- •2. Интерполирование при помощи алгебраических полиномов.
- •3. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •4. Интерполяционный полином Ньютона.
- •5. Оценка остаточного члена интерполяционного полинома.
- •6. Численное интегрирование
- •7. Применение полинома Лагранжа
- •8. Формулы прямоугольников
- •9. Формула трапеций
- •10. Формула Симпсона
- •11. Оценка погрешности квадратурных формул
- •16.Аппроксимация обыкновенных и частных производных с помощью разложения в ряд Тейлора и ее порядок.
- •17, 18. Некорректность численного дифференцирования
- •20. Метод прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей
- •21. Постановка задач для уравнений в частных производных
- •22. Классификация уравнений в частных производных второго порядка
- •23, 24. Метод сеток (метод конечных разностей) решения краевых задач для уравнений второго порядка в частных производных
- •XI,yi,,.
- •25. Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными
Интерполирование функции. Общие понятия
На практике часто встречаются функции f(x), заданными для некоторого конечного множества значений аргументаxна отрезке [a,b],x0=a,xm=bтаблицами их значений:x= x0,x1,x2, …,xm, f(x) =y0,y1,y2, …,ym
Здесь y0=f(x0),y1=f(x1), …,ym=f(xm).
Такая таблица может быть получена, например, в результате измерения некоторой величины в определенные моменты времени.
В процессе расчетов иногда необходимымы значения f(x) для промежуточных значений аргумента, которых нет в таблице. В этом случае функциюf(x) заменяют приближенной функцией, например, строят функцию φ(x), которая в заданных точкахx0,x1, …,xm принимает значенияy0,y1, …,ym, а в остальных точках отрезка [a,b] приближенно представляет функциюf(x) с той или иной степенью точности. В расчетах функция φ(x) заменяет функциюf(x).
Задача построения такой функции φ(x) и оценки ее близости к функцииf(x) называется задачейинтерполирования. Функция φ(x) называетсяинтерполирующей функцией.
Интерполирование применяется и в том случае, когда известно аналитическое представление функции f(x), но вычисление каждого значения является трудно вычисляемым.
Итак, построение интерполирующей функции при заданных значениях y0,y1,y2, …,ymфункцииf(x) в точкахx0,x1,x2, …,xmотрезка [a,b] означает определение такой функцииφ(x), чтоφ(x)f(x) приx[a,b]φ(xi) =f(xi) =yi, приxi[a,b],i = 0, 1, …,m
Точки называютсяузлами интерполяции. А их совокупность –интерполяционной сеткой.
Для построения интерполирующей функции используют определенные системы линейно-независимых функций, находящихся на этом отрезке: φi(x),i = 0, 1, 2, …, записывая функциюφ(x) в виде линейной комбинации, гдеa0,a1,a2, …,an– числа.
Определенные на отрезке [a,b] функцииφi(x),i = 0, 1, 2, …,n, называются линейно-зависимыми, если существуют постоянныеa0,a1,a2, …,an, не равные нулю одновременно и такие, чтодля всехx[a,b]. В противном случае функцииφi(x),i = 0, 1, 2, …,n, называются линейно независимыми.
Определенные на отрезке [a,b] функцииφi(x),i = 0, 1, 2, …,n, являются на отрезке [a,b] линейно зависимыми тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других.
Примерами таких систем определенных и линейно-независимых на отрезке [a,b] функций являются:
1) последовательность степеней x: 1,x, x2,x3, …;
2) последовательность тригонометрических функций: 1, sinx,cosx,sin2x,cos2x, …;
3) последовательность показательных функций: 1, ,, …, где {αi} – некоторая числовая последовательность, и т.д.
В случае построения интерполирующей функции с помощью определенной системы линейно-независимых функций φi(x),i = 0, 1, 2, … задача интерполирования заключается в определении констант, удов - их равенствам. (1)
и оценке близости между функциями f и φ.
Таким образом, для определения коэффициентов aiимеем систему изm+1 уравнений сn+1 неизвестными. Матрица этой системы имеет вид:
Для того, чтобы система линейных уравнений имела решение при любой правой части, достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен m+1. При этомn≥m. Решение будет однозначным приn=m.
