3012
.pdf
|
|
= − |
ħ |
+ |
|
= 0 |
= |
ħ |
= |
|
0.66 ∙10 |
м = |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
( ) = |
|
9∙10 |
∙0.91∙10 |
|
||||
5,4∙10 м = 54 нм |
|
|
= |
ħ |
|
− |
|
|
= − |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
5.114. Ширину |
|
= −13,6 эВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
изображения b’ щели на экране определим |
расстоянием между первыми дифракционными минимумами в
пределах угла 2y, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Пусть Δpy |
есть поперечная |
||||||||||||||||||||||||||||||
неопределённость |
импульса атомов, прошедших через щель, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
≈ |
/2ℓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
откуда |
||||||||||||||||||
тогда |
sin |
≈ Δp /и |
|
|
|
Δy.≈ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. Полагая |
ħ |
|
|
|
, где b – ширина щели, будем |
|||||||||||||||||||||||||||||
иметь |
Δp |
≈ ħ/ |
|
(1)sin. |
|
≈ |
|
Получаем |
/2ℓ ≈ |
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
ħℓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
следует |
|
|
|
|
|
Далее заметим, что размер изображения на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
экране не |
может быть меньше следа пучка атомов, т.е. |
, |
′ |
|
|
|
|
= |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда из равенства (1), которое получает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
находим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
′ ≈ √2ħℓ |
. |
|
В |
для минимальной |
|
|
= 600 м/с |
|
|
ℓ = 1,0 м |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||
≈ 1,67∙10 |
|
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ширины изображения щели |
|||||||||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
вероятностим = 0,014 ммраспределения= 14 мкм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5.115.′ ≈Плотность1,4∙10 |
непрерывной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
случайной величины x на промежутки [0,a] имеет вид |
( |
|
|
) = |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
где A и a – постоянные. Проинтегрируем функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
:= ∫ |
= |
|
|
|
|
= 1 ∫ |
|
|
= 1 => 2/ ; ( ) = 2 / |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
В(точке) |
|
( ) = 2/ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
и |
|
: |
|
|
|
. |
|
|
|
; . |
||||||||||||||
( |
) |
|
|
|
, |
Средние значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= ∫ ( ) = |
|
∫ |
|
|
|
= 2 /3 = |
|
∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
5.116. Плотность вероятности распределения величины |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в интервале ( |
|
|
) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вне интервала |
|
|
|
|
|
|
= 0. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
( ) |
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( |
|
|
√ |
) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
||||
Нормировка 0, |
|
|
|
|
|
|
( |
) = |
|
|
√= 1 дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
это( ) = |
|
√ |
|
|
|
(1). Наиболее вероятное значение величины |
, |
как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
нв |
= |
|
. Среднее значение величины |
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
следует из (1), равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
< > = ∫ |
|
|
|
( ) = |
( √ |
|
) |
∫ √ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Вероятность |
(0< |
< |
|
) = |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= √ |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
√ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=0,35. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
5.117. Плотность вероятности распределения величины |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 0. Из |
|
|
0, |
) имеет вид |
|
|
|
( ) = |
|
|
( − ) |
. Для |
|
[0, ] |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в интервале ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нормировки |
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
и, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вероятное |
|
значение |
|||||||||||||||||||||||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
( .−Найти) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
величины |
|
найдем( из) =условия |
|
|
|
=0, |
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0; |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
[ |
|
( − )] |
|
|
нв |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
)= |
|
|
. Средние значения < |
|
> и < |
|
>: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
< > = ∫ |
|
|
( ) = |
|
∫ |
|
|
|
( − ) = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
> = |
|
|
∫ |
|
|
|
( − |
|
) |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.118. Попадание частицы на элементарную площадку
=в окрестности точки ( ,y) есть событие, зависящее от
двух случайных величин (координат) |
