2982
.pdfЕсли взять произвольный линейный размер модели l1 и разделить его на соответствующий линейный размер натурального объекта l , то получим величину линейного масштаба, обозначаемую через Kl .
Разделив силу R1 , действующую на всю модель или ее часть,
на силу R , действующую на натуральный объект или его часть, получим силовой масштаб KR .
Считая, что какое-нибудь событие совершается у модели в течение отрезка времени t1 , а у натурного объекта в течение времени t , найдем масштаб времени Rt .
В случае подобия эти масштабы в сходственных точках должны быть постоянными.
Все остальные масштабы других физических величин для подобных явлений также являются постоянными и могут быть выражены через эти основные масштабы.
Рассмотрим некоторые из них.
Пусть S1 и S – сходственные площади двух потоков (см. рисунок), а l1 и l – линейные размеры этих сходственных площадей.
Очевидно, что
|
S |
|
l 2 |
|
l |
2 |
|
KS |
|
|
2 |
. |
|||
1 |
1 |
1 |
Kl |
||||
|
|
|
|||||
|
S |
|
l 2 |
|
l |
|
|
Понимая под сходственными отрезками времени t1 и t такие
отрезки, за которые частицы потоков проходят расстояния между двумя сходственными точками, для масштаба скоростей можно записать:
41
|
|
V1 |
|
|
l1 |
t1 |
|
l1 |
|
t |
|
Kl |
|
K |
|
lim |
|
lim |
|
|
. |
||||||
V |
V |
l |
|
l |
|
t1 |
|
||||||
|
t1 |
0 |
|
|
|
|
Kt |
||||||
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично масштаб весовой плотности потоков равен:
|
|
|
|
|
R1 |
V1 |
|
|
R1 |
|
|
V |
|
KR |
|
|
K |
|
1 |
|
lim |
|
lim |
|
, |
||||||||
|
|
|
R |
V |
R |
V1 |
|
Kl |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где V1 и |
V – |
элементарные |
объемы; |
|
R1 и |
R – веса |
элементарных объемов.
Масштаб массовой плотности можно представить в виде:
K |
1 |
|
KR Rt |
. |
4 |
||||
|
|
|
Kl |
Таким образом, считая, что при соблюдении подобия в пространстве, где происходят сравниваемые явления, масштабы однородных величин должны сохраняться постоянными, можно сформулировать определение подобия следующим образом:
два потока называются подобными, если в любых сходственных точках и в любые сходственные моменты времени масштабы однородных величин, характеризующих эти потоки, являются постоянными.
Такое подобие называется полным.
Если же этому условию удовлетворяют не все масштабы, а только часть из них, то подобие называется частичным.
Рассмотрим два подобных потока (см. рисунок); один – обтекающий натурный объект, например, профиль крыла, а другой – обтекающий его модель. Выделим в жидкости два сходственных бесконечно малых элемента. Пусть на элементы будут действовать
силы dR и dR1 , создающие ускорения W и W1 . Очевидно, что dR Wdm,
dR1 W1dm1,
где dm и dm1 – массы этих элементов.
Выразим массы dm и dm1 через плотность и линейные размеры:
42
dm dl3 ,
dm1 1dl13.
Подставляя dm и dm1 в предыдущие равенства, получаем: Разделив почленно, получим
|
dR |
1 |
|
1 |
W dl |
3 |
|
3 |
|
|
||||||
K R |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
R R W R l . |
|
|
|||||
dR |
|
|
|
|
Wdl 3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В свою очередь, |
K |
W |
|
|
Kl . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
K t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так что KR |
|
K Kl |
4Kt |
2. |
|
|
||||||||||
Учитывая, что Kl |
2 Kt |
2 |
|
KV |
2 , |
получаем KR K Kl |
2 Kt |
2 . |
Найденное соотношение справедливо, очевидно, не только для бесконечно малых объемов, но и для любых конечных объемов, так как всякий конечный объем можно разбить на бесконечно большое число бесконечно малых объемов.
Таким образом, постоянство отношений KR dR1 dR в
подобных потоках должно иметь место и для конечных объемов, на которые действуют конечные силы.
Будем под R и R1 подразумевать полные аэродинамические
силы, действующие на натуральный объект и модель, отношение которых при условии подобия потоков должно оставаться постоянным на любом режиме обтекания:
|
R1 |
2 |
2 |
. |
|
KR |
|
const K Kl |
KV |
||
R |
|||||
|
|
|
|
Переходя от масштабов к основным величинам, можно записать:
|
|
R |
1 |
|
|
|
l 2V 2 |
|
|||
KR |
|
|
|
1 1 |
1 |
const, |
|||||
R |
|
|
|
|
l2V2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
const. |
|
|
l 2V |
2 |
|
|
l2V2 |
||||||
|
|
|
|
||||||||
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
43
Представим эти отношения в виде:
|
R1 |
|
2S1 |
|
|
|
R |
||
|
l |
2V 2 |
|
2S |
l 2V 2 |
||||
1 1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что в силу подобия |
|
S1 |
|
||||||
|
2l 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
R1 |
|
|
|
R |
|
S1 |
1V12 |
|
|
S |
V 2 |
|
|
|
|
2 |
|
||
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
2S .
