3127
.pdfвания и так называемые однородные координаты /14, 18/. Получаемые таким образом уравнения удобны для анализа с помощью ЭВМ.
Втех случаях, когда кинематические схемы механизмов просты, а число степеней подвижности не превышает трѐх, уравнения кинематики целесообразно выводить непосредственно по расчѐтным кинематическим схемам. Именно таким образом мы будем поступать при выводе кинематических уравнений для манипуляторов, работающих в цилиндрической, сферической и угловой системах координат. Для манипулятора с декартовой системой координат никаких преобразований переменных не требуется, так как он работает непосредственно в базовой системе отсчѐта.
Впоследующих разделах мы получим уравнения кинематики и рассмотрим прямые и обратные задачи для трѐх типов кинематических схем трѐхкоординатных манипуляторов.
2.2. Прямая и обратная задачи кинематики при управлении манипулятором в цилиндрической системе координат
Возвратимся к расчетной схеме, представленной на рис. 1.2.
Связь между декартовыми координатами x1, x2, x3 груза массой m и обобщенными координатами , l, r имеет вид:
x1 r sin , |
x 2 r cos , |
x 3 l . |
(2.7) |
Дифференцируя (2.7) по времени, получим уравнения кинематики для скоростей:
51
x |
1 |
r |
sin |
r cos , |
x |
2 |
r |
cos |
r sin , |
x |
3 |
l . (2.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинематические уравнения (2.7), (2.8) можно записать в векторной форме. Для принятых обозначений обобщенных координат q1= , q2 = l, q3 = r уравнения (2.7) примут вид:
x1 = q3 sin q1 , |
x2 = q3 cos q1 , |
x3 |
= q 2 . |
Введем следующие обозначения: |
|
|
|
f1 (q) = q3 sin q1 , |
f2 (q) = q3 cos q1 , |
f3 |
(q) = q2 , |
тогда выражения (2.9) приобретут форму уравнений (2.1). Уравнения кинематики для скоростей записываем согласно (2.2).
В данном случае Якобиан определяется из выражения:
|
F ( q ) |
|
|
q 3 sin q1 |
q 3cosq1 |
0 |
sin q 1 |
|
J(q) = |
= |
|
q |
3cosq1 |
= -q 3sin q 1 |
0 |
cosq 1 . |
|
q |
|
|||||||
|
|
q |
q2 |
0 |
1 |
0 |
||
|
|
|
|
|
Вектор скорости определяется уравнением
X |
x1 |
q 3cos q1 |
0 |
sin q 1 |
q1 |
= x2 |
= -q 3sin q 1 |
0 |
cos q 1 |
q2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
0 |
1 |
0 |
q3 |
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
52
Решение обратной задачи кинематики для рассматриваемого манипулятора получается из системы уравнений (2.7):
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||
arctg |
|
, |
l = x3, |
r |
x1 |
x3 . |
(2.13) |
||
x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорости изменения обобщенных координат находим дифференцированием по времени уравнений (2.13):
|
х |
1 x 2 |
x1 |
х |
2 |
|
|
|
х1 x1 |
х2 x 2 |
|
||
|
|
x 21 |
x 22 |
|
|
, |
l х3 , |
r |
|
x 2 |
x 2 |
. (2.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Отметим, что в (2.13) необходимо принимать главные значения arctg(x1/x2), которые ограничены пределами от - /2 до + /2. Так как изменяется в общем случае в пределах от - до + , то для его определения необходимо пользоваться соотношениями:
arctg (x1/x2) |
при |
x2 >0, |
|
|
+ |
/2 |
при |
x2 =0, x1 >0, |
|
= |
/2 |
при |
x2 =0, x1 <0, |
(15) |
|
(2.15) |
|
||
arctg (x1/x2) + |
при |
x2 <0, x1 >0, |
|
|
arctg (x1/x2) - |
при |
x2 <0, x1 <0. |
|
53
2.3. Прямая и обратная задачи кинематики при управлении манипулятором в сферической системе координат
|
Связь между декартовыми координатами x1 , x2 , x3 груза массой m и обобщенными коор- |
||||||||||||
динатами |
1 , |
2 , r для расчетной схемы, представленной на рис. 1.3, имеет вид |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x1 |
r |
sin |
1 |
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
l |
r |
sin |
2 |
|
|
|
(2.16) |
|
|
|
|
|
x 3 |
r |
cos |
1 |
cos |
2 |
|
|
|
|
Уравнения кинематики для скоростей получаются в результате дифференцирования (2.16) |
