(Лекция 3 - Алгебра) Определитель матрицы
.pdf1Определитель матрицы
Если матрица квадратная, то число строк этой матрицы называется порядком этой матрицы. Множество квадратных матриц одного порядка замкнуто относительно операций сложения и умножения, в нем существую нейтральные элементы по сложению и умножению. Остается открытым вопрос о существовании к данному элементу обратного по умножению.
1.1Перестановки и подстановки
Определение 1 Перестановкой чисел 1; :::; n называется запись этих чисел в произвольном порядке i1; i2; :::; in: Две перестановки чисел 1; :::; n называются равными. если в них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.
Всего сущестуют n! различных перестановок из n чисел.
Определение 2 Пара чисел ik; ij в перестановке образует инверсию, если при k < j имеет место неравенство ik > ij: Четность числа инверсий в перестановке называется четностью этой перестановки.
Определение 3 Транспозицией в перестановке называется замена местами двух элементов этой перестановки.
Теорема Любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.
1.2Подстановки
Определение 4 Подстановкой из n чисел называется взаимно однозначное отображение f множества из первых n натуральных чисел на себя.
Подстановка задается таблицей, где верхняя строка состоит из аргументов, а нижняя из значений функции.
( f(1) |
f(2) |
::: |
f(n) |
) = |
( i1 |
i2 |
::: |
in |
) |
1 |
2 |
::: |
n |
|
1 |
2 |
::: |
n |
|
В нижней строке таблицы стоит перестановка из n чисел, поэтому число различных подстановок также равно n!: Из определения следует, что меняя местами столбцы
в таблице, не меняем подстановку. Подстановка называется четной, если обе строки таблицы имеют одинаковую четность, и нечетной иначе. Поскольку транспозиция столбцов таблицы сводится к одновременной транспозиции в обеих стоках таблицы, значение четности подстановки не зависит от выбора таблицы.
1.3Определитель
Определение 5 Определителем матрицы A порядка n называется число
∑
det(A) = jAj = A[1ji1]A[2ji2] A[njin];
где суммирование ведется по всем перестановкам из n чисел, а каждое слагаемое берется со знаком плюс или минус в зависимости от четности перестановки.
Переставляя сомножители в каждом слагаемом, получим эквивалентную формулу. Запишем определитель в виде
∑
jAj = A[k1jj1]A[k2jj2] A[knjjn];
где суммирование ведется по всем подстановкам, а знак определяется четностью подстановки.
Из определения следует, что в каждом слагаемом присутствуют представители каждой строки и каждого столбца матрицы. Далее,
det(a11) = a11; |
|
a21 |
a22 |
|
= a11a22 a12a21 |
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4Свойства определителя
1.jAj = jAT j: Из данного свойства вытекает, что все утверждения, сформулиро-
ванные для строк, справедливы и для столбцов.
2.Если одна строка матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю
3.Если строку матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число
4.Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель поменяет знак на противоположный.
5.Определитель матрицы с равными строками равен нулю
6.Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю
7.Åñëè A[ij ] = A′[ij ] + A′′[ij ]; òî
|
A[1j ] |
|
|
|
A[1j ] |
|
|
|
A[1j ] |
|
|
A[i ] |
|
= |
|
A′[i ] |
|
+ |
|
A′′[i ] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
:::::: |
|
|
|
:::::: |
|
|
|
:::::: |
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
A[n ] |
|
|
|
A[n ] |
|
|
|
A[n ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
::::: |
|
|
|
::::: |
|
|
|
::::: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|