2894
.pdfzlimz f (z) = f (z0 ) .
→ 0
|
Зафиксируем точку z0 |
и возьмем другую точку z D . |
|||
Тем |
самым |
аргумент |
изменится |
на |
величину |
z = z − z0 = x +i |
y , называемую приращением аргумента. |
||||
Соответствующее изменение функции |
|
|
|||
|
|
ω = f (z) − f (z0 ) = f (z0 + z) − f (z0 ) |
|
называется приращением функции.
3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3.1. Производная и дифференциал.
Условия Коши—Римана. Аналитические функции
1. Производная и дифференциал. Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций одного действительного переменного.
Пусть функция ω = f (z) = u +iv определена в некоторой окрестности U точки z0 . Дадим независимому переменному z = x +iy приращение z = x +i y , не выводящее за пределы
окрестности U. Тогда |
функция |
ω = f (z) |
получит |
соответствующее приращение |
ω = f (z0 + |
z) − f (z0 ) . |
|
Производной функции ω = f (z) в точке z0 называется
предел отношения приращения функции ω к приращению аргумента z при стремлении z к нулю (произвольным образом).
Производная обозначается |
′ |
|
|
′ |
|
dω |
|
df |
|
ω |
, |
dz |
или |
dz . |
|||
f (z) , |
|
|||||||
Определение производной можно записать в виде |
|
|
||||||
′ |
ω |
. |
|
|
|
|
(1.1) |
|
f (z) = lim |
z |
|
|
|
|
|||
z→0 |
|
|
|
|
|
|
|
31
Предел в (1.1) может и не существовать; тогда говорят, что функция ω = f (z) не имеет производной в точке z0 .
Функция ω = f (z) называется дифференцируемой в точке z0 , если она определена в некоторой окрестности U
точки z0 |
и ее приращение |
ω можно представить в виде |
|||||||||
|
|
|
ω = A z +α( z) |
z , |
|
|
|
(1.2) |
|||
где комплексное число А не зависит от |
z , а функция α( z) - |
||||||||||
бесконечно малая при |
z → 0 , т.е. |
lim α ( |
|
z)= 0 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
z→0 |
|
|
|
|
|
Так же как и для функций действительного переменного, |
|||||||||||
доказывается, что функция |
f (z) дифференцируема в точке z0 |
||||||||||
тогда и |
только тогда, когда она |
имеет |
производную в z0 , |
||||||||
причем |
A = f ′(z0 ) . |
Выражение |
f ′(z0 ) |
z |
называется |
||||||
дифференциалом функции |
f (z) |
в точке |
z0 |
и обозначается |
|||||||
dω или |
df (z0 ) . При этом приращение |
|
z |
независимого |
|||||||
переменного |
z |
называется |
также |
|
дифференциалом |
||||||
переменного z и обозначается dz . Таким образом, |
|||||||||||
|
|
|
|
dω = df (z0 ) = f ′(z0 )dz . |
|
|
Дифференциал есть главная линейная часть приращения
функции. |
|
Пример |
3.1. Исследовать, имеет ли функция |
ω = f (z) = Re z |
производную в произвольной точке z0 . |
Решение. По условию, ω = Re z = x . В силу определения
производной, предел (1.1) не должен зависеть от того, по какому пути
Рис. 3.1 32
точка |
z = z0 + |
z |
приближается к z0 при |
z → 0 . |
Возьмем |
||||||||||
вначале |
z = |
x (рис. 3.1, а). Так как |
ω = |
x , то |
ω |
= |
x |
=1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
z = i |
y (рис. |
|
|
|
|
z |
|
x |
|
Если |
же |
взять |
3.1, |
б), |
то |
|
x = 0 |
и, |
|||||||
следовательно, |
|
ω = 0 . |
Значит, и |
ω |
= 0 . |
Поэтому |
предел |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ω |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
отношения |
|
при z → 0 не существует и, следовательно, |
|||||||||||||
|
z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция ω = Re z = x не имеет производной ни в одной точке. В то же время функция ω = z = x +iy , очевидно, имеет производную в любой точке z0 , и f ′(z0 ) =1. Отсюда ясно, что
действительная и мнимая части дифференцируемой функции f (z) не могут быть произвольными; они должны быть
связанными некоторыми дополнительными соотношениями. Эти соотношения возникают оттого, что условие существования производной f ′(z0 ) существенно более
ограничено, чем условие существования производной функций одного действительного переменного или частных производных функций нескольких действительных переменных: требуется, чтобы предел в (1.1) существовал и не зависел от пути, по которому точка z = z0 + z приближается к
z0 при z → 0 . Для вывода указанных соотношений
напомним определение дифференцируемости функции двух переменных.
