3127
.pdf~ |
|
B 1(r, r, 2 , 1 , 2 ) |
|
|
|
А 1(r, 2) 1 |
|
|
|||
n1[km1U1 R 1 |
(km 1ke1n1/ R1) 1 ], |
|
|||
~ |
|
|
(r, r, 2 , 1 , 2 ) |
|
|
А 2(r) 2 B 2 |
C 2 |
(r, 2) |
|||
n 2[km2U 2 R 2 |
(km 2ke 2n 2 / R 2) |
2 ], |
(4.87) |
||
|
|||||
~ |
|
2 , 1 , 2 ) h 32 C r ( 2) h 32 |
|
||
А r r |
B r (r, |
|
n 3h 3[km3U3 R 3 (km 3ke3n 3/ R 3) r],
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
А (r, |
|
) |
J n 2 |
, |
|
(r) |
А |
|
(r) |
J |
n 2 |
, |
|||||||||
где А (r, |
2 |
2 |
А |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А r h 32 |
J3n 32 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
А r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем выражение (4.87):
141
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B 1(r, r, |
|
|
|
2 , 1 , 2 ) |
|
|
|
||||||||||||
А 1(r, 2) 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(k |
m 1 |
k |
e1 |
n |
2 / R ) |
|
|
n |
k |
U |
R |
1 |
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
1 |
|
|
m1 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
~ |
(r) 2 |
|
|
B 2(r, r, |
|
|
2 , 1 , 2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
А 2 |
|
|
|
|
|
C 2 (r, 2) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.88) |
|||
(k |
m 2 |
k |
e 2 |
/ R |
2 |
2 |
|
n |
2 |
k |
U |
|
R |
2 |
, |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , 1 , 2 ) h 32 C r ( 2) h 32 |
|
||||||||||||||||||
А r r |
|
B r (r, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
(k |
m 3 |
k |
e3 |
n 2 |
/ R |
3 |
)r |
|
n |
3 |
h |
3 |
k |
U |
|
R |
3 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m3 3 |
|
|
|
|
||||||||||
Введем следующие обозначения: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , 1 , 2 ) |
|
|
|
B 1(r, r, |
|
2 , 1 , 2 ) |
||||||||||||||
B 1(r, r, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(k |
m 1 |
k |
e1 |
n |
|
2 |
/ R ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , 1 , 2 ) |
|
|
|
|
B 2(r, r, 2 |
, 1 , |
2 ) |
|||||||||||||
B 2(r, r, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
C 2 (r, 2) (km 2 ke 2 n 22 / R 2) 2 , |
|
|
|
. (4.89) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 1 , 2 ) |
|
B r (r, 2 , |
1 , |
2 ) h |
2 |
|||||||||||||||
B r (r, r, 2 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
C r ( 2) h 32 |
|
|
(km 3ke3n 32 / R 3)r. |
|
|
|
|
|
|
С учетом принятых обозначений (4.89) из выражений (4.88) получим систему уравнений:
142
~ |
|
|
~ |
2 , 1, 2 ) |
|
А 1(r, 2) 1 |
B 1(r, r, |
n1km1U1 R1 , |
|||
~ |
|
~ |
2(r, r, 2 , |
1, 2 ) |
n 2 km2U2 R 2 , (4.90) |
А 2 |
(r) 2 B |
||||
~ |
|
B r (r,r, |
2 , 1 , 2 ) |
|
|
А r r |
n 3h 3km3U3 R 3 . |
Задачу управления сформулируем следующим образом.
Синтезируемый алгоритм управления должен обеспечивать перевод механизма из произвольного начального состояния
|
1 0 , 1 0 , |
2 |
0 , |
2 0 , r 0 , r 0 |
(4.91) |
||
в назначенное состояние, которое соответствует неподвижной точке зад1, |
зад2, |
rзад. Необхо- |
|||||
димо при этом чтобы переходные процессы |
1 (t ) |
зад1, |
|
2 (t) |
зад2, r(t ) |
rзад являлись |
|
решениями дифференциальных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
i э t |
i1 i |
t |
i0 |
i t |
i0 задi , |
i |
1, 2, |
rэ t |
r 1 r t |
r 0 r t |
r 0 rзад , |
|
(4.92) |
||
|
|
где i э t , rэ t — эталонные ускорения по координатам;
i1 , i0 , r 1 , r 0 — параметры алгоритма управления, которые определяются из уравнения
(4.30).
