2894
.pdfпроще найти вычет в бесконечно удаленной точке и воспользоваться теоремой 3.9 о сумме вычетов.
Пример 3.2. Вычислить интеграл ∫ dz .
z =2 (z8 +1)2
Решение. Функция f (z) = (z8 1+1)2 имеет восемь особых
точек — решений уравнения z8 +1 = 0 . Каждая из этих точек zk является полюсом второго порядка, поскольку в окрестности
точки zk функция f(z) имеет вид f (z) = |
h(z) |
, где h(z) |
|
(z − zk )2 |
|||
|
|
аналитична в окрестности точки zk. Все особые точки лежат внутри окружности z = 2 . Вычисление вычетов во всех этих
точках весьма трудоемко. Но к данной функции применима теорема 3.9, которая дает
8
res∞ f +∑reszk f = 0 . (7.21)
k =1
Поэтому достаточно найти вычет в точке z0 =∞ . Перейдем к
переменному w = 1/z. Подставляя z = 1/w, получим |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
w16 |
|
16 |
|
|
16 |
|
|
|
G(w) = f |
|
|
= |
|
|
= w h(w) , |
где h(w) = |
|
w |
|
|
|
8 |
2 |
|
|
|
||||||
w |
|
(1+ w ) |
|
|
(1 |
8 |
2 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ w ) |
|
|
Функция h(w) аналитична в окрестности точки w0 = 0. Поэтому
h(w) = b +b w +b w2 |
+..., откуда |
|||
0 |
1 |
2 |
|
|
G(w) = b w16 |
+b w17 |
+b w18 |
+.... |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
Значит, разложение Лорана функции f(z) в окрестности точки z0 = ∞ имеет вид
f (z) = zb160 + zb171 + zb182 +... .
Так как коэффициент при z -1 равен нулю, то res∞ f = 0 . Из
(7.11) и (7.21) получаем
171
|
|
|
|
|
dz |
8 |
|
||
|
|
|
|
|
|
= 2πi∑reszk f |
= 0 . |
||
|
|
|
|
|
8 |
2 |
|||
|
|
z |
|
∫=2 (z |
+1) |
|
k =1 |
2π |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Вычисление |
интегралов вида |
∫ R (cosϕ,sin ϕ)dϕ, |
||||||
где R |
– рациональная |
|
функция от |
0 |
|||||
|
cosϕ , sin ϕ. Такие |
интегралы возникают в ряде приложений (например, при решении краевых задач). Они сводятся к интегралам, рассмотренным в предыдущем пункте, с помощью замены
переменного dz = eiϕ . Тогда dz = eiϕidϕ= zidϕ, откуда |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dz |
|
idz |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
iϕ |
|
|
−iϕ |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dϕ= |
|
= − |
|
, cosϕ= |
|
(e |
|
+ e |
|
) = |
|
|
z + |
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
iz |
|
z |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
iϕ |
|
−iϕ |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin ϕ= |
(e |
−e |
) |
= |
|
z − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
(мы воспользовались формулами (4.2)). При изменении ϕот 0 до 2π точка z описывает окружность z =1. Поэтому после
перехода к переменному z мы получим интеграл по единичной окружности от функции, представимой в виде отношения двух многочленов; такие функции называются
рациональными дробями или дробно-рациональными функциями.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
dϕ |
|
||
|
|
|
Пример 3.3. |
|
Вычислить |
|
|
интеграл |
∫ |
|
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1−2a cosϕ+ a2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Решение. Выполняя указанные выше подстановки, |
|||||||||||||||||||||||||
получим, что данный интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
idz |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
idz |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
( |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
z |
=1 |
az |
|
− |
a |
|
+1 |
z + a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
−z 1−2a |
|
|
z + |
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
172
Разложим знаменатель на множители, для чего найдем корни уравнения az2 −(a2 +1)z + a = 0. Дискриминант
D = (a2 +1)2 −4a2 = a4 + 2a2 +1−4a2 = a4 −2a2 +1= (a2 −1)2 ,
