2893
.pdfВторое равенство в (3.1) получается, если принять по
определению ex+iy |
= exeiy |
и применить к eiy формулу Эйлера. |
||||||
Из (3.1) следует, что |
|
|
|
|
||||
|
|
ez |
= |
ex+iy |
= ex , Arg ey |
= y +2πn . |
|
|
Определение (3.1) и свойства функции |
eiϕ позволяют легко |
|||||||
доказать, |
что функция |
ez |
обладает обычными |
свойствами |
||||
показательной функции: |
|
|
|
|
||||
|
ez1 +z2 = ez1 ez2 , |
ez1 −z2 = ez1 ez2 , |
(ez )n = enz . |
|
||||
Докажем |
первое |
|
из |
этих свойств. |
Пусть |
z1 = x1 +iy1 , |
z2 = x2 +iy2 Применяя (3.1) и (2.15), получим
ez1 ez2 = ex1 eiy1 ex2 eiy2 = ex1 ex2 eiy1 eiy2 = ex1 +x2 ei( y1 +y2 ) = ez1 +z2 .
Докажем, что функция ez будет аналитической во всей комплексной плоскости . Для этого надо проверить выполнимость условий Коши—Римана. Если ω = u +iv , то в
силу (3.1) u +iv = ex cos y +iex sin |
y , откуда |
u = ex cos y, |
v = ex sin y; |
∂∂ux = ∂∂yv = ex cos y, ∂∂uy = − ∂∂vx = −ex sin y.
Таким образом, условия (2.4) выполнены, и аналитичность функции ez доказана. Чтобы вычислить производную (ez )′,
воспользуемся независимостью производной от направления и вычислим производную в направлении оси ОХ:
|
z ′ |
|
∂ |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
z |
|
(e |
) |
= |
|
(e |
|
(cos y +i sin |
y)) = e |
|
(cos |
y +i sin y) = e |
|
||||
∂x |
|
|
|
||||||||||||
Следовательно, для производной функции |
ez имеет место |
||||||||||||||
обычная формула |
|
(e |
z |
′ |
= e |
z |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
Следующее свойство функции ez не имеет аналога в случае показательной функции действительного переменного:
функция ez является периодической с чисто мнимым периодом 2πi . В самом деле, для любого целого n
71
ez+2πni = ex (cos ( y +2πn) +i sin ( y +2πn)) = ex (cos y +i sin y) = ez
.
Из периодичности функции ω = ez следует, в частности, что она не является однолистной во всей комплексной плоскости. Для выяснения, в каких областях эта функция однолистна,
положим z1 = x1 +iy1 , |
z2 = x2 +iy2 . В |
силу |
(3.1), равенство |
|||||
ez1 = ez2 равносильно следующим условиям: |
|
|
|
|||||
ex1 |
= ex2 , |
cos y = cos y |
, |
sin y |
= sin y |
, |
||
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
откуда следует |
x1 = x2 , |
y1 = y2 +2πn , где n — произвольное |
||||||
целое число, или |
|
z1 − z2 |
= 2πni . |
|
|
(3.2) |
||
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
для взаимной |
однозначности |
отображения |
|||||
ω = ez в области D необходимо и достаточно, |
чтобы D не |
содержала никакой пары точек, для которой справедливо (3.2). В частности, этому условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной 2π , например полосы
{z : −∞ < x < ∞, 2πk < y < 2π(k +1)}, k = 0, ±1, ±2,…
Каждой такой полосе соответствует совокупность значений
ω = ez = exeiy = ρeiθ |
для которых, |
в силу равенств ρ = ex , |
θ = y , имеем |
|
|
0 < ρ < ∞, 2πk <θ < 2π(k +1). . |
||
Эти значения ω |
заполняют всю |
комплексную плоскость |
переменного ω с разрезом по действительной положительной
полуоси. При этом прямые |
y = y0 |
(показаны на рис. 4.7, а |
|
пунктиром) переходят в лучи θ = y0 |
(рис. 4.7, б), а интервалы |
||
x = x0 , 2πk < y < 2π(k +1) |
(показаны сплошными линиями для |
||
k = 0 ) — в окружности |
ρ = e x0 (с выколотыми точками на |
||
полуоси u > 0 ). Полосы |
0 < Im z < h < 2π показательная |
функция ez отображает в углы 0 <θ < h . В частности, полоса 0 < Im z <π переводится в верхнюю полуплоскость.