2S
S
2l 2
, получаем:
CR .
В результате выражение для силы имеет вид:
V 2
R CR 2 S ,
где CR – безразмерный коэффициент полной аэродинамической силы; S – характерная площадь; V 2 2 q – скоростной напор.
В аэродинамике наряду с аэродинамической силой рассматривается и аэродинамический момент М.
Очевидно, что, проведя аналогичные выкладки, можно получить:
V 2 M Cm Sl 2 ,
где Cm – безразмерный коэффициент аэродинамического момента;
l – характерный размер.
Полученные формулы для силы и момента являются основными формулами экспериментальной аэродинамики.
С помощью этих формул по результатам эксперимента вычисляются безразмерные коэффициенты CR и Cm , которые затем используются при проектировании самолетов.
3.2. Основные критерии подобия.
Понятие о ламинарном и турбулентном течениях жидкости
Итак, для двух сходственных точек модели и объекта можно записать:
44
CR |
|
R1 |
|
|
|
R |
|
|
|
R1 |
|
|
|
R |
|
, |
S1 |
1V12 |
|
|
S |
V 2 |
|
|
|
1V12 |
|
|
|
V 2 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
где R1 R1 S1 и R RS – давления. Следовательно,
KP |
P |
|
P V |
2 |
. |
||
1 |
|
1 |
|
1 |
KP KV |
||
|
|
|
|||||
|
P |
|
P V |
|
|
Если в потоке наряду с силами давления действуют силы трения, то, очевидно, что в динамически подобных системах силы трения должны быть пропорциональны силам давления и, следовательно, касательные напряжения пропорциональны давлениям, т.е. масштаб сил давления должен быть равен масштабу сил трения.
Согласно закону Ньютона
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
K |
|
1 |
|
|
1 |
|
dn1 |
|
K |
|
K V . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
K l |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для выполнения условия подобия |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
K P |
|
|
|
K , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
K V |
, или |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
K |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
K K V |
K |
|
|
|
K K V |
|
|
K |
|
||||||||||||
|
K l |
|
|
|
|
|
|
K l |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя от масштабов к основным величинам, получаем
1 V1 |
|
1 |
|
l |
, |
||
|
|
V |
|
|
|
l1 |
|
или
45
|
1V1l1 |
|
Vl |
|
const Re, |
|||
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Re |
|
V1l1 |
|
Vl |
. |
||
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Параметр Re одинаковый для двух динамически подобных течений, носит название критерия, или числа Рейнольдса.
Величины и l входящие в число Re , представляют собой характерные для исследуемого течения скорость и длину.
При подсчете числа Re для модели и объекта необходимо брать сходственные скорости и длины.
Таким образом, если в двух потоках имеет место геометрическое и кинематическое подобие и равенство чисел Re , то
вэтих потоках будут равны коэффициенты аэродинамических сил.
Взависимости от величины числа Рейнольдса течения подразделяются на ламинарные, или слоистые, и турбулентные, или завихренные.
Ламинарное течение характеризуется тем, что жидкость движется слоями без поперечного перемешивания.
При турбулентном течении отдельные конечные массы жидкости кроме участия в общем движении, вместе со всем потоком совершают и свои собственные беспорядочные движения, что сопровождается интенсивным перемешиванием в поперечном направлении, вихреобразованием и пульсациями местной скорости по величине и направлению.
Для сжимаемой жидкости плотность является функцией координат точек пространства и времени.
Поэтому при рассмотрении подобия сжимаемой жидкости необходимо выдерживать подобие по плотности потоков. Масштаб плотности равен:
K |
1 |
1 |
const . |
|
|
|
|
46
Принимая во внимание, что |
|
a 2 |
|
|
|
|
, где |
a – скорость |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
звука, и, следовательно, |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
, получаем: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
1 |
|
a 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
V 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, что |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
K K V |
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получаем: K |
|
K K |
|
2 |
|
K |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Откуда |
K |
V |
K |
|
1 |
|
или 1 |
V1 |
a |
|
|
M1 |
, т.е. M M1 . |
||||||||||||
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
V a1 |
|
M |
||||||||||||||||||||
K |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
если у двух потоков числа |
M равны, то |
равны и коэффициенты полных аэродинамических сил, если имеет место геометрическое и кинематическое подобие, т.е. CR f M и
в общем случае CR f Re, M .