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z = |
a |
2 +1+ (a2 −1) |
= a, |
z |
2 |
= |
a2 |
+1−(a2 −1) |
= |
1 |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
a |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Поэтому |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
az2 −(a2 +1)z + a |
a(z −a)(z −1 a) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
Следовательно, |
подынтегральная |
функция |
f (z) имеет |
||||||||||||||||||||
две особые |
точки |
|
z1 = a и |
z2 =1 a , |
|
|
каждая из |
которых |
||||||||||||||||||
является полюсом первого порядка. |
|
Так как по условию, |
||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
<1 то z1 |
лежит внутри окружности |
|
a |
|
=1 , а z2 |
- вне ее. По |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
теореме 7.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
idz |
|
|
|
|
|
|
= 2πi resa f . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
az2 −(a2 +1)z + a |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления вычета в точке z1 = a можно
воспользоваться любой из формул (7.5), (7.6). Применим, например, формулу (7.6). Здесь
ϕ(z) = i , ψ(z) = az2 −(a2 +1)z + a , ψ′(z) = 2az −(a2 +1) ,
|
|
resa f = |
|
i |
= |
|
i |
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
2aa −(a2 +1) |
a2 −1 |
||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2π |
dϕ |
|
|
i |
|
|
2π |
|||
|
∫ |
= 2πi |
|
= |
|
||||||
|
|
|
|
. |
|||||||
|
1−2a cosϕ+ a2 |
a2 −1 |
1−a2 |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Вычисление несобственных |
интегралов. Пусть |
|||||||||
f (x) — |
функция, заданная на всей |
оси |
ОХ. Рассмотрим |
173
|
|
|
|
∞ |
вычисление |
несобственных |
интегралов |
∫ f (x)dx , |
|
определяемых следующим образом: |
|
−∞ |
||
|
|
|||
|
∞ |
R |
|
|
|
∫ f (x)dx = Rlim→∞∫ f (x)dx . |
(7.22) |
||
|
−∞ |
−R |
|
|
Интеграл, определенный равенством (7.22), называется
несобственным интегралом в смысле главного значения. Если
∞
предел в (7.22) существует, то интеграл ∫ f (x)dx называется
−∞
сходящимся; если предел не существует, то расходящимся. Если сходится каждый из интегралов
∞ |
0 |
∞ |
R |
∫ f (x)dx = Rlim→∞ ∫ f (x)dx и |
∫ f (x)dx = Rlim→∞ ∫ f (x)dx |
||
−∞ |
−R |
0 |
0 |
(т.е. существуют оба соответствующих предела), то несобственный интеграл в (7.22) также сходится и равен сумме этих интегралов. Но обратное неверно: из сходимости
∞
интеграла ∫ f (x)dx в смысле главного значения (т.е. из
−∞
существования предела в (7.22)) не следует сходимость
0 |
∞ |
интегралов ∫ f (x)dx и |
∫ f (x)dx . Например, интеграл |
−∞ |
0 |
∞xdx
∫2 сходится в смысле главного значения и равен нулю
−∞1+ x
поскольку
R |
xdx |
|
1 |
2 |
|
R |
|
|
|||||
∫ |
|
|
||||
|
= |
2 ln(1+ x ) |
|
|||
|
|
−R |
||||
1+ x2 |
||||||
−R |
|
|
|
|
|
|
= 0 для любого R > 0 .
174
|
|
0 |
xdx |
|
|
В |
то же время каждый из интегралов ∫ |
и |
|
|
1+ x2 |
|||
|
|
−∞ |
|
|
∞ |
xdx |
|
|
|
∫ |
расходится. |
|
|
|
1+ x2 |
|
|
||
0 |
|
|
|
|
Вычисление многих несобственных интегралов
∞
∫ f (x)dx
−∞
(в смысле главного значения) основывается на следующей теореме.
Теорема 3.4. Пусть функция f (x) , x (−∞,+∞) удовлетворяет следующим двум условиям:
1)функция f (z) , получаемая заменой x комплексным
переменным z имеет в комплексной плоскости ^ лишь изолированные особые точки, причем ни одна из них не лежит на оси OX ;
2)если γ(R) — полуокружность радиуса R с
центром в начале координат, лежащая в верхней (либо в нижней) полуплоскости, то
Rlim→∞ ∫ f (z)dz = 0 . |
(7.23) |
γ( R) |
|
∞
Тогда интеграл ∫ f (x)dx равен сумме вычетов функции
−∞
f (x) в особых точках, лежащих в верхней полуплоскости,
умноженной на 2πi (соответственно равен сумме вычетов в особых точках из нижней полуплоскости, умноженной на
−2πi ).
Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда полуокружность 7(R) лежит в верхней полуплоскости. Возьмем
175
замкнутый контур Г, состоящий из отрезка [—R, R] и полуокружности j(R), с обходом против часовой стрелки (рис. 49). По теореме 7.1
R
∫ f (x)dx + ∫ f (z)dz =
−R γ( R)
n
= ∫ f (z)dz = 2πi∑reszk f ,
Γ
где сумма распространяется на все особые точки zk , лежащие
внутри контура Γ. Перейдем к
Рис. 7.2 пределу при R →∞. Пользуясь соотношениями (7.22) и (7.23), получим нужное равенство:
∞ |
|
|
∫ f (x)dx = 2πi∑reszk f . |
(7.24) |
|
−∞ |
k |
|
где сумма берется по всем особым точкам из верхней полуплоскости.
Если полуокружность γ(R) лежит в нижней
полуплоскости, то соответствующий контур Γ− будет обходиться по часовой стрелке (такое направление возникает
оттого, что отрезок [−R, R] в любом случае должен
проходиться слева направо, т.е. в направлении возрастания x ). Поэтому в правой части (7.24) добавится знак минус. Теорема 7.24 доказана.
|
|
∞ |
|
|
x2 + 4 |
|||
Пример 4.5. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
dx . |
|||||
|
(x2 +9)2 |
|||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
||
Решение. В данном случае |
f (z) = |
|
|
z2 |
+ 4 |
dx . Проверим |
||
|
(z2 |
+9)2 |
||||||
|
|
|
|
|
справедливость условия (7.23):
176
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1+ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z |
|
|
1 |
|
|||||
f (z) = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
h(z) , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
z |
2 |
|||||||
|
|
4 |
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
4 |
|
|
|
|
|
Где |
h(x) = |
|
z2 |
. Так как |
lim h(z) =1, то при достаточно |
||||
|
|
||||||||
|
9 |
2 |
|||||||
|
|
|
z→∞ |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
1+ |
|
|
|
||||
|
|
|
z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
больших значениях |
|
z |
|
будет |
|
h(z) |
|
< 2 . Поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (z) |
|
= |
|
|
h(z) |
|
|
< |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2π |
|||||||||||||||||||||||
|
∫ f (z)dz ≤ ∫ |
|
f (z) |
|
|
|
dz |
|
≤ ∫ |
|
|
dz |
|
= |
πR = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R2 |
R2 |
R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
γ( R) |
γ( R) |
|
|
|
γ( R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(здесь ∫ dz = πR — длина полуокружности γ(R) ). Переходя
γ( R)
кпределу при R →∞, получим (7.23). Проведенные оценки справедливы как для верхней, так и для нижней полуокружности. Поэтому в качестве γ(R) можно выбрать
любую из них. Пусть γ(R) — верхняя полуокружность. Так как
f (z) = |
z2 |
+ 4 |
= |
|
z2 + 4 |
, |
|
(z2 |
+9)2 |
(z +3i)2 (z −3i)2 |
|||||
|
|
|
|||||
то f (z) имеет две |
особые |
точки z1 = 3i , z2 = −3i , |
являющиеся полюсами второго порядка. Из них в верхней полуплоскости находится только z1 = 3i . Вычет в этой точке
найдем по формуле (7.7) с n = 2 :
177
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z |
2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −3i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(z −z0 ) f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
= |
|
|
z |
+ 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z +3i) (z −3i) |
|
|
|
(z +3i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
′ 2z |
z +3i |
2 |
−2 |
( |
z +3i |
) |
|
z2 + 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
z + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
||||||||||||
|
z −z |
) |
f |
|
z |
) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( |
|
( |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( |
0 |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2(z +3i)(3iz −4) |
= |
2(3iz −4) |
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z +3i)4 |
|
|
|
|
|
|
|
(z +3i)3 |
|
|||||||||||||
|
res |
f = |
|
1 |
lim |
2(3iz −4) |
|
= |
2(3i 3i −4) |
= |
|
2(−9−4) |
= |
13 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 i3 |
|
|
108i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3i |
|
|
1! z→3i |
( |
|
|
|
3 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +3i |
) |
|
|
|
3i |
+3i |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что вычислить данный интеграл можно было и не прибегая к методам комплексного анализа, а находя первообразную подынтегральной функции. Но приведенное вычисление значительно проще.
