2982
.pdfF x dx, t F x,t dtdx |
d |
|
VX |
2 dy . |
|
dx 0 |
|||||
|
|
|
Таким образом, общее изменение количества движения жидкости в объеме АВСD равно:
dtdx |
d |
V |
2 dy V |
d |
|
V |
dy . |
|
|
|
|
||||||
|
dx 0 |
X |
o dx 0 |
X |
|
Вычислим импульсы внешних сил за тот же промежуток времени dt в направлении оси х.
На объем АВСD в направлении оси х будут действовать силы давления, приложенные к левой верхней и правой граням объема, и сила трения, приложенная к нижней грани ВD.
Проекции на ось х сил трения, приложенных к левой и правой граням AB и СВ, равны нулю. А на верхней грани АС силы трения отсутствуют в силу самого определения внешней границы пограничного слоя.
Сумма проекций на ось х сил давления, действующих на
грани АВ, АС, СD, равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P |
Pds |
d |
|
P |
dP |
dx |
d |
dx |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ds |
|
|
dx |
dx |
|
|
|
||||
|
dP |
dx d |
dP |
dx |
d |
dP |
dx |
|
|
dP |
dx, |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
dx |
|
|
dx |
|
|
dx |
|||||||
где ds AC и d |
|
ds – синус угла, который АС составляет с осью |
х. Их импульс за время dt равен:
dPdx dxdt.
На границе ВD действует сила трения, направленная влево. Величину этой силы, отнесенную к единице площади, обозначим через 0 .
Импульс силы трения за время dt равен:
0 dxdt .
Как известно, изменение количества движения жидкости равно импульсу сил, следовательно,
51
d |
V |
2 dy V |
d |
|
V |
dy |
dP |
||
|
|
|
|
|
|||||
dx 0 |
X |
o dx 0 |
X |
|
dx 0 |
Полученное соотношение пригодно для изучения как ламинарного, так и турбулентного движения жидкости внутри пограничного слоя, так как при его выводе не делалось никаких
предположений о природе касательного напряжения 0 .
Входящие в интегральное соотношение пограничного слоя величины V0 , dPdx и плотность можно рассматривать как
известные величины, и тогда неизвестными будут только VX ,и 0 . Действительно, скорость V0 потенциального потока вне
пограничного слоя можно найти путем решения задач о потенциальном обтекании или с помощью эксперимента.
Зная V0 , легко найти значение dPdx с помощью уравнения
Бернулли, вывод которого будет приведен ниже. Так, уравнение Бернулли имеет вид:
|
P |
V 2 |
C . |
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Дифференцируя по х, получаем |
|
|
|||||||
|
dP |
|
V |
dV0 |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
0 |
dx |
|
|
|||
Таким образом, для решения задачи необходимо иметь еще |
|||||||||
два соотношения. Например, VX |
|
VX |
y и |
0 |
0 . |
||||
4.3. Расчет ламинарного пограничного слоя для плоской |
|||||||||
|
пластины |
|
|
||||||
Допустим, что плоский |
поток, |
текущий со скоростью |
V0 const , обтекает пластину длиной l (рис. 4.3).
Сверху и снизу пластины будет образовываться пограничный слой, толщина которого является функцией координаты х, отсчитываемой от передней кромки пластины.
52
Рис. 4.3
Задача сводится к следующему.
Зная кинематический коэффициент вязкости жидкости,
скорость V0 набегающего потока и длину пластины |
l , определить |
закон изменения толщины пограничного слоя, |
т.е. функцию |
x и силу сопротивления трения. |
|
Для решения задачи обратимся к интегральному соотношению пограничного слоя для установившегося течения:
|
d |
V |
|
2 dy V |
d |
|
V |
|
dy |
dP |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx 0 |
|
X |
o dx 0 |
|
X |
|
dx |
0 |
|
|||
Причем из уравнения Бернулли следует, что на верхней |
|||||||||||||
границе пограничного слоя |
|
|
|
|
|
|
dP |
V |
dV0 |
. |
|
|
||
dx |
0 |
dx |
Так как в рассматриваемом случае V0 const и dV0 dx 0 , то dPdx 0 , т.е. P const на верхней границе пограничного слоя.
Можно показать, что давление P внутри пограничного слоя по нормали к поверхности тела не изменяется, и, следовательно, P const и dPdx 0 и внутри пограничного слоя.