и y. |
Это событие можно |
|||||||
охарактеризовать вероятностью dP g x, |
ds , |
где ( |
,y) |
||||||
плотность вероятности осуществления события( y) |
,y), dSg dxdy. |
||||||||
В случае центральной симметрии |
|
|
и (dP= |
|
. |
||||
Вероятность попадания частицы на |
поверхность кольца радиуса |
||||||||
|
= |
|
|
( ) |
|
||||
и ширины dr равна |
|
|
∙2 |
|
= 2 |
|
|
. При этом |
|
плотность вероятности |
зарегистрировать частицу на расстоянии |
||||||||
= |
( ) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
от |
центра О |
равна |
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(заметьте, что вероятность |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
попадания частицы на линию окружности( ) |
равна нулю). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
По условию |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Наиболее вероятное расстояние |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно зарегистрировать частицу, найдем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
до центра, на котором( ) |
|
(1 − |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
из уравнения |
|
|
( |
|
|
)=0, |
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]=0. Отсюда получаем |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормировки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
нв |
= |
|
|
. Постоянную· |
|
найдем из |
|
|
|
(1 − |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
(1 − ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Функция |
получает вид |
|
|
|
|
Среднее расстояние |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
от центра,(на) |
котором |
концентрируется поток частиц: < |
|
> = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
= ∫ |
∙2 ∙ ( ) = |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5.119. Вероятность попадания частицы на поверхность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кольца радиуса |
и ширины |
|
|
|
|
|
|
плотность |
|
|
|
|
|
|
|
. (см. решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
задачи 5.118). Следовательно, |
|
|
|
вероятности |
события |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
( ) |
Здесь |
|
|
(, ) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
,0 ≤ |
|
|
<для |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
=0( )для |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
( |
|
(1 − |
|
|
) равна |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. По условию функция |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
) |
|
< |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 |
– |
|||||||||||||
постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Наиболее вероятное расстояние от |
|
|
центра распределения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частиц |
|
при попадании |
|
их |
|
на |
|
плоскость |
|
найдем из |
условия |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
· |
|
Постоянную |
|
|
(1 − |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н.в= |
√ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
)=0, т.е |
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
]=0.Получаем |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найдем |
|
|
нормировкой вероятности |
|
на |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
) |
|
|
= 1 ∫ 2 |
|
( ) |
|
= |
||||||||||||||||
единицу по кругу радиуса |
: |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
∫ (1 − ) = 1 |
|
|
. |
= |
|
|
, при этом функция |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
<( )>: |
|
( ) = |
|
(1− |
) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим среднее значение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
< >= ∫ |
= ∫ |
∙2 ∙ ( ) = |
|
∫ |
1− |
|
= |
||||||||||
|
|
−|0 = .
5.120. Вероятность нахождения колеблющейся частицы на пути пропорционально промежутку времени движения на этом отрезке т.е. = . По условию вероятность пребывания частицы в интервале (-a, a) переменной x равна единице, при этом время нахождения частицы в этом интервале составляет
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1, т.е. |
|||||||||||||||
половину |
периода, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
cT |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
. |
Согласно уравнению |
x acos t |
dx a sin tdt. |
||||||||||||||||||||||||||||||
T |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда |
|
|
dt |
|
|
dx |
. |
|
При |
|
движении |
|
частицы |
от |
точки |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x1 a |
|
|
|
|
|
до |
|
|
точки |
|
|
x2 |
a |
|
|
|
sin t 0. |
|
|
|
Поэтому |
||||||||||||||||||||
dt |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
, |
x a. |
Получаем: |
|||||||||||
a |
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
1 cos2 |
t |
|
|
|
|
a2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
== |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
= |
|
|
. |
Плотность |