Рассуждение, проведенное нами в примере 4.5 для проверки условия (7.23), без изменения подходит к любой
функции f (z), представимой в виде отношения двух
многочленов (т.е. рациональной дроби), если степень многочлена в знаменателе на две и более единицы превосходит степень многочлена в числителе. (В примере 4.5 степень многочлена в числителе равна 2, а в знаменателе — 4.) Следующая теорема показывает, что условию (7.23) удовлетворяет и другой важный класс функций, интегралы от которых возникают, например, в операционном исчислении.
Теорема 4.6 (лемма Жордана). Пусть функция F (z)
аналитична в полуплоскости lim z ≥−a , за исключением
конечного числа изолированных особых точек, и lim F (z)= 0 .
z→∞
178
Если γ(R)— дуга окружности z = R , расположенная в полуплоскости lm z ≥−a , то
Rlim→∞ ∫ eitz F (z)dz = 0 для всех t > 0 . |
(7.25) |
γ(R) |
|
Доказательство. Рассмотрим вначале случай a > 0 . Обозначим
|
через M (R) максимум мо- |
|||||||||||
|
дуля |
|
F (z) |
|
на дуге γ(R). |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
Поскольку lim F |
( |
z |
) |
= 0 , то |
|||||||
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
|
||||
|
|
|
lim M |
( |
R |
) |
= 0 . |
|
||||
|
|
|
z→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Разобьем γ(R) на три части |
|||||||||||
|
γ1 (R) , γ2 (R) и γ3 (R) |
|||||||||||
|
Рис. 7.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(рис.7.3): |
дуги γ1 (R) и γ2 (R) заключены |
между прямой |
||||||||||
y = −a и |
осью ОХ, а γ3 (R) является |
полуокружностью, |
лежащей в полуплоскости lm z ≥0 . Очевидно, что интеграл
по γ(R) равен сумме интегралов по этим трем дугам. Оценим каждый из них в отдельности.
В точках z = x +iy дуг γ1 (R) и γ2 (R) будет −y < a . Поэтому
eit z = eit(z+i y) = eit xe−t y = e−t y < et a .
Обозначим через l (R) длины, а через ϕ(R) — центральные углы дуг γ1 (R) и γ2 (R) (в радианах). Легко видеть (см. рис.
179
7.3), что |
sin ϕ= |
a |
, |
|
|
|
откуда ϕ(R)= arcsin |
a |
. Поэтому |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
||||||||
l(R)= Rϕ(R)= R arcsin |
. Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∫ eit z F (z)dz |
|
≤ ∫ |
|
eit z |
|
F (z) |
|
|
|
dz |
|
≤et a M (R) ∫ |
|
dz |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
γ1(R) |
|
|
|
γ1(R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ1(R) |
= et a M (R)l(R)= et a M (R)R arcsin Ra .
Перейдём к пределу при R →∞: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
eit z F |
( |
z |
) |
dz |
|
≤et a lim M |
( |
R |
lim R arcsin |
a |
|
= et a 0 a = 0 |
|||||||
lim |
∫ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
R→∞ |
|
|
|
|
|
R→∞ |
) |
|
R→∞ |
R |
|
|
|
|||||||
|
γ1(R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(мы воспользовались равенством |
lim R arcsin |
|
a |
= a , |
которое |
|||||||||||||||
|
R |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
a |
|
|||
можно |
получить, |
например, |
|
заменяя |
|
|
|
arcsin |
на |
|||||||||||
|
|
|
|
R |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентную бесконечно малую Ra ). В точности те же
оценки справедливы и для γ2 (R). Осталось рассмотреть
γ3 (R).
Для точек z γ3 (R) имеем z = R(cosϕ+i sin ϕ) , dz = Rdϕ, 0 ≤ϕ≤π , и
eit z = eit R(cosϕ+isinϕ) = eit R cosϕe−t Rsinϕ = e−t Rsinϕ .
180