Следовательно, полную аэродинамическую силу и момент
можно определить по формулам: |
|
|
|
|
|||
R |
CR |
Re, M S |
|
V 2 |
|
; |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
Cm |
Re, M Sl |
V |
2 |
. |
||
|
|
||||||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, если при обтекании геометрически подобных |
|||||||
тел соблюдаются числа |
Re |
и M , то коэффициенты C R и Cm |
будут иметь для этих тел одинаковые значения.
47
4.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
4.1.Понятие о пограничном слое
Точное решение задачи об обтекании потоком вязкой жидкости какого-либо тела, например, крыла или фюзеляжа, сводится к интегрированию сложных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости при заданных граничных и начальных условиях.
Внастоящее время существует ряд методов упрощения уравнений движения вязкой жидкости. Эти методы основаны на отбрасывании ряда слагаемых в уравнениях движения вязкой жидкости и дают удовлетворительное решение при малых числах
Re .
Ваэродинамике самолета применяется принципиально другой метод упрощения уравнений движения вязкой жидкости,
который применим при больших числах Re .
Этот метод основан на понятии пограничного слоя. Обратимся к рассмотрению физической картины обтекания. Допустим, что неподвижное тело, например профиль крыла,
обтекается потоком воздуха (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Экспериментально установлено, что в тонком слое вблизи поверхности тела происходит резкое нарастание скорости от нулевого значения на поверхности тела до величины порядка скорости набегающего потока.
Слой воздуха, прилегающий к поверхности обтекаемого тела и представляющий собой область больших значений градиентов скорости по нормали к нему, носит название пограничного слоя.
Обычно за толщину пограничного слоя принимают расстояние от тела по нормали, на котором VX 0,9V .
48
Вводятся и другие определения толщины пограничного слоя. Частицы пограничного слоя, пройдя вдоль поверхности обтекаемого тела, уносятся потоком в область, находящуюся за
телом, сохраняя следы пребывания в пограничном слое.
Это выражается, в частности, в том, что скорости этих частиц меньше скорости окружающей среды.
Заторможенные частицы образуют за телом область, называемую аэродинамическим следом. Эта область может быть заполнена и отдельными вихрями, образующимися в пограничном слое из-за наличия градиента скорости. В этом случае область за телом представляет собой так называемый вихревой след.
Внутри пограничного слоя и следа, где градиенты скорости значительны, силой внутреннего трения пренебрегать нельзя, и жидкость или газ, движущиеся внутри пограничного слоя, следует считать вязкими даже при малом значении коэффициента вязкости.
Вне пограничного слоя и следа за телом, где градиенты скорости малы, силой внутреннего трения можно пренебречь, т.е. считать жидкость идеальной, а поток безвихревым (потенциальным).
4.2. Интегральное соотношение для пограничного слоя
Рассмотрим течение жидкости над криволинейной поверхностью малой кривизны (рис. 4.2). В этом случае удобно ось
координат Ox считать криволинейной, расположив ее на обтекаемой поверхности вдоль течения.
Выделим в пограничном слое бесконечно малый объем, имеющий единичную ширину и ограниченный поверхностью АС верхней границы пограничного слоя и плоскостями АВ и СD, отстоящими друг от друга на расстоянии dx .
Рис. 4.2
49
Применим к объему АВСD теорему о количестве движения. Вычислим изменение количества движения в направлении
оси х за время dt .
Через участок АВ за время dt |
будет втекать количество |
|||||
жидкости dt |
VX dy , |
через участок |
СD вытекать количество |
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
жидкости dt ( |
V |
|
d |
VX |
dx)dy . |
|
X |
|
|
||||
|
|
dx |
|
|||
0 |
|
|
|
|
Таким образом, через участки АВ и СD будет вытекать количеств жидкости
dtdx |
d |
|
VX dy . |
|
dx 0 |
||||
|
|
В силу условия неразрывности для несжимаемой жидкости через верхнюю границу АС должно втекать такое же количество жидкости.
На границе пограничного слоя скорость жидкости VX Vo , где Vo – составляющая скорости потенциального потока.
Поэтому втекающая через поверхность АС жидкость внесет следующее количество движения:
V dtdx |
d |
|
V |
|
dy . |
|
X |
||||
o |
dx 0 |
|
|
||
|
|
|
|
Подсчитаем количества движения жидкости, вносимые и уносимые через участки АВ и СD.
Через участок АВ вносится следующее количество движения:
dt VX |
2 dy F x, y . |
0 |
|
Количество движения жидкости, вытекающей через участок СD, равно:
F x dx,t F x,t |
dF x,t |
dx . |
|
dx |
|||
|
|
Следовательно, через участки АВ и СD в направлении оси x уносится следующее количество движения:
50