вероятности |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.121. Согласно идее де- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бройля потоку частиц, также как и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отдельной |
|
|
частице, |
|
|
можно |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сопоставить плоскую волну. На |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
основании этого прохождение электронов через щели экрана можно рассматривать как дифракцию волны. Результат наблюдения в точке M (см. рис.) будет определяться
интерференцией волн, приходящих от щелей. |
|
cos( |
− ) |
|
|||
= |
|
|
. Квадраты амплитуд |
= |
и |
||
Пусть уравнения этих волн имеют вид |
|
|
|||||
|
cos( − |
) |
|
|
и |
волн |
|
|
|
|
|
|
определяют вероятности попада-ния электронов на площадку ∆S в окрестной области точки M- с одной стороны, а с другойинтенсивности потоков частиц, т.е. число частиц, падающих на площадку ∆S за одну секунду. Интенсивность результирующей
волны, |
при наложении двух когерентных волн I= |
+ |
+2 |
черезI I |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где |
δ |
- |
разность фаз интерферирующих волнI |
, илиI |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cosδ |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
+ |
N |
+2 |
|
|
|
|
|
cosδ |
. Нам |
известны |
|
N |
и |
||||||||||||||||||
отношение |
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
число |
частиц |
N= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
эл |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
, N |
|
|
η N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
с |
|
η |
|
|
|||||||||
|
= 900 |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
а) Поскольку |
|
|
~ |
|
|
|
= |
|
|
|
. Для |
|
|
= 100 |
эл в |
|
и |
|
=3 , |
|
||||||||||||||||||
N |
|
|
б) сПри. |
|
наблюдении |
в |
точке M |
|
интерференционного |
||||||||||||||||||||||||||||||||
N= |
|
|
|
+ |
|
|
, |
+2 |
|
|
|
|
|
δ == |
2 |
|
|
+ |
|
|
cosδ+2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||
максимума |
|
|
|
|
когда |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
=1 |
интенсивность |
||||||||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
Nэл |
в |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
η N |
|
|
|
|
|
|
η N |
|
|
|
(1+ |
|||||||||||||
η) |
N в) В |
случаес . |
|
минимума в точке M |
|
δ = |
, |
cosδ |
=-1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
=1600 |
|
|
|
|
|
(1 − η) N |
|
|
|
|
|
эл |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
интенсивность N= |
= 400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5.122. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
( |
;0) |
|
|
|
|
|
Волновая функция частицы в момент t=0 имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
e |
|
p(- |
⁄4 |
|
=B |
|
, |
где |
B= |
|
|
|
|
|
|
, |
|
и |
выделим |
||||||||||||||||||||
реальную часть |
|
R |
|
|
= |
|
Be |
|
|
|
, |
т.е. R |
|
e |
|
=⁄ |
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
представим |
в |
виде |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
cos |
|
||||||||||||||
Квадрат |
= |
модуля e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||
e |
|
= |
B |
|
e |
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B e |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
псифункции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
Исследуя |
стандартным образом уравнения кривых |
|||
R |
( ;0) |
и |
| |
( ;0) | |
, можно убедиться, что графики этих |
|
|
|
|
|
функций имеют вид, примерно изображенных на рис. 1 и 2.
5.123. Уравнение Шредингера для свободной частицы
имеет вид: |
= ħ , т.е. |
= - ħ · . |
|
− ħ · |
(1) |
Уравнение (1) легко решается путем разделения по переменным, представляя решение в виде ( , )= ( )Т( ) (2). Подставляя (2) в (1), получим:
Т |
|
=- |
ħ |
· |
Т |
, или |
|
· |
|
=- |
ħ |
· |
Т |
Т |
. |
(3) |
|
|
|
Равенство (3) возможно, когда обе части равенства равны одной и той же константе. Обозначим её через –k , а величине k присвоим смысл волнового числа. Получаем два уравнения:
|
|
k |
|
ħ (ħ ) |
|
ТТ |
= |
|
Е |
ħ |
(5). |
|
ħk ⁄2 |
|||||||
|
+ |
|
=0 |
(4), |
|
|
|
|
- |
|
|
|
Выражение |
|
||||||
представим так: |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
. |
|
Здесь p- импульс, Е- энергия |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
частицы. С учетом этогоħзамечанияħ ħ |
уравнение (5) напишем в виде |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT |
i |
|
E |
dt . |
|
(6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
76
где
Т=e
Общее решение уравнения (4) есть |
= |
|
+ B |
|
, |
||
и B |
– постоянные. Частное решение( ) |
уравнения |
(6) |
||||
e |
|
|
e |
|
|||
(Е⁄ħ) . |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
общее решение уравнения Шредингера (1) |
имеем |
вид |
|
( |
|
|
|
|
)= |
|
|
|
|
|
|
( |
ħЕ |
|
|
|
) + |
|
B |
|
|
|
( |
ħЕ |
|
|
|
|
|
) (7). Поскольку частица |
|||||||||||||||||||||||
движется, |
в |
|
одном направлении |
оси |
, |
оставим в |
(7) |
|