Решение поставленной задачи обеспечивается с помощью алгоритмов управления по ус-
143
корению
|
i ( i |
i ), |
i |
1, 2, |
|
Ui |
|||||
|
|
r ), |
|
(4.93) |
|
r (ar |
i , |
r const 0. |
|||
U3 |
Требуемые ускорения вычисляются из (4.92) по формулам
i |
i э |
i0 ( |
задi |
i) |
i1 i, |
i 1, 2; |
(4.94) |
a r |
r 0 (rзад |
r) |
r1 r. |
|
|
||
|
|
|
|||||
Уравнения (4.93) можно записать в интегральной форме |
|
|
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
t |
|
Ui t |
i |
i dt |
i |
, U3 |
t |
r a r dt r |
. (4.95) |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
Система взаимосвязанных уравнений (4.90), (4.93), (4.94) описывающих процессы в замк- |
|||||||
нутых контурах управления, при неограниченном |
возрастании |
коэфициентов |
усиления |
i , r распадается на три независимых уравнения второго порядка. Каждое из них совпадает с
соответствующим уравнением из (4.92). Из этого следует практический вывод о том, что требуемая степень приближения к эталонным процесам может быть достигнута при конечных значениях коэффициентов усиления контуров ускорения.
Постоянные времени контуров ускорения для рассматриваемого ТМ вычисляются по формулам
144
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
T i |
R i A |
i |
r, |
2 |
|
, Ta r |
|
|
R 3 Ar |
|
. (4.96) |
ni kmi ( |
|
|
|
|
|
n3 km3 ( |
r h3 ke3n |
3 ) |
|||
|
i |
|
kei ni ) |
|
|
||||||
Числовые значения коэффициентов усиления |
|
i , |
r |
определяются из уравнений |
|||||||
max T i (0,1 0,2)Т i , |
i |
1, 2, |
|
Ta r |
0,1 0,2 |
Тr . (4.97) |
|
|
|||
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражений (4.96) и (4.97) следуют расчетные формулы для определения коэффициентов усиления контуров ускорения:
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 5 |
10 |
|
R i max A |
|
i |
r, 2 |
|
kei ni |
, |
i 1, 2, |
||
|
|
|
ni kmi |
Т |
i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(4.98) |
||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
10 |
|
R |
3 Ar |
|
|
|
ke3n3 |
. |
|
|
|
r |
n3km3h3 Т r |
|
h3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Структурная схема системы, соответствующая уравнениям (4.94) и (4.95), приведена на рис. 4.9.
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
γ11 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
з ад1 |
1 |
|
U |
|
1 |
|
γ10 |
α |
145 |
|
|
|
|
|
|
||
з ад2 |
|
|
U2 |
6. |
2 |
|
|
|
|
Рис. 4.9. Структурная схема СУ ТМ, работающим |
в сферической системе коор- |
динат |
|
4.8. Особенности контурного управления манипуляторами
В настоящем разделе синтезируются алгоритмы управления манипуляторами по программным траекториям, заданным в виде законов изменения кинематических переменных.
Математическую модель управляемого движения принимаем в виде системы уравнений
(4.15).
Рассмотрим содержательную постановку задачи контурного управления. Пусть назначен-
146
ная траектория qзад(t) задана в виде законов изменения обобщенных координат qзад j (t) и их первых производных q зад j (t) , причем обобщенные координаты интерполированы кубическими
сплайнами на последовательности временных интервалов [ts-1, ts].