72
Рис. 4.7
2. Логарифмической функцией называется функция,
обратная показательной.
Так как показательная функция ez не является однолистной в , то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция
обозначается Ln z . Таким образом, если ω = Ln z , то z = eω . Положим
ω = u +iv, z = reiϕ = reiArg z .
Тогда
reiArg z = z = eω = eu+iv = eueiv .
Сравнивая числа, стоящие в начале и конце этой цепочки, заключаем, что
r = eu , |
eiArg z = eiv . |
(3.3) |
Из первого равенства находим |
u = ln r , где ln r |
— обычный |
натуральный логарифм положительного числа r . Второе равенство в (3.3) дает v = Arg z . Таким образом,
L n z = ln |
|
z |
|
+i Arg z . |
(3.4) |
|
|
Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и ∞, формула (3.4) ставит в соответствие бесконечное множество значений
73
Ln z , отличающихся друг от друга на величину 2πki , где k — любое целое число. Удобно представить Arg z в виде
Arg z = arg z +2πk, −π < arg z ≤π ,
где arg z — главное значение аргумента. Тогда формула (11.4) примет вид
Ln z = ln |
|
z |
|
+i(arg z +2πk) . |
(3.5) |
|
|
Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной
однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной полуоси; она также и аналитична в этой
области как функция, обратная аналитической функции ez . Таким образом, для каждого фиксированного к формула (3.5) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z .
Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с
разрезом по отрицательной полуоси в полосу
−π +2πk < Im ω <π +2πk .
Ветвь, которая получается при k = 0 , обозначается ln z и
называется главным значением многозначной функции Ln z : ln z = ln z +i arg z .
Например, ln i = ln1+iπ 2 = iπ 2 ; ln(−i) = ln1−iπ 2 = −iπ 2 .
Если приближаться к точке z = −1 по верхней полуплоскости
y > 0 , то lim l(−1+iy) = ln1+iπ = iπ ; если по нижней, — то
y→0+0
lim l(−1+iy) = ln1−iπ = −iπ .
y→0−0
Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z , возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов")
плоскости с разрезом по отрицательной полуоси и склеим их так, как показано на рис. 26. Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = ∞, располагается бесконечно много точек римановой поверхности. В точках 0 и ∞ функция Ln z
не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0
и z = ∞ называются точками ветвления бесконечного порядка.
74
Рис. 4.8 наглядно демонстрирует причину того, что
lim ln(−1+iy) ≠ |
|
|
y→0+0 |
|
|
|
≠ lim ln(−1+iy) : |
|
|
y→0−0 |
|
если |
предположить, что |
|
точки |
−1±h, h > 0 , |
Рис. 4.8 |
находятся на одном и том же |
||
листе |
римановой поверхности |
и устремить h , к нулю, то |
предельные положения этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.
Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной полуоси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом в к оси ОХ. Тогда регулярные ветви
будут задаваться следующей формулой: при z = eiϕ
Ln z = ln r +i(ϕ +2πk), θ <ϕ <θ +2π .
Формула (3.5) является частным случаем при θ = −π . В заключение данного параграфа покажем, что производная каждой регулярной ветви f (z) логарифма находится по
формуле
f ′(z) = 1z
аналогичной формуле для производной логарифмической функции действительного переменного. Этот факт выводится
из равенства (ez )′ = ez и формулы (10.2) производной обратной функции. Действительно, обратной к ω = f (z) будет функция
z = eω . Отсюда получаем
f ′(z) = g′(1ω) = (e1ω )′ = e1ω = 1z .