||||||||||||
по времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 |
r |
sin |
1 cos 2 |
r 1 cos |
1 cos |
2 |
r 2 |
sin |
1 sin |
2 , |
|||
x2 |
r |
sin |
2 |
r 2 |
cos 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
(2.17) |
x3 |
r |
cos |
1 cos 2 |
r 1 sin |
1 cos |
2 |
r 2 |
cos |
1 sin |
2 , |
Обозначим q1 = 1 , q2 = 2 , q3 =r. Тогда уравнения (2.16) можно представить в следующем
виде:
54
q 3 sin q 1cosq 2 |
|
|
X = F(q) = l q 3 sin q 2 |
. |
(2.18) |
q 3 cosq 1cosq 2 |
|
|
В этом случае Якобиан будет равен |
|
|
|
|
|
q 3 cosq1 cosq 2 |
-q 3 sin q1 sin q 2 |
sin q1 cosq 2 |
|
J(q) = |
0 |
q 3 cosq 2 |
sin q 2 |
. (2.19) |
|
-q 3 sin q1 cosq 2 |
-q 3 cosq1 sin q 2 |
cosq1 cosq 2 |
|
Обратная задача для рассматриваемого манипулятора имеет следующее решение:
|
|
|
|
arctg |
|
x |
1 |
, |
|
arctg |
|
x |
2 |
l |
|
, |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
x |
2 |
x 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.20) |
|
|
|
|
||
r |
x |
2 |
l |
2 x |
2 |
|
x 2 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорости изменения обобщенных координат находим дифференцированием по времени уравнений (2.20):
|
|
x1 x 3 |
x1 |
x 3 |
, |
|
1 |
x 2 |
x |
2 |
|
||
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
55
|
|
x |
2 |
x 2 |
x 2 |
|
x |
2 |
l x |
1 |
x |
1 |
x |
3 |
x |
3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
, |
(2.21) |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x 2 |
x |
|
|
x 2 |
|
x 2 |
x |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
r |
x1 x1 |
x 2 l x 2 |
x 3 |
x 3 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l 2 |
|
|||
|
|
x 2 |
x |
2 |
x 2 |
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
В первом уравнении системы (2.21) необходимо принимать значения arctg(x1 / x3 ), которые ограничены пределами от - /2 до + / 2. Так как 1 изменяется в общем случае в пределах от - до+ , то для его определения необходимо пользоваться соотношениями:
arctg (x1/x3) |
при |
x3 >0, |
|
|
+ |
/2 |
при |
x3 =0, x1 >0, |
|
1 = |
/2 |
при |
x3 =0, x1 <0, |
(15) |
|
|
|
(2.22) |
|
arctg (x1/x3) + |
при |
x3 <0, x1 >0, |
|
|
arctg (x1/x3) - |
при |
x3 <0, x1 <0. |
|
|
Угол 2 изменяется в пределах от - / 2 |
до + / 2 , его значения вычисляются по (2.20) с |
учетом того, что 2 = / 2 при x1 = x3 = 0.
2.4. Прямая и обратная задачи кинематики при управлении манипулятором в угловой системе координат
56
Согласно расчетной схеме рассматриваемого манипулятора, приведенной на рис. 1.4, прямая задача кинематики решается в следующем виде:
|
x1 |
[l 2 |
cos |
2 |
l 3 |
cos( |
2 |
|
3)] sin |
1 , |
x 2 |
l 2 sin 2 l 3 sin( 2 |
3 ) l 1 , |
|||||
|
(2.23) |
x 3 |
[l 2 |
cos |
2 |
l 3 |
cos( |
2 |
3)] cos |
1 . |
|
|||||||
Дифференцируя (2.23) по времени, получим уравнения |
|
|||||||||||||||||
кинематики для скоростей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x1 |
[-l 2 2 |
|
sin |
2 |
l 3( 2 |
3) |
sin( |
2 |
|
3)] |
sin |
1 |
|
|
||||
[l 2 cos |
2 |
l 3 |
cos( |
2 |
|
3)] cos |
1 1, |
|
|
|
|
|
||||||
x 2 |
l 2 2 |
cos |
2 |
l 3( 2 |
3) |
cos( |
2 |
|
3) , |
|
|
(2.24) |
|
|||||
x 3 |
[-l 2 2 |
sin |
2 l 3( 2 |
3) |
sin( |
2 |
|
3)] |
cos |
1 |
|
|
||||||
- [l 2 |
cos |
2 |
l 3 |
cos( |
2 |
3)] sin |
|
1 1. |
|
|
|
|
|
|
||||
Обозначим q1 = |
1 , q2 = |
2 , q3 = |
3 , тогда уравнения (2.23) записываются в виде: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
[l 2 cosq 2 |
l3 cos(q 2 |
q3 )]sin q1 |
|
|
|
|||||||||
|
X = F(q) = |
l 2 sin q 2 |
l3 sin(q 2 |
|
q3 ) |
|
l1 |
. |
(2.25) |
|
||||||||
|
|
|
|
[l 2 cosq 2 |
l3 cos(q 2 |
q3 )]cosq1 |
|
|
|
57
Дифференцируя (2.25), можно получить выражение для матрицы J(q), входящей в векторное уравнение кинематики для скоростей (2.2). Это выражение слишком громоздкое и поэтому не приводится.
