Комплексные числа
.docxКомплексные числа. Формы записи комплексного числа. Действия с комплексными числами
Определение. Комплексным числом называется пара действительных чисел , записанных в определенном порядке: . Одним из его обозначений служит запись вида , (1) Рисунок 1 называемая алгебраической формой записи комплексного числа . B записи (1) называется действительной, - мнимой частями комплексного числа (употребляется также обозначения , ); называется "мнимой единицей". Для геометрического изображения комплексного числа вводят на плоскости прямоугольную декартову систему координат ; ось называется действительной осью, – мнимой, плоскость – комплексной плоскостью . Комплексному числу можно поставить в соответствие точку плоскости , либо вектор – и точка и вектор служат геометрическим изображением комплексного числа , (см. рисунок 1). Модуль вектора называется модулем комплексного числа ; он определяется по формуле . (2) Угол между действительной осью и вектором называется аргументом комплексного числа : . Значение , заключенное в промежутке , называется главным значением аргумента и обозначается: . (3) Следовательно, . () Главное значение аргумента комплексного числа можно определить по формуле: (4) Определение. Запись вида (5) называется – тригонометрической формой записи комплексного числа . Замечание. Комплексное число записывается также в показательной форме . () Для сравнения комплексных чисел и вводится лишь операция равенства: комплексные числа и равны если равны соответственно их действительные и мнимые части: , . Равенство чисел, записанных в тригонометрической форме, формулируется следующим образом: , если модули их равны: , а аргументы связаны соотношением (6) Рисунок 2 (следует обратить внимание на то, что здесь сравниваются не элементы множества, а сами бесконечные множества). Определение. Два комплексных числа и называются комплексно-сопряженными числами. Для этого употребляют обозначение и (см. рисунок 2). ^ 1.2 Действия над комплексными числами Действия сложения и вычитания над комплексными числами определяются геометрически, т.е. как соответствующие действия над векторами (см. рисунок 3) и, следовательно, выполняются по формулам: , (7) (8) – чтобы, например, сложить два комплексных числа, нужно сложить отдельно действительные и мнимые части. Получившиеся суммы будут соответственно действительной и мнимой частями суммы чисел. Рисунок 3 Из формул (7) и (8) находим (9) Под произведением комплексных чисел и (обозначается ) понимается комплексное число , равное . (10) Деление комплексных чисел и определяется через действие умножения и может быть проведено по формуле . (11) Так как по формуле (10) , то деление удобно выполнять по следующей формуле: () Введенные таким образом операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются известным пяти законам арифметики: 1) – коммунитативность сложения; 2) – ассоциативность сложения; 3) – коммунитативность умножения; 4) – ассоциативность умножения; 5) – дистрибутивность умножения относительно сложения. Формула (10) "раскрывает смысл" "мнимой единицы" . Таким образом, умножение комплексных чисел производится по обычным правилам алгебры с заменой на .