Лекция 3 Принципы решения прямых и обратных задач гравиразведки
-
Аналитические способы решения прямых задач гравиразведки
-
Прямая и обратная задачи над шаром
-
Прямая и обратная задачи над горизонтальным бесконечно длинным круговым цилиндром
-
Прямая и обратная задача над вертикальным уступом (сбросом)
-
Графическое определение аномалии силы тяжести двухмерных тел с помощью палетки Гамбурцева
-
Плотность горных пород
Аналитические способы решения прямых задач гравиразведки
Аномалия силы тяжести, вызванная притяжением тел известной формы, размера и плотности, может быть вычислена на основании закона всемирного притяжения (закон Ньютона).
Пусть в координатной системе xyz ось z направлена вниз к центру Земли. Ставится задача определить в точке наблюдения А(x,y,z) аномальную силу тяжести (Δg), т.е. вертикальную составляющую силы притяжения Землей единицы массы (mA = 1 ) элементарной массой dm, находящейся в точке M (x',y',z').
По закону Ньютона притяжение единичной массы равно:
(1)
где: f – гравитационная постоянная, r – расстояние между точками А и М.
Аномалия Δg является проекцией вектора F на ось z:
(2)
потому, что из треугольника АВМ cosα = (z’ – z)/r.
Это же выражение можно получить с помощью потенциала W=fdm/r. Т.к. Δg = - ∂W/∂z, а r = [(x’-x)2+(y’-y)2+(z’-z)2]1/2. Следовательно,
Δg = - ∂(fdmr -1)/∂z = fdmr -2*(∂r/∂z) = - fdmr -2*(1/2r)*(∂[(z’-z)2]/∂z) =
- fdmr -2*(1/2r)*2(z’-z)*[∂(-z)/∂z] = fdm*(z’-z) / r3.
Обозначив плотность притягивающей массы через σ, а ее объем черех dV, можно записать:
(3)
Такова будет аномалия силы тяжести, обусловленная массой, расположенной в пустоте. В природных условиях аномальные включения расположены во вмещающей среде с некоторой плотностью σ0, поэтому под массой dm надо понимать избыточную массу dm = (σ – σ0)dV. Отсюда:
(4)
где (σ – σ0) = Δσ – избыточная плотность. При σ > σ0 Δg имеет положительный знак, т.е. наблюдается увеличение притяжения и положительные аномалии Δg. При σ < σ0 Δg имеет отрицательный знак, т.е. наблюдается уменьшение притяжения и отрицательные аномалии Δg. При σ = σ0 аномалия Δg отсутствует.
В принципе аномалия, созданная любым телом, может быть определена интегралом по объему тела: (5)
т.е. суммой притяжений всех элементарных объемов, из которых состоит тело.
Прямая и обратная задачи над шаром.
1. Прямая задача. Пусть однородный шар радиуса a и плотности σ расположен на глубине h в среде с плотностью σ0 (для простоты центр шара находится на оси z, а наблюдения проводятся по оси x в точке P).
Формула для вычисления g может быть получена из (4) путем замены элемента dm массой шара в силу того, что притяжение однородным шаром происходит так, как если бы вся масса была сосредоточена в центре шара. Учтя, что x'=y'=0, z'=h, y=z=0, получим для шара:
(6)
График Δg будет иметь максимум над шаром (x=0) и асимптотически стремиться к нулю при удалении от шара. В плане изолинии Δg будут иметь вид концентрических окружностей.
Вторая производная (градиент аномалии по профилю наблюдений) равна:
(7)
Вид кривой Wxz может быть легко получен путем графического построения из кривой Δg. График Wxz имеет перед шаром максимум, за шаром - минимум, над центром шара - ноль.
2. Обратная задача. Из (6) максимум Δg над центром шара (x=0) равен
(8)
Для точки, удаленной от максимума на расстояние x1/2, имеющей Δg1/2 = 0.5* Δgmax, можно записать следующее уравнение:
или (9)
Решив последнее уравнение, получим формулу для определения глубины залегания центра шара h=1,3x1/2. Зная h, легко найти избыточную массу (M): M = Δg maxh2/f. Так как M = V(σ – σ0) = (4/3)*πa3*( σ – σ0) то, зная избыточную плотность σ – σ0), можно рассчитать объем (V) и радиус шара (a). Так, радиус равен:
(10)
где Δg max- в миллигалах, h - в метрах, σ – σ0) - в т / м3 (г/см3).
Прямая и обратная задачи над горизонтальным бесконечно длинным круговым цилиндром.
1.Прямая задача. Рассмотрим бесконечно длинный круговой горизонтальный цилиндр радиуса R, расположенный вдоль оси y. Ось наблюдений ( x) направим вкрест простирания цилиндра.
Притяжение однородным цилиндром происходит так же, как если бы вся его масса была сосредоточена вдоль вещественной линии, расположенной вдоль оси цилиндра, с массой единицы длины, равной λ = dm/dy = πR2(σ – σ0). Используя (5), можно получить формулы для Δg и Wxz:
(11)
(12)
Графики Δg и Wxz над цилиндром и шаром внешне похожи. В плане изолинии Δg над цилиндром будут вытянутыми параллельными линиями.
2. Обратная задача. Из (11) можно при х=0 получить Δg max = 2fλ/h. Отсюда
(13)
и h2 = x21/2, h = x1/2, т.е. глубина залегания цилиндра равна расстоянию от точки максимума Δg max до точки, где Δg = Δg max/2.
Определив h и зная избыточную плотность, можно рассчитать
(14)
и радиус цилиндра:
(15)
Зная R, можно получить глубины залегания верхней hB = h - R и нижней hн = h+R кромок цилиндра. Нетрудно вычислить выражение и для Wxz.
Прямая и обратная задача над вертикальным уступом (сбросом).
1. Прямая задача. Пусть вертикальный уступ (сброс) простирается бесконечно вдоль оси y.
Наблюдения производятся вдоль оси x, ( y=z=0), расположенной вкрест простирания сброса. Если глубина до кровли z1 и z2 , а амплитуда уступа h, то, согласно (5), значения Δg в каждой точке по оси х будут описываться следующим выражением:
(16)
где координаты с индексом относятся к точкам наблюдения, а координаты без индекса – к уступу.
В общем случае выражение интеграла имеет громоздкий вид. В частности, полная максимальная аномалия над уступом (разность силы тяжести между поднятым и опущенным крылом) определится следующей формулой:
(х = ∞) (17а)
Δg = 0 (х = -∞) (17б)
(х = 0) (17в)
2. Обратная задача. Из (17а) можно определить
В теории гравиразведки доказано, что примерная глубина расположения середины высоты уступа H = (z2 + z1)/2 равна x1/2, т.е. абсциссе точки, в которой Δg1/2 = Δg0/2 = Δgmax/4, где Δg0 - аномалия над уступом, а Δg max - полная аномалия. Практически для определения H на кривой Δg находится местоположение сброса (Δg0) и в масштабе профиля рассчитывается x1/2 - расстояние от сброса до точки, в которой Δg = Δg0/2. Зная H и h, легко определить глубины до приподнятого (z1 = H – h/2) и опущенного (z2 = H + h/2) крыла.