Таким образом, интегральное соотношение принимает вид:
d |
V |
|
2 dy V |
d |
|
V |
dy |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
dx 0 |
|
X |
o dx 0 |
X |
|
0 |
|
53
Для того чтобы вычислить толщину пограничного слоя и силу сопротивления, приложенную к пластине, требуются еще два дополнительных соотношения, в качестве которых можно взять
закон распределения скорости VX по толщине пограничного слоя и уравнение, связывающее касательное напряжение на поверхности
тела |
0 |
с толщиной слоя . |
|
|
Приступая к составлению первого дополнительного уравнения, закона изменения скорости VX по толщине пограничного
слоя, поступим следующим образом.
Вместо того чтобы искать истинный закон распределения скорости VX VX y , зададим вид функции VX VX y . Допустим, что VX выражается через y следующим образом:
VX a by cy2 dy2 ,
где a,b,c, d – неизвестные пока коэффициенты.
Этот метод впервые был предложен немецким ученым Польгаузеном.
Для определения коэффициентов a,b,c, d обратимся к
граничным условиям.
Граничные условия будут двух видов: кинематические, налагаемые на скорости на границах пограничного слоя, и динамические, налагаемые на силы внутреннего трения.
Составим эти граничные условия.
Так как на нижней границе пограничного слоя скорость
равна нулю, то V |
y 0 |
0 . |
X |
|
|
На верхней |
границе пограничного слоя VX становится |
равной скорости потенциального потокаV0 , следовательно,
VX y V0
На верхней границе пограничного слоя сила внутреннего трения dVX обращается в нуль, поэтому
dy
dVX |
0. |
|
dy |
||
y |
||
|
54
Четвертое граничное условие можно получить из общих дифференциальных уравнений пограничного слоя, уравнений НовьеСтокса.
Оно имеет вид: |
|
d 2VX |
|
|
0 . |
|
|
||
|
dy2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эти |
граничные |
|
условия |
позволяют найти коэффициенты |
|||||
a,b,c, d и |
получить |
|
следующее |
выражение для определения |
|||||
скорости в пограничном слое: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
VX |
V |
3y |
|
y3 |
|||
|
|
0 |
2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Итак, первое необходимое дополнительное соотношение найдено.
Второе дополнительное соотношение найдем, используя закон Ньютона для внутреннего трения при ламинарном течении:
0 |
|
|
dVX |
|
|
. |
|||
|
|
dy |
|
|
|
||||
|
|
|
|
y |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя значение VX , получаем |
|||||||||
|
|
|
3 |
|
V0 |
. |
|||
|
|
0 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя VX и 0 в |
|
интегральное соотношение, после |
|||||||
преобразований его можно записать в виде: |
|||||||||
13 |
V |
|
d |
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
140 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После интегрирования имеем соотношение
13
280
Так как при x 0 следовательно, C 0 . Таким образом,
V |
2 |
x C . |
|
||
0 |
|
|
толщина пограничного слоя 0 , то
4,64 x . V0
55
Из полученного соотношения следует, что внешняя граница пограничного слоя представляет собой параболу второй степени.
Толщина пограничного слоя растет с увеличением х и убывает с ростом скорости V0 набегающего потока.
Более точные методы дают следующую зависимость для закона изменения толщины пограничного слоя:
5,8 x .
V0
Как видим, принятый закон изменения скорости приводит к сравнительно небольшой погрешности.
Определим силу сопротивления трения X тр , действующую
на одну сторону пластины шириной b .
На единицу поверхности пластины действует сила
0 |
dVx |
|
|
3 |
|
V0 . |
|
dy |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
На элементарную площадку |
ds |
bdx будет действовать |
сила
0 ds 0 bdx ,
откуда полная сила трения, действующая на одну сторону пластины равна:
l
X тр 0 bdx ,
0
где l – длина пластины в направлении оси x,
или |
|
l |
3 V0 |
bdx . |
||
X |
|
|||||
тр |
|
|
|
0 |
2 |
|
После подстановки предыдущее равенство принимает вид:
|
|
1,3b |
|
|
|
|
|
|
||||
X |
|
|
|
V 3l . |
|
|||||||
|
тр |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Умножая числитель на |
l V 2 |
, получаем соотношение |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lV |
2 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X тр |
1,3 |
|
|
|
|
0 |
|
, |
||||
|
|
V0 l 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
56
которое можно представить следующим образом:
|
|
1,3 |
|
|
V |
2 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
0 |
|
S, |
тр |
|
|
2 |
|
||||
|
Re |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
где Re V0l и S b l .
Следовательно, для случая ламинарного пограничного слоя коэффициент трения плоской пластины равен:
1,3 CXтр Re
4.4 Расчет турбулентного пограничного слоя для плоской пластины.
