Лекция 8
.docПрямая и обратная задачи над вертикально намагниченным шаром.
1. Прямая задача. Пусть вертикально намагниченный шар с центром на глубине залегает под началом координат (рис. 2). Необходимо определить напряженность поля вдоль профиля х. Потенциал шара можно представить как потенциал диполя, помещенного в его центре. Поэтому, потенциал шара с магнитным моментом M = Jv (или магнитной массой m = M), равен:
(1)
Отсюда, взяв производные, найдем элементы магнитного поля шара:
(2)
(3)
(4)
Анализ этих формул и построенных по ним графиков показывает, что над центром шара (х = 0) будут Zmax = Tmax = 2Jv/μH3, а На = 0. При х → ∞ аномалии исчезают. При х = ±1,41Н Za = 0, при x < 1,41H Za >0, а при x > 1,41H Za <0.
Таким образом, в плане над шаром изолинии Za и Ta будут иметь вид концентрических окружностей. При этом изолинии Za будут двух знаков, а Ta - одного.
2. Обратная задача. Решение уравнений (2 - 4) дает возможность по характерным точкам на графиках определить глубину залегания центра шара Н.
Характерными точками для шара являются:
-
Абцисса (значение х) для минимального значения Za (хZmin);
-
Значение х для Za = 0 (xZ0);
-
Значение х для Za = 0.5Zmax (xZ1/2);
-
Значение х для Ta = 0.5Tmax (xT1/2);
H = 0.7| xZ0 | = 0.5| хZmin | = 1.8 | xZ1/2 | = 1.5 | xT1/2 |.
Знак абсолютной величины берется из-за того, что все графики над сферой симметричны относительно их экстремумов.
Зная Н можно вычислить магнитный момент шара: М = Jv = ZmaxμH3/2 = TmaxμH3/2 , а отсюда и радиус сферы.
Прямая и обратная задачи над намагниченным вертикальным бесконечно длинным столбом (стержнем).
Прямая задача. Пусть на глубине h залегает вершина бесконечно длинного столба (вертикального цилиндра или стержня) сечением s.
Его можно представить как тело одного полюса (m) с намагниченностью (J), направленной вдоль оси z, и "магнитной массой" m = Js. Так как нижний полюс столба расположен очень далеко, то его влиянием можно пренебречь и считать, что вся "магнитная масса" сосредоточена на вершине столба.
Необходимо найти напряженность поля вдоль профиля x над телом. Потенциал от верхнего полюса столба в точке P будет равен потенциалу точечной массы:
(5)
Составляющие поля выражаются производными потенциала по соответствующим осям координат:
(6)
(7)
(8)
Используя полученные формулы, можно построить графики напряженности поля. Легко видеть, что над столбом будут максимумы Ta и Za, а значения их будут одного знака, положительные при вертикальной J. Горизонтальная составляющая (H) слева будет иметь максимум, а справа - минимум. Вдалеке от столба аномалии исчезают. В плане над таким столбом изолинии Ta и Za будут иметь вид концентрических окружностей одного знака.
Обратная задача. Решение уравнений (6 - 8) дает возможность по характерным точкам на графиках определить глубину залегания верхней кромки вертикального бесконечно длинного столба (h). Так центр столба находится в точке, где x = 0, Zmax = Tmax = Js/μmh2.
Для характерной точки получаем: h = 1,3| xZ1/2 | = 1.3 | xT1/2 |. Зная h можно оценить величину магнитной массы: m = Zmaxμh2 = Tmaxμh2 = Js.
Так как J = æH, где æ - магнитная восприимчивость столба, то можно определить площадь поперечного сечения столба s.
Прямая и обратная задачи над вертикально намагниченным тонким пластом бесконечного простирания и глубины.
Пусть на глубине h параллельно оси y расположен бесконечно длинный вертикальный пласт (с толщиной l, меньшей глубины залегания), намагниченный вертикально.
Определим для простоты лишь Za вдоль оси x. Поскольку нижняя часть пласта расположена глубоко, то влияние магнитного полюса глубоких частей пласта будет мало, и можно считать, что магнитные массы сосредоточены вдоль поверхности в виде линейных полюсов. Магнитная масса единицы длины пласта равна dm/dy = Jl.
Разобьем пласт на множество тонких "столбов". Тогда притяжение пласта будет складываться из притяжения всех элементарных столбов, а вертикальная составляющая его магнитного притяжения будет равна интегралу в пределах от -∞ до +∞ (по оси y) выражения для притяжения элементарного столба. Потенциал элементарного тонкого столба равен
(9)
, а вертикальная составляющая dZa
(10)
откуда (11)
График Za будет иметь максимум над центром пласта и асимптотически стремиться к нулю при удалении от пласта. В плане над пластом будут вытянутые аномалии Za одного знака. Анализируя формулы (9 - 11), можно найти связи между глубиной залегания пласта (h) и x1/2, т.е. абсциссой графика: h = x1/2.
Магнитная масса единицы длины равна m = Jl = Zmaxμh/2, J = æH, отсюда можно рассчитать ширину пласта.
Прямая и обратная задачи для вертикально намагниченного горизонтального цилиндра бесконечного простирания.
Пусть на глубине H параллельно оси y расположен бесконечно длинный цилиндр с магнитным моментом единицы длины, равным M = Js, где J - интенсивность намагничивания, постоянная для всего цилиндра и направленная вертикально, s - поперечное сечение цилиндра.
Требуется определить напряженность поля вдоль оси . Поле такого цилиндра можно считать эквивалентным полю бесконечного числа вертикальных магнитных диполей, центры которых расположены по оси цилиндра. Потенциал в точке P от элементарного диполя определяется согласно уравнению:
(12)
где . Потенциал всего цилиндра равен потенциалу от системы диполей, расположенных вдоль оси бесконечного цилиндра, или интегралу по объему цилиндра от выражения для потенциала элементарного диполя.
(13)
Легко видеть, что при х = 0 будет максимум Za, а при х = Н Za = 0. При х > 0 значения Za будут отрицательны, а при х < H – положительны. В плане над горизонтальным цилиндром будут вытянутые аномалии двух знаков.
При решении обратной задачи глубину залегания цилиндра можно определить по формулам: H = | x0 | = 0.7| хmin |, где x0 и хmin абциссы точек, в которых Za = 0 и Za = Zmax. Зная Н можно нацти погонную магнитную массу цилиндра M = ZmaxH2/2, откуда рассчитывается площадь сечения цилиндра.