Из первого и третьего уравнений системы (2.23) получим
arctg |
x 1 |
. |
(2.26) |
1 |
x 3 |
|
|
Обобщенные координаты 2 и 3 можно выразить из треугольников, представленных на |
|
рис. 2.1 и соответствующих верхней части рис. 1.4. |
|
B |
|
A
|
3 |
|
2 |
|
С |
2 |
|
|
|
2 |
D |
|
|
Рис.2.1. Схема для определения обобщенных |
|
коорди- |
|
нат 2 и 3 |
|
|
|
Величины отрезков, изображенных на рис.2.1. равны |
|
|
|
|
|
|
|
AB =l2 , BC =l3 , CD =x2 -l1 , |
AD = x 12 x32 . (2.27) |
58
Из треугольника ACD находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
AC = |
|
AD |
|
|
|
|
CD |
|
|
|
= |
|
|
x |
2 |
x 2 |
(x |
- l ) 2 |
, |
(2.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CD |
|
= arctg |
x 2 |
l 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 '= arctg |
|
AD |
|
|
|
|
|
. |
(2.29) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x12 |
x 32 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из треугольника ABC в соответствии с теоремой косинусов определяем углы |
2 '' и 3: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 ''= arccos |
|
|
|
AB |
|
|
2 |
|
|
|
|
AC |
|
2 |
- |
|
|
|
|
BC |
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
AB |
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
2 |
|
l 2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
l |
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= arccos |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
, |
|
(2.30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 l |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
l |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
x 2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 = arccos |
|
|
|
AB |
|
2 |
|
|
|
|
BC |
|
2 |
- |
|
AC |
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
AB |
|
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
arccos |
|
l 22 |
|
|
l 32 |
|
|
|
|
|
|
x 2 l 1 |
2 |
|
|
|
|
|
x12 |
|
|
|
|
x 32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2.31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l 2 l 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, для обобщенных координат |
2 и |
3 из выражений (2.29) (2.31) имеем |
59
|
|
x |
2 |
l 1 |
|
|
l 22 l 32 |
x 2 l 1 |
2 |
x12 |
x 32 |
|||||||
2 |
arctg |
|
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (2.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 l |
|
x |
|
l |
|
x 2 |
x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
l 2 |
l 2 |
x |
2 |
l |
2 |
x 2 |
x 2 |
|
|
|
arccos |
2 |
3 |
|
|
1 |
1 |
3 |
. |
(2.33) |
|
3 |
|
|
|
2 l 2 l 3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения (2.26), (2.32) и (2.33) позволяют решить обратную задачу кинематики для перемещений. Дифференцируя их по времени, получим уравнения для определения скоростей изменения обобщенных координат
|
|
х1 x |
3 |
x1 х 3 |
, |
(2.34) |
|
1 |
x |
2 |
x 2 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
х |
2 |
x 2 |
|
x 2 |
|
|
|
x |
2 |
|
l |
1 |
x |
1 |
|
х |
1 |
|
x |
3 |
|
|
х |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x12 |
|
x32 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
x 2 |
|
x 2 |
|
|
x |
2 |
|
l |
1 |
2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
l1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x х |
1 |
x |
|
х |
3 |
|
x |
2 |
|
l |
|
х |
|
2 |
|
l 2 |
|
|
|
l 2 |
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
x |
2 |
l |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, (2.35) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 2 |
|
2 |
|
|
2 x |
2 |
2 l 1 |
|
2х 2 |
|
2 x1 |
|
х2 |
1 |
|
x23 |
х 3 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4l2 x1 |
|
x |
|
x |
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x l |
|
|
|
|
. |
(2.36) |
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
2 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2l |
|
l |
|
|
|
2 |
|
|
l 2 |
|
|
l |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
l |
|
2 |
|
x |
2 |
|
x 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60