Для нахождения двух дополнительных уравнений к основному интегральному соотношению введем гипотезу о тождественности законов распределения скорости по толщине пограничного слоя плоской пластины и по радиусу круглой цилиндрической трубы.
В этом случае можно принять, что изменение скорости внутри пограничного слоя пластины определяется зависимостью
1
y 7 Vx V0 ,
называемой законом одной седьмой.
Это будет первым дополнительным уравнением к интегральному соотношению.
Вторым дополнительным уравнением будет зависимость между величиной касательного напряжения 0 , толщиной пограничного слоя и скоростью V0 набегающего потока.
Эту зависимость на основании введенной гипотезы можно принять в виде
57
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 . |
|||
0 0,0225 V0 |
|
||||
V0 |
|||||
|
Установив два дополнительных уравнения, обратимся к интегральному соотношению для плоской пластины, которое имеет вид
d |
Vx2dy V0 |
d |
Vx dy 0 . |
||
|
|
|
0 |
||
dx 0 |
dx |
Вычислим входящие в это соотношение интегралы:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
|
|
|
|
V0 |
|
|
7 |
|
|
||||||
|
|
7 |
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Vx dy |
V0 |
dy |
y 7 dy |
V0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
17 |
8 |
|||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
V2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||||
V2dy |
V2 |
|
7 |
|
|
|
V2 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dy |
0 |
y 7 dy |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 7 |
|
|
|
9 |
|
0 |
|
||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Подставляя значение интегралов в интегральное соотношение, получим
|
|
|
7 |
|
|
V02 |
d |
7 |
V02 |
|
d |
|
0 , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
9 |
|
|
dx |
8 |
|
dx |
|
||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
7 |
|
|
V02 |
d |
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
72 |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Подставляя значение |
|
|
0 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
7 |
|
|
|
|
2 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
V0 dx |
|
0,0225 V0 |
|
|
|||||||||||||||||
72 |
|
V |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0,0225 |
|
|
|
|
4 |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
72 dx |
|
V0 |
|
|
|
|
|
Разделив переменные, получим
58
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
72 |
|
|
4 dx . |
||||
|
|
|
|
|
|||||
4 d |
0,0225 |
||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
7 |
|
V0 |
После интегрирования получим
4
5
5 |
|
|
|
1 |
|
||
|
72 |
|
|
|
|
||
|
|
|
4 x C . |
||||
4 |
0,0225 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
7 |
|
V0 |
Учитывая, что при x 0 0 , получим что С=0.
В результате получим, что толщина пограничного слоя равна
1
0,37 V0 x 5 x .
Из полученного выражения следует, что толщина турбулентного пограничного слоя нарастает более интенсивно, чем ламинарного,
ибо в этом случае величина пропорциональна x 4 5 , в то время как для ламинарного пограничного слоя ранее получино, что
пропорциональна x 12 .
Этот вывод объясняется тем, что перемешивание частиц, имеющее место в турбулентном слое, способствует более
интенсивному его росту. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определим силу сопротивления трения X тр |
пластины |
|
|
||||||||||||||||
шириной b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, сила трения равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
тр |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя значение |
0 |
|
из |
интегрального соотношения |
(2), |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
7 |
|
|
2 d |
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
b |
|
|
V |
|
|
dx |
|
|
|
V b d |
|
|
V b . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
тр |
|
72 |
0 dx |
|
|
|
72 |
|
0 |
0 |
72 |
0 |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая |
в выражении для |
толщины |
пограничного |
слоя |
x , получим, что
59
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
V |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|||||||
X |
|
0,072 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V0 |
b . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
тр |
V0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Так как коэффициент трения равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Cx тр |
|
X тр |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то для C x тр получаем значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Cx тр |
0,072 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 , |
|||||||||
|
|
|
V0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cx тр |
0,072 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Re |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимость коэффициентов сопротивления от числа Re удобно изображать в логарифмических координатах, в качестве которых принимают lg Re и lg Cx тр .
При этом зависимость C x тр |
для ламинарного пограничного |
|||||||||
слоя изобразится прямой 1 (рис. 4.4) |
|
|
|
|
|
|
||||
lg Cx тр |
|
lg1,3 |
1 |
lg Re |
||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с угловым коэффициентом |
|
– |
|
1 |
; а |
зависимость C x тр для |
||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
турбулентного пограничного слоя прямой (2) (рис.4.4): |
||||||||||
lg Cx тр |
lg 0,072 |
|
1 |
lg Re |
||||||
5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с угловым коэффициентом – |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
60