Действительная |
функция |
u = u(x, y) действительных |
переменных х и у |
называется |
дифференцируемой в точке |
P0 (x0 , y0 ) , если она определена в некоторой окрестности точки
P0 и ее полное приращение |
u = u(x0 + |
x, y0 + |
y) −u(x0 , y0 ) |
|
представимо в виде |
|
|
|
|
u = B x +C y + β( x, |
y) x +γ( |
x, y) |
y , |
(1.3) |
33
где В и С — действительные числа, не зависящие от x , |
y , а |
||||
β и γ |
— действительные функции переменных |
x |
и |
y , |
|
стремящиеся к нулю при x → 0 , |
y → 0 . |
|
|
|
|
Если функция u дифференцируема в точке |
P0 |
то она |
|||
имеет |
частные производные в |
P , причем |
B = ∂u(P0 ) , |
||
|
|
0 |
|
∂x |
|
|
|
|
|
C = ∂u∂(yP0 ) . Но (в отличие от функций одного переменного) из
существования частных производных функции u(x, y) еще не
следует ее дифференцируемость.
2. Условия Коши—Римана.
Теорема 1.1. Пусть функция комплексного переменного ω = f (z) = u(x, y) +iv(x, y) определена в окрестности точки
z0 = x0 +iy0 . Для того чтобы f (z) была дифференцируемой в точке z0 , необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) и
v(x, y) |
были дифференцируемыми в точке (x , y ) |
и чтобы в |
|||||||||||||
этой точке выполнялись условия |
|
|
0 |
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∂u |
= |
∂v |
, |
∂u = − ∂v . |
|
|
|
(1.4) |
||
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
Равенства (1.4) называются условиями Коши-Римана. |
|||||||||||||||
Доказательство. Необходимость. Пусть |
|
функция |
|||||||||||||
ω = f (z) дифференцируема в точке z0 , т.е. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ω = |
u +i |
v = f ′(z0 ) |
z +α( |
z) z. |
|
|
(1.5) |
|||||
Обозначим |
f ′(z0 ) = a +ib ; |
α( |
z) = β( x, |
y) +iγ( x, y) ; |
|||||||||||
z = |
x +i |
y , |
где |
β |
и |
γ |
|
— |
действительные |
функции |
|||||
переменных |
x , |
|
y , |
стремящиеся к |
нулю |
при |
x → 0 , |
||||||||
y → 0 . |
Подставляя эти |
равенства |
в |
(1.5) |
и |
выделяя |
|||||||||
действительные и мнимые части, получим |
|
|
|
|
|||||||||||
u +i y = (a +ib)( x +i y) +(β +iγ)( x +i y) = |
|
|
|
||||||||||||
|
= (a x −b |
y + β |
x −γ |
y) +i(b x +a |
y +γ |
x + β |
y) . (1.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
Поскольку равенство комплексных чисел равносильно равенству их действительных и мнимых частей, то (1.6) равносильно системе равенств
u = a x −b y + β x −γ y, |
(1.7) |
v = b x +a y +γ x + β y. |
|
Равенства (1.7) означают, что функции u(x, y) и v(x, y)
удовлетворяют условию (1.3) и, следовательно, являются дифференцируемыми. Так как коэффициенты при x и y
равны частным производным по х и у соответственно, то из (1.7) получаем
a = ∂u ; |
|
−b = ∂u |
; |
∂x |
|
∂y |
(1.8) |
b = ∂v |
|
a − ∂v , |
|
; |
|
||
∂x |
|
∂y |
|
откуда и следуют условия (1.4). |
|
|
|
Достаточность. Предположим |
теперь, что функции |
u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы в точке (x0 , y0 ) и v(x, y) и
выполнены условия (1.4). Обозначая a = |
∂u |
, |
b = − |
∂u |
и |
|
∂x |
|
|
∂y |
|
применяя (1.4), придем к равенствам (1.8). Из (1.8) и условия дифференцируемости функций u(x, y) , v(x, y) имеем
u = a x −b y + β1 x −γ1 y, |
|
|
||
v = b x +a y + β2 x +γ2 y, |
|
|
||
где β1,γ1, β2 ,γ2 — функции, стремящиеся к нулю при |
x → 0 , |
|||
y → 0 . Отсюда |
|
|
|
|
u +i v = (a +ib)( x +i |
y) +(β1 +iβ2 ) |
x +(γ1 +iγ2 ) |
y. |
(1.9) |
Определим функцию α( |
z) равенством |
|
|
|
α( z) = (β1 +iβ2 ) x +(γ1 +iγ2 ) y |
|
|
||
и положим A = a +ib . |
z |
|
|
|
Тогда (1.9) |
перепишется |
в |
виде |
равенства
35
ω = u +i v = A z +α( z) z, ,
которое |
|
|
совпадает |
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
(1.2). |
|
|
|
Для |
|
|
доказательства |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируемости функции f (z) |
осталось |
|
показать, |
что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim α( |