В начальный момент времени t = 0 состояние управляемого механизма характеризуется определенными значениями обобщенных координат и их производных:
q j (0) |
q j 0 , |
q j (0) |
q j 0 , |
j 1, 2, ..., n. (4.99) |
Требуется синтезировать алгоритмы |
формирования |
управляющих функций, |
U j U j (q, q,t) , при которых точка q из начального положения перемещается за конечное время
в окрестность траектории q зад (t) и остается в этой окрестности при последующем движении. При этом отклонения j (t )= qзадj (t )-qj (t ) обобщенных координат от заданных значений должны являться решениями дифференциальных уравнений /12/:
|
j |
h j1 j |
h j 0 j 0, |
j |
1, 2, ..., n. |
(4.100) |
|
|
|
|
|
|
|
На основании (4.100) заключаем, что вторые производные q j (t) |
||||||
от обобщенных координат определяются из выражения |
|
|||||
|
q j (t) |
q зад j |
h j1 (q зад j |
q j ) |
h j 0 (q зад j q j). |
(4.101) |
Для определения параметров исходим из того, что для каждой степени подвижности на- |
||||||
значены длительности tj процессов j (t) |
0 и перерегулирование |
j = 4,3 %. В таком случае |
147
коэффициенты hj 0 , hj 1 рассчитываются по формулам /12/:
|
|
h j 0 |
1/ Т 2j ; |
h j1 |
2 j Т j , |
Т j t j 3. (4.102) |
|
Обозначим через Мд j э |
моменты двигателей, при которых реали- |
||||||
зуются уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
j э = q зад j |
h j1 (q зад j |
q j ) |
h j 0 |
(q зад j |
q j) , |
|
|
|
|
~ |
|
(4.103) |
|
|
|
j э = |
j = 1, 2,..., n. |
|
|
||||
q зад j + |
j э, |
|
|
В соответствии с общей схемой процедуры синтеза алгоритмов управления по ускорению управляющие момент Мд j э и напряжение Uj э можно определить из выражений (4.30) и (4.34). С учетом выражений (4.13) для ej j , cj j получаем следующую систему уравнений:
М д j э (t) = kj ( j э - q j ), kj = const, |
||
|
|
(4.104) |
Uj э = (Rj / km j )[Тj э kj ( j э - q j ) + Мд j э ] + ke j nj q j . |
||
Требуемые значения момента Мд j э |
и управляющего напряжения Uj э вычисляются по ин- |
формации, характеризующей состояние управляемого процесса по j-ой степени подвижности
(qj , q j, q j ).
Алгоритм (4.103), (4.104) можно представить в интегральной форме.
Процессы изменения момента Мд j (t ) протекают также как эталонные Мд j э (t), когда скорости изменения моментов в приводах будут равны
148
М д j = |
j (Мд j э -Мд j ), j =1, 2,..., n. |
(4.105) |
|
|
|
Исходя из (4.104) и (4.105) формула для расчета управляющих напряжений имеет вид:
Uj = (Rj /km j )[Тj э j (Мд j э -Мд j )+ Мд j ]+ke j nj q j. (4.106)
Подставляя в первое уравнение системы (4.104) выражение для j э из (4.103), после интегрирования получим формулу
|
(t) + |
t ~ |
|
(t) ], kj = const. (4.107) |
Мд j э (t) = kj [ q зад j |
|
j э dt - q j |
||
|
|
0 |
|
|
Структурная схема канала управления для одной координаты, составленная на основе вы-
ражений (4.103), (4.106) и (4.107), приведена на рис. 4.10.
qзад j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q j |
|
|
|
|
hj 1 |
Тj э j |
|
kejnj |
|
|
|
|
|
|
|
||
qзад j |
~ |
Мдjэ |
Rj |
Uj |
|
qj |
jэ |
|
|||||
|
hj 0 |
kj |
|
ИМ |
|
|
|
kmj |
|
|
|||
qj |
|
|
Мдj |
|
||
|
|
|
|
Рис. 4.10. Структурная схема канала контурной СУ
149
с учетом электрической постоянной времени
Коэффициенты усиления kj принимают равными /12/: |
|||||
|
|
~ |
|
|
|
k j |
5 10 |
max A j j |
q |
, |
(4.108) |
n j Т j |
|
||||
|
|
|
|
|
~
где A j j q - диагональный элемент матрицы A(q), входящей в первое уравнение системы (4.15).
В том случае, когда не учитывают инерционность в электрических цепях двигателей, управляющее напряжение находят из формулы
Uj (t) = |
|
(t) + |
t ~ |
|
(t) ], j j |
= const. (4.109) |
j j [ q зад j |
|
j э dt - q j |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
На основе уравнений (4.103) и (4.109) составлена структурная схема одного канала системы контурного управления, приведенная на рис. 4.11.
qзад j |
|
q j |
|
|
hj 1 |
|
|
qзад j |
~ |
Uj |
qj |
j |
|||
|
hj 0 |
j j |
ИМ |
|
|
150 |
|