75
4.4. Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского
1. Общая степенная функция ω = za , где a =α +iβ —
фиксированное комплексное число, определяется соотношением
|
z = reiϕ , |
za = eaLn z . |
Ln z = ln r +i(ϕ +2πk) . |
||||
Полагая |
получаем |
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
zα |
= e(α+iβ )(ln r +i(ϕ+2πk )) = eα ln r −β (ϕ+2πk )ei(α (ϕ+2πk )+β ln r ) . |
||||||
Отсюда |
видно, что |
при β ≠ 0 модуль |
|
zα |
|
= eα ln r −β (ϕ+2πk ) |
|
|
|
принимает бесконечное множество значений. Таким образом, при β ≠ 0 функция zα будет бесконечнозначной.
Пример 4.6. Найти все значения функции ω = zi в точке z =i .
Решение. Поскольку Lni = ln1+i(π2 +2πk) , то
ii = ei ln i = ei2 (π 2+2πk ) = e−π 2−2πk , k = 0, ±1, ±2,…
В данном случае все искомые значения функции оказались действительными.
При β = 0 получаем
za = eα ln r eiα (ϕ+2πk ) .
(4.1)
Отсюда следует, что значения степенной функции отличаются лишь аргументами θk =α(ϕ +2πk) . Если α — рациональное
число, т.е. оно представимо несократимой дробью α = mn (m и
n — целые числа), то среди θk имеется лишь n значений, определяющих различные значения zα :
76
θk = m |
ϕ + |
2πkm |
, k = 0,1, 2,…, n −1. |
n |
|
n |
|
При k = n, n +1,… мы получим значения θk , отличающиеся от уже известных на числа, кратные 2π . Значит, для таких значений k мы не получим новых точек zα . Итак, при a = mn формула (4.1) дает (мы пользуемся также равенством
eα ln r = rα для действительных чисел r,α ): |
|
|
|
|||||
z |
m n |
= r |
m n |
m(ϕ +2πk) |
+i sin |
m(ϕ +2πk) |
, |
|
|
cos |
n |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
k = 0,1, 2,…, n −1.
Сравнивая эту формулу с (2.12) мы видим, что
zmn = n zm .
Итак, для рациональных показателей a функция za является
конечнозначной. |
При |
иррациональных |
(действительных) |
||||||||||
a =α среди значений аргумента θk |
=α(ϕ +2πk) нет чисел, |
||||||||||||
отличающихся друг от друга на величины, |
кратные 2π . (Если |
||||||||||||
бы |
нашлись |
такие |
натуральные |
числа |
|
k1, k2 ,l , что |
|||||||
θ |
|
|
−θ |
|
= 2πl , т.е. 2πk α −2πk α = 2πl и k ≠ k |
|
то α = |
1 |
|
||||
k |
|
k |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
k2 −k1 |
|||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, α — рациональное число, что противоречит сделанному предположению.) Поэтому для иррациональных
показателей a функция za бесконечнозначна. Ее риманова поверхность такая же, как и риманова поверхность логарифма.
Общая степенная функция ω = za в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей в тех же областях, что и логарифмическая; например в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь
ealn z = ea(ln z +i arg z) ,
выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси, называется главной ветвью степенной функции. В
77
силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства
(za )′ = (ea f ( z) )′ = ea f ( z) af ′(z) = za a 1z = aza−1 ,
где f (z) — регулярная ветвь логарифмической функции Ln z .
Мы получили обычную формулу для производной степенной функции:
(za )′ = aza−1 .