z) = 0 . Из равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
z→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
= ( x)2 +( y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
следует, что |
|
|
|
|
x |
|
≤ |
|
z |
|
, |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
≤ |
|
|
z |
|
. . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
α( z) |
|
≤ |
|
β1 +iβ2 |
|
|
|
|
x |
|
+ |
|
γ1 +iγ2 |
|
|
|
y |
|
|
= |
|
β +iβ |
2 |
|
+ |
|
γ |
1 |
+iγ |
2 |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y → 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Если |
z → 0 , |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 , |
|
|
|
а значит, |
|
и |
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β1, β2 ,γ1,γ2 стремятся |
|
|
|
|
|
к |
нулю. |
|
|
Поэтому |
|
α( |
|
z) → 0 |
|
|
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z → 0 , и доказательство теоремы 1.1 закончено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример |
3.2. |
|
Выяснить, |
является ли |
функция |
ω = z2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируемой; если да, то в каких точках? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
ω = u +iv = (x +iy)2 = x2 − y2 +2ixy , |
|
откуда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u = x2 − y2 , v = 2xy. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
= 2x = ∂v |
, |
|
|
∂u |
= −2 y = − ∂v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, условия (1.4) Коши-Римана выполнены в
каждой точке; значит, функция ω = z2 будет дифференцируемой в .
Пример 3.3. Исследовать дифференцируемость функции
ω = z = x −iy .
Решение. ω = u +iv = x −iy, откуда u = x , v = −y и
∂u |
=1, |
∂v |
= −1. |
∂x |
|
∂y |
|
Таким образом, условия Коши-Римана не выполнены ни в
одной точке, и, следовательно, функция ω = z нигде не дифференцируема.
Проверять дифференцируемость функции и находить производные можно непосредственно по формуле (1.1).
36
Пример 3.4. Используя формулу (1.1), исследовать
дифференцируемость функции ω = z2 . |
|
|||||||
Решение. |
ω = (z0 + |
z)2 − z0 |
2 |
= 2z0 z +( |
z)2 , откуда |
|||
lim |
ω |
= lim |
2z0 |
z +( z)2 |
|
|
= lim (2z0 + |
z) = 2z0 . |
z |
|
z |
|
|
||||
z→0 |
z→0 |
|
|
|
z→0 |
|
||
Следовательно, |
функция |
ω = z2 |
|
|
дифференцируема в любой |
точке z0 , и ее производная f ′(z0 ) = 2z0 .
Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функции комплексного переменного, а определение производной функции комплексного переменного также не отличается от соответствующего определения для функций действительного переменного, то известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции остаются справедливыми и для функций комплексного переменного. Аналогично доказывается также, что если функция f (z) дифференцируема в точке z0 , то она
непрерывна в этой точке; обратное утверждение неверно.
3. Аналитические функции. Функция |
ω = f (z) , |
дифференцируемая не только в самой точке |
z0 , но и в |
некоторой окрестности этой точки, называется аналитической в точке z0 . Если f (z) является аналитической в каждой точке
области D, то она называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области D.
Из свойств производных сразу следует, |
что если f (z) |
и |
|
g(z) — аналитические функции в области |
D, то функции |
||
f (z) + g(z) , f (z) − g(z) , |
f (z) g(z) также |
аналитичны |
в |
области D, а частное f (z) |
g(z) — аналитическая функция во |
всех точках области D, в которых g(z) ≠ 0 .
Например, функция |
z |
|
f (z) = |
||
(z −1)(z −i) |
37
является аналитической в плоскости |
с выброшенными |
точками z =1 и z = i . |
|
Из теоремы о производной сложной функции вытекает следующее утверждение: если функция u = u(z) аналитична в
области D и отображает D в область D′ переменного u , а функция ω = f (u) аналитична в области D′, то сложная
функция ω = f (u(z)) переменного z аналитична в D.