одно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ħ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то ( |
|
|
|
)= |
|
|
|
|
( |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|||||||||||||||||||
слагаемое и напишем |
|
( |
|
|
|
)= |
|
|
|
|
|
Е |
|
x. Если учесть, что |
|
|
= , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
,5.124.e |
|
Энергетический спектр частицы в заданных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условиях определяется выражением Е = |
|
|
ħ |
n ( |
= 1, 2,…). По |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
Е |
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
· Е |
|
|
|
||||||
условию для электрона |
|
|
|
- |
|
|
=Δ |
|
= |
|
|
|
|
ħ |
. Отсюда |
|
|
|
ħ |
. Для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Е · |
|
|
|
|
|
|
|
0,30 |
|
|
|
|
эВ? |
|
|
Ширина |
|
|
потенциальной |
|
|
ямы |
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
, |
|
· |
· |
|
|
|
· |
|
, |
· |
|
|
|
|
|
|
|
=2,5 |
·10 |
|
|
м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
· |
, |
|
|
|
|
|
|
· |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5.125. Пси-функция для частицы в одномерной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
потенциальной |
|
|
|
яме |
|
|
|
с |
|
|
|
|
энергией |
|
Е |
= |
|
|
ħ |
|
имеет |
|
|
вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||
( |
)= |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄32< x<22l⁄/33 равна |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вероятность |
|
пребывания частицы в области |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2l /3 |
|
|
|
|
2 x |
|
|
1 |
|
|
|
|
l |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
P x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
dx |
|
|
|
x |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l /3 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
2 |
|
|
l l /3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
3l |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,61. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
l |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
5.126. Частица в одномерной потенциальной яме; пси- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция |
|
|
состояния |
|
частицы |
|
|
вещественная. |
По |
условию |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плотность |
вероятности |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(1- |
cos |
|
|
), |
|
|
где |
|
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициент |
пропорциональности. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Уравнение Шредингера2 sin (в |
заданных2) √2 sin(условиях2) |
|
частицы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ħ Е |
|
|
|
= |
|
|
|
. Энергия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
=0 имеет решение |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Сравнивая, получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е= |
ħ |
n = |
ħ |
·( |
|
) = |
ħ |
( |
|
) = |
ħ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5.127. Пси-функция частицы в основном состоянии, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находясь в одномерной потенциальной яме, равна |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По |
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(так |
|
|
обозначено |
в |
|
сборнике). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этим условием. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Воспользуемся( |
⁄ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Прежде |
всего |
|
|
|
|
напишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||||||||
sin |
2 x |
0 |
2 x0 |
|
k x |
0 |
|
|
kl |
, |
|
|
|
где |
|
|
k=1,3,5,… |
|
|
|
|
(четные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значения k исключаются, что соответствует положениям стенок
ямы. Возьмем |
|
|
тогда |
= |
|
|
и в |
точке |
|
пси-функция |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
( |
⁄2 |
)= |
(2⁄ |
|
sin |
|
= |
2⁄ |
, её |
|
|
|
|
|
, |
|
= |
|
⁄2= |
|
⁄2 . |
|||||||||
|
|
|
|
)к = 1 , |
2 |
|
квадрат |
Е |
( |
)=( |
)= . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2⁄ |
|
|
|
|
|
|
ħ |
( |
ħ ) |
|||||
Отсюда , а затем энергия частицы: |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
5.128. |
|
Пси-функция частицы |
в |
|
основном |
состоянии |
||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
sin |
|
|
. Из |
условия |
|
1 |
|
x 0 |
|
|
|
|
x 1 |
|
получаем: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
2 |
l 3 |
2 2 / 2 . |
Энергия |
||||||||||
|
l |
l |
l |
l3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
частицы Е = |
ħ |
| |
|
⁄ |
= |
ħ |
( |
|
) . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
5.129. Волновая функция n -го состояния частицы в одномерной потенциальной яме, расположенной в области 0<x<l
|
|
|
|
|
имеет вид = 2⁄ sin |
|
(1), где n= 1,2,… Здесь начальная |
||
|
точка отсчета =0 координаты определялась положением левой потенциальной стенки.