2. Перейдем к тригонометрическим функциям. Для действительных значений х из формулы Эйлера (2.14) следует, что
eix = cos x +i sin x, |
e−ix = cos x −i sin x . |
||||||||||
Отсюда cos x = |
eix +e−ix |
|
eix −e−ix |
. Эти формулы служат |
|||||||
2 |
|
, sin x = |
2i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
основой следующего определения. |
|
|
|
|
|||||||
Тригонометрические функции комплексного переменного |
|||||||||||
z определяются равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
cos z = |
|
eiz + e−iz |
|
sin z = |
eiz |
− e−iz |
||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|||
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2i |
||||
|
tg z = |
sin z |
, |
ctg z = |
cos z |
. |
(4.2) |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
cos z |
|
|
sin z |
|
|
Определенные таким образом функции сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного
переменного. Из периодичности функции ez следует, что функции sin z и cos z периодичны с периодом 2π , a tgz и ctgz
— с периодом π . Функция sin z нечетна, a cos z — четна. Действительно,
sin(−z) = |
e−iz −e−i(−z) |
= − |
eiz −e−iz |
= −sin z . |
|
2i |
2i |
||||
|
|
|
78
Аналогично доказывается четность функции cos z (докажите!). Для функций, определенных равенствами (4.2), справедливы обычные тригонометрические соотношения. Например,
sin2 z +cos2 z =1, sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 +cos z1 sin z2
и т.д. Все эти соотношения вытекают из (4.2). Докажем, например, последнюю формулу:
sin z1 cos z2 +cos z1 sin z2 =
= |
eiz1 −e−iz1 |
|
eiz2 +e−iz2 |
+ |
eiz1 +e−iz1 |
|
eiz2 −e−iz2 |
= |
||
2i |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|
2i |
||||||
|
|
|
|
= |
ei ( z1 +z2 ) −e−i ( z1 +z2 ) |
= sin(z1 + z2 ) . |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2i |
||||
Функции sin z и |
cos z аналитичны во |
всей плоскости , |
причем имеют место обычные формулы дифференцирования: (sin z)′ = cos z , (cos z)′ = −sin z .
Докажем, например, формулу для производной sin z :
′ |
eiz −e−iz ′ |
1 |
|
|
|
iz |
′ |
−iz ′ |
|
|
|
|||||
(sin z) |
= |
|
= |
|
((e |
|
|
) −(e |
) ) = |
|
|
|
||||
2i |
2i |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
(ieiz +ie−iz ) = |
1 (eiz |
+e−iz ) = cos z. |
|||||
|
|
|
|
|
2i |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Используя формулы для производной частного, получим |
||||||||||||||||
|
|
(tg z)′ = |
|
1 |
|
|
, |
|
|
(ctg z)′ = − |
|
1 |
. |
|
||
|
|
cos2 z |
|
|
sin2 z |
|
Однако не все свойства тригонометрических функций действительного переменного сохраняются при продолжении этих функций в комплексную плоскость. В частности, sin z и cos z могут принимать значения, по модулю превосходящие 1. Например,
|
e |
i2 |
+e |
−i2 |
|
e |
−1 |
1 |
|
e |
−1 |
1 |
|
|
cos i = |
|
|
= |
|
+e |
≈1,54; sin i = |
|
−e |
≈ −1,17i. |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
||||
3. Функции, обратные (4.2), называются обратными |
||||||||||||||
тригонометрическими |
|
функциями. |
|
Так |
как |
79
тригонометрические функции (4.2) периодичны, то обратные к ним функции будут бесконечнозначными. В силу того что функции (4.2) достаточно просто выражаются через показательные, обратные к ним функции удается выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например, для ω = Arc cos z . Из определения этой функции имеем
z = cosω = |
eiω +e−iω |
||
|
|
, |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
откуда e2iω −2zeiω +1 = 0 . Решая это |
квадратное уравнение |
||
относительно eiω , находим eiω = z + |
z2 −1 (мы опускаем ± |
перед знаком квадратного корня, поскольку понимаем корень как двузначную функцию, принимающую оба соответствующих значения). Из последнего равенства получаем
ω = Arccos z = −iLn(z + |
z2 −1). |
В силу соотношения (z + z2 −1)(z − |
z2 −1) =1 изменение |
знака перед корнем приводит к изменению знака перед логарифмом. Но корень принимает значения как с "+" так и с " −". Значит, и среди значений Arc cos z будут значения как с "+", так и с " −" перед логарифмом. Поэтому знак " −" можно не писать:
Arccos z = iLn(z + z2 −1) . |
(4.3) |
Аналогичные формулы можно дать и для других обратных тригонометрических функций:
Arcsin z = |
π |
− Arccos z = |
π |
−iLn(z + z2 −1); |
|||||
|
2 |
|
π |
|
2 |
|
1 |
(4.4) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Arctg z = |
− Arccrg z |
= |
Ln i − z . |
||||||
2 |
2i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
i + z |
Из элементарных функций комплексного переменного отметим также гиперболические функции sh z, ch z, th z, и
cth z, определяемые равенствами
80