
n=0 |
|
n=1 |
|
|
Разложение (7.6) называется разложением Лорана функции f(z) в проколотой окрестности точки z0 = ∞ . Первая сумма в
(7.6) называется правильной частью, а вторая сумма — главной частью этого разложения. Поскольку эти суммы соответствуют правильной и главной частям разложения (7.5), то для разложения (7.6) справедливы аналоги теорем 7.2, 7.3 и 7.6. Так, аналогом теоремы 7.2 будет следующая теорема.
Теорема 7.10. Изолированная особая точка z0 = ∞
функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда лорановское разложение в проколотой окрестности этой точки имеет вид
−∞ |
|
c−1 |
|
|
|
c−2 |
|
||
f (z) = ∑cn zn = c0 + |
|
+ |
+... , |
||||||
z |
2 |
||||||||
n=0 |
|
|
|
z |
|||||
т.е. состоит только из правильной части. |
|||||||||
Положим f (∞) = c0 . |
Функция, |
|
|
определенная |
|||||
(26.7), сходящимся в окрестности |
|
z |
|
> R точки |
|||||
|
|
(7.7)
рядом z0 = ∞ ,
называется аналитической в точке z0 = ∞ . (Заметим, что это
определение равносильно аналитичности функции G(w) в точке w0 = 0.)
Пример 7.11. Исследовать особую точку z0 = ∞ функции
159
|
f (z) = |
z −1 |
|
. |
|
|
(z2 +1)(z +3)2 |
||||
Решение. Найдем предел функции f(z) при z0 = ∞ : |
|||||
lim f (z) = lim |
|
z −1 |
= 0 . |
||
|
|
||||
z→∞ |
z→∞ (z2 +1)(z +3)2 |
|
|
||
Так как предел конечен, то z0 |
= ∞ — устранимая особая точка |
||||
функции f(z). Если положить |
f (∞) = lim f (z) = 0 , то f(z) станет |
||||
|
|
|
z→∞ |
|
|
аналитической в |
точке |
z0 =∞ . Укажем, как найти |
соответствующее разложение (7.7). Перейдем к переменному w = 1/z. Подставляя z = 1/w, получим
1 |
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
(1−w)w |
||||||
G(w) = f |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
2 |
)(1+3w) |
|||||||
w |
|
|
|
|
|
(1+ w |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
+3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
w |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
(последнее равенство справедливо в проколотой окрестности точки w0 = 0, но мы доопределим G(0) = 0). Полученная функция имеет особые точки w = ±i , w = −13 , а в точке w0 = 0 является аналитической. Раскладывая функцию G(w) по степеням w (как это делалось в примере 6.7) и подставляя в полученный степенной ряд w = 1/z, можно получить разложение (7.7) функции f(z).
Теорема 7.3 для случая z0 = ∞ перепишется в следующем
виде.
Теорема 7.12. Изолированная особая точка z0 = ∞
функции f(z) является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть разложения Лорана (7.6) имеет лишь конечное число отличных от нуля коэффициентов сп:
−∞ |
|
f (z) = ∑cn zn +(c1z +c2 z2 +... +cN zN ), N > 0 . |
(7.8) |
n=0
Здесь ряд является правильной частью, а многочлен в скобках — главной частью разложения. Кратность полюса в ∞
160