Располагая начальную точку отсчета =0 в середине ямы
зависимость |
(1) |
|
( |
) |
|
сдвигается |
|
влево |
|
на |
|
|
|
|
|
. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зависимости( ) |
2⁄отsin[ |
( + |
) |
|
|
|
|
|
2⁄ |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
(2). |
|
В |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
четности-нечетности |
|
|
порядка |
|
|
|
|
функцию |
|
(2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
можно представить и так: для четных |
|
|
= 2,4… |
|
|
n= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2⁄ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.130. |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2⁄ |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
для нечетных |
|
|
=1,3,5,… |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Энергетический спектр частицы в потенциальной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
яме определяется выражением |
|
|
= |
ħ |
|
|
|
|
|
, |
|
|
=1,2,… (1). Отсюда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
энергетического |
уровня |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2). |
|||||||||||||||||||||||
имеем порядок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возьмем |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Рассматривая |
|
E и |
n как |
|
|
непрерывные |
|
переменные, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
ħ |
2 |
|
|
Е |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциалы от обеих частей равенства (1): |
dE |
|
2 2 |
ndn. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ml2 |
|
|
|
|
|||||
Отсюда получаем: |
dn |
|
dN |
|
ml2 |
|
|
|
ml2 |
|
|
|
|
|
l/ |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m/2E |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dE dE 2 2n |
2 2 |
|
l |
2mE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79
Для |
электрона при |
заданных |
|
|
значениях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1,0 |
см |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
, |
· |
|
|
|
|
|
||||||||
плотность энергетических уровней |
|
= |
|
|
|
Е=1,0 |
|
|
эВ |
, |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Е |
|
· , |
|
|
|
· , |
· |
|
|
|
|
|
|
1 Дж |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=0,52 |
|
1 |
Дж |
= 0,52 |
|
|
|
|
·1,6·10 |
|
|
|
|
|
=· |
0,83 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
·10 |
|
|
|
|
|
·10 |
|
|
|
|
1 эВ |
|
|
|
|
|
· 10 |
1 эВ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5.131. В данном случае уравнение Шредингера имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
к |
|
=0 (1), |
где |
|
к |
|
= |
2 |
|
Е⁄ħ |
(2). Поскольку стенки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
потенциального ящика непроницаемы, волновая функция |
|
|
( |
|
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на стенках обращается в ноль. Будем искать решение |
уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
,y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) в виде |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||
|
|
|
Пси-функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяет |
|
|
|
условию |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
видаsinк(3)sinк y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
непрерывности на стенках |
|
|
=0, =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
На стенках ямы |
= |
|
|
|
и |
|
|
=y |
|
|
|
-функция будет так же равна |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нулю, если |
принять |
|
|
|
|
= |
|
y |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
(4), |
|
где |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
принимают значения |
1,2,… |
n |
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Подставляя (3) в уравнение (1) и сокращая на общие |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
множители, |
получим |
|
к |
|
|
+ |
к |
|
|
= |
к |
, |
|
или |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
)= |
|
Е |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда имеем |
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
( |
|
|
+ |
|
|
|
) (5), |
|
|
=1,2,… |
|
|
|
=1,2,… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Для |
= |
=Е возможные энергии |
|
частицы |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ħ |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
четырех |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||
Значения |
|
энергииЕ частицы |
|
|
|
|
|
|
первых |
|
|
|
|
уровнях |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
nна + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Е , Е ,=Е , Е : |
, |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Е Е |
|
ħ |
|
Е Е |
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
Е |
|
|
Е |
|
|
|
|
ħ |
|
Е Е |
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
5.132. Воспользуемся результатами решения предыдущей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задачи (5.131.). Заменяя |
|
|
на a и |
|
|
на |
|
|
, выпишем выражение для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
sin |
|
|
|
sin |
|
ϐ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- функции частицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
ϐ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|