Будем предполагать, что n =mи определитель системы (1) отличен от нуля. Тогда при любыхf(xj) система (1) будет иметь единственное решение.
2. Интерполирование при помощи алгебраических полиномов.
Интерполяция алгебраическими многочленами функцииf(x)наотрезке[a, b]— построениемногочленаPn(x)степени меньшей или равнойn, принимающего в узлах интерполяции x0, x1, ...,xn значения f(xi):
Система уравнений, определяющихкоэффициентытакого многочлена, имеет вид
Её определителемявляетсяопределитель Вандермонда
Он отличен от нуляпри всяких попарно различных значенияхxi, и интерполирование функцииfпо её значениям в узлахxiс помощью многочленаPn(x)всегда возможно и единственно.
3. Интерполяционный полином Лагранжа.
Полином Лагранжа имеет вид,
где ,i = 0, 1, …,n.
Имеем
, i k,
, i = 0, 1, …,n.
Поэтому Ln(xi) =li (xi).
Коэффициент ciнаходятся из равенстваLn(xi) =yi.
Из этого равенства следует .
С учетом этого имеем: .
Чтобы записать полином Ln(x) в более компактном виде, вводится обозначение.
Тогда (3)
4. Интерполяционный полином Ньютона.
Полином Ньютона имеет вид:
Коэффициенты находятся из равенствPn(xi) =yi=f(xi):
a0=y0,
= ,в числителе исправитьfнаy.
….
=
….
Здесь разделенная разность k-го порядка.
С учетом этого можно записать ,
В случае равноотстоящих узлов интерполяции, т.е. когда , имеем
(8)
где
конечная разность 1-го порядка.
= = 2-го порядка,
= = 3-го
…
конечная разность k-го порядка, k=2, 3, ...
Или
5. Оценка остаточного члена интерполяционного полинома.
Погрешность интерполяционного полинома определяется выражением.
В узлах интерполяции . В остальных точках.
Для получения формулы оценки погрешности предположим, что функция являетсяn+1 раз непрерывно дифференцируемой, и рассмотрим функцию(5)
Эта функция принимает в n+1 узлах интерполяцииxiнулевые значения (u(xi) = 0, т.к.Pn(xi) =f(xi),n(xi) = 0). Подберем коэффициентkтак, чтобы в некой точкефункцияu(x) также принимала нулевое значение:.(6)
Предположим, что . Тогда функцияпринимает нулевые значения на концах каждого из (n+1) интервала [], [],…,[],[],…,[]. Тогда согласно теореме (если непрерывно дифференцируемая функция на концах отрезка принимает одинаковые значения, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка, в которой производная равна нулю) первая производнаяимеет по крайней мереn+1 нулевое значение, вторая производнаяимеет по крайней мереnи, наконец, (n+1)-я производнаяимеет по крайней мере одно. Пусть. Продифференцируем выражение (5) (n+1) раз:
Подставив , получим
Отсюда (7)
Приравнивая правые части равенств (6) и (7), получим .
Учитывая, что произвольная точка из [a,b], то можно записать.
Введя обозначение , получим окончательно.
6. Численное интегрирование
Численное интегрирование является одним из методов вычисления определенного интеграла .
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразнаяf(x), то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница(1)
Однако зачастую первообразная f(x) неизвестна или является слишком сложной. В таких случаях, а также тогда, когда подынтегральная функцияf(x) задана таблично, и применяют численные методы.
Вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, а двойного –механической кубатурой. Соответствующие формулы называютсяквадратурными и кубатурными.
Обычный прием механической квадратуры заключается в том, что заданную таблично функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a,b] заменяют интерполирующей или другой аппроксимирующей функцией φ(x) простого вида (например, полиномом), а затем, с учетом того, чтоf(x) φ(x), приближенно полагают
. (2)
Обычно φ(x) такова, что интеграл в правой части (2) вычисляется непосредственно по формуле (1).