Введем понятие функции, аналитической в замкнутой
области D . Отличие от открытой области здесь в том, что добавляются точки границы, не имеющие окрестности,
принадлежащей D ; поэтому производная в этих точках не определена. Функция f (z) называется аналитической
(регулярной, голоморфной) в замкнутой области D , если эту функцию можно продолжить в некоторую более широкую
область D1 , содержащую D , до аналитической в D1 функции.
3.2. Связь между аналитическими и гармоническими функциями
Действительная функция u = u(x, y) двух переменных х и
у называется гармонической в области D, если она определена в D, имеет всюду в D непрерывные частные производные первого и второго порядков и удовлетворяет в каждой точке из D уравнению Лапласа:
∂2u |
+ |
∂2u |
= 0. |
(2.1) |
|
∂x2 |
∂y2 |
||||
|
|
|
Уравнение Лапласа и гармонические функции играют важную роль в физике и технике. Например, установившееся распределение температуры в области D, потенциал электрического поля в областях, свободных от зарядов, являются гармоническими функциями. В гидродинамике потенциал скоростей и функция тока безвихревых плоских
38
течений несжимаемой идеальной жидкости также являются гармоническими функциями. Связь между аналитическими и гармоническими функциями, которая будет изучена в данном разделе, используются в разнообразных приложениях аналитических функций.
Теорема 2.1. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями.
Доказательство. Пусть функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) аналитична в области D. Надо доказать, что функции u(x, y) и v(x, y) являются гармоническими в D. Нам понадобится
следующий факт: действительная и мнимая части аналитической функции имеют непрерывные частные производные первого и второго порядков.
Так как f (z) аналитична в D, |
то в каждой точке области |
||||||||
D выполнены условия Коши-Римана (1.4). Дифференцируя |
|||||||||
первое из тождеств (1.4) по x , а второе по у, получим |
|
||||||||
∂2u |
= |
∂2v |
; |
∂2u |
= − |
∂2v |
. |
(2.2) |
|
∂x2 |
∂y∂x |
∂y2 |
∂x∂y |
||||||
|
|
|
|
|
Из курса математического анализа известно, что если действительная функция v(x, y) имеет непрерывные частные
производные первого и второго порядков, то ∂2v = ∂2v .
∂y∂x ∂x∂y
Складывая равенства (2.2), придем к уравнению (2.1), что нам и требовалось.
Итак, если |
f (z) = u +iv — аналитическая функция, то u |
|
и v будут гармоническими. Но обратное неверно: если u |
и v |
|
— произвольно |
выбранные гармонические функции, |
то |
функция |
f (z) = u +iv |
не обязательно будет аналитической. |
Например, |
функция |
f (z) = Re z = x +i0 не аналитична (см. |
пример 3.1), хотя функции u = x , v = 0 — гармонические. Чтобы функция f (z) = u +iv была аналитической, функции u
и v должны не только быть гармоническими, но и
39
удовлетворять условиям (1.4). Гармоническая функция v , связанная с гармонической функцией u условиями КошиРимана (1.4), называется сопряженной с u . Из теорем 1.1 и 1.2 вытекает следующее утверждение.
Теорема 2.2. Для того чтобы две гармонические функции
u = u(x, y) и |
v = v(x, y) составляли аналитическую функцию |
f (z) = u +iv , |
необходимо и достаточно, чтобы v являлась |
сопряженной с u .
Пусть в односвязной области D задана гармоническая
функция u = u(x, y) , причем известно, что |
она является |
действительной частью аналитической функции |
f (z) = u +iv . |
Тогда для мнимой части v = v(x, y) из условий (1.4) находим
∂v |
= − |
∂u |
; |
∂v |
= |
∂u . |
∂x |
|
∂y |
|
∂y |
|
∂x |
Таким образом, задав функцию u , мы можем найти частные производные функции v . Известно, что функция нескольких переменных в односвязной области D восстанавливается по своим частным производным однозначно с точностью до постоянного слагаемого (один из способов такого восстановления будет показан в примере 2.3). Итак, задав гармоническую функцию u в односвязной области D, мы можем однозначно с точностью до постоянного слагаемого найти сопряженную с ней функцию v и тем самым восстановить аналитическую функцию
Аналогично f (z) восстанавливается (с точностью до
постоянного слагаемого) и по своей мнимой части v .
Пример 2.3. Найти аналитическую функцию, если известна ее мнимая часть
v = 4xy + y .
(Нетрудно видеть, что данная функция v будет
гармонической, поскольку ∂2v = ∂2v = 0 .)
∂x2 ∂y2
40