lekcia_08_sam
.pdfВолновые процессы. Основные понятия.
Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной.
Основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.
Волны делятся:
-волны на поверхности жидкости;
-упругие волны;
-электромагнитные волны.
Упругие волны – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.
Бывают продольные и поперечные.
В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т.е. в твердых, жидких и газообразных средах.
Лекция 08. Колебания и упругие волны |
18 |
|
В поперечных волнах частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в
твердых телах.
Таким образом, в жидкостях и газах могут возникать только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.
Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.
Рассмотрим гармоническую поперечную волну, распространяющуюся со скоростью v вдоль оси х.
Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны .
Это расстояние, проходимое волной за период Т.
λ v T или |
v λ T |
Лекция 08. Колебания и упругие волны |
19 |
|
Геометрическое место точек, до которого доходят колебания к моменту времени t
называется волновым фронтом.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называют
волновой поверхностью.
По форме волнового фронта волны классифицируются на плоские и сферические.
Бегущими называются волны, переносящие в пространстве энергию.
Перенос энергии волной характеризуется вектором плотности потока энергии (вектор Умова-Пойтинга).
Его направление совпадает с направлением переноса энергии, а модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
Рассмотрим плоскую поперечную гарм-ю волну, распространяющуюся вдоль оси х.
Колебания в плоскости х=0 описываются уравнением: y 0,t Acosωt
Тогда точка А колеблется по тому же закону, но с отставанием по фазе, т.е. для прохождения волной расстояния х нужно время: xv
Тогда уравнение бегущей волны:
y x,t Acosω t -xv
Лекция 08. Колебания и упругие волны |
20 |
|
Если волна распространяется в противоположном направлении, то ее уравнение:
y x,t Acosω t xv
В общем случае уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль оси х:
y x,t Acos ω t xv 0
А – амплитуда волны; - циклическая частота; 0 – начальная фаза волны.
Волна характеризуется волновым числом: k 2 2 ω
|
|
λ |
vT |
v |
|
|
|
|||
Тогда уравнение волны: y x,t Acos ωt kx 0 |
|
|
|
|
|
|||||
Пусть при волновом процессе фаза волны константа: |
|
x |
0 const |
|||||||
ω t |
|
|
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|||
Продифференцируем фазу по времени: dt |
1 |
dx 0; |
|
dx |
v; |
v |
ω |
|
||
|
|
k |
||||||||
|
v |
|
dt |
|
|
|
Скорость распространения волны v есть скорость перемещения фазы волны или фазовая скорость. Если v зависит от частоты волны, то имеется дисперсия волн.
Уравнение сферической волны: y r,t Acos ωt kr 0
r
где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.
В сферической волне даже без поглощения энергия убывает с расстоянием пропорционально 1/r.
Лекция 08. Колебания и упругие волны |
21 |
|
Принцип суперпозиции волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие отсутствуют.
Результирующее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из волновых процессов.
Следствие: любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т.е. в виде волнового пакета или группы волн.
Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.
Рассмотрим простейший волновой пакет из двух гармонических волн с одинаковой амплитудой, близкими частотами и волновыми числами. dω ω dk k
Для такого пакета можно записать общее уравнение колебания:
|
tdω xdk |
|||
2A |
0 cos |
|
cos ωt kx |
|
2 |
||||
|
|
|
Лекция 08. Колебания и упругие волны |
22 |
|
Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно меняющаяся функция от координаты и времени:
tdω xdk A 2A0 cos 2
За скорость распространения волнового пакета принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны.
Из условия, что фаза амплитуды пакета равна константе найдем групповую скорость:
tdω-xdk const; |
dx |
|
dω |
u |
dt |
|
|||
|
|
dk |
Связь между фазовой и групповой скоростью:
u v- dv d
Групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой в зависимости
от знака |
dv dλ |
|
В недиспергирующей среде dv dλ 0 и |
u v |
Групповая скорость используется в эхо – и радиолокации, радиосвязи. Групповая скорость меньше скорости света в данной среде.
Для фазовой скорости таких ограничений не существует.
Лекция 08. Колебания и упругие волны |
23 |
|
Интерференция волн.
Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов называют когерентностью.
Волны называются когерентными, если разность фаз между ними остается постоянной во времени.
Интерференция: при наложении в пространстве двух или нескольких когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами исходных волн.
Рассмотрим сложение двух когерентных сферических волн от точечных источников S1 и S2, колеблющихся с одинаковой амплитудой и частотой.
1 A0 cos ωt kr1 1 r1
2 A0 cos ωt kr2 2 r2
где r1 и r2 – расстояния от источников до точки В.
Лекция 08. Колебания и упругие волны |
24 |
|
Амплитуда результирующей волны:
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A2 |
A2 |
|
|
|
|
|
|
cos k r |
r |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
r2 |
|
r r |
1 |
2 |
1 |
|
||
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
Поскольку 1- 2=const то амплитуда зависит от r1 - r2=Δ, называемой разностью хода.
В точках, где: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k r1 r2 1 2 2πm, |
где |
m 0,1,2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
наблюдается интерференционный максимум |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
с амплитудой |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Amax A0 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
В точках, где: |
k r r |
2 |
2m 1 , где |
m 0,1,2 |
|
|
||||||||
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
наблюдается интерференционный минимум с амплитудой |
Amin A0 |
|
|
|
|
|
||||||||
r |
r |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
число m называют порядком интерференционного максимума или минимума.
Частным случаем интерференции является образование стоячих волн.
Лекция 08. Колебания и упругие волны |
25 |
|
Стоячие волны
Стоячая волна образуется при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами, амплитудами, а для поперечных волн и поляризациями.
Пусть две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси x в среде без затухания, амплитуда и частота волн одинакова.
Выберем начало отсчета чтобы 1 = 2 = 0. Тогда уравнение волн:
1 Acos ωt -kx ; |
2 Acos ωt kx |
2 x
Сложим эти колебания: 1 2 2Acoskx cosωt 2Acos cosωt
В каждой точке волны происходят колебания с частотой и амплитудой, зависящей
от ее координаты х:
2ππ Aст 2Acos λ
В точках среды, где:
2ππ |
|
mπ |
m 0,1,2.... |
Aст 2A |
||
λ |
||||||
|
|
|
|
|
||
2ππ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
m |
|
π m 0,1, 2... Aст 0 |
||
λ |
|
2 |
||||
|
|
|
|
Лекция 08. Колебания и упругие волны |
26 |
|
Точки, где Aст = 2А называются пучностями стоячей волны; где Аст=0 – узлами.
Координаты пучностей |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m 0,1, 2... |
|
|
x |
m |
|
; x |
|
m |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
||||||
и узлов: |
пучн |
|
|
узл |
|
|
|
Расстояние между соседними узлами или пучностями /2. Длина стоячей волны б/2 В бегущей волне все точки волны колеблются с одинаковой амплитудой и с
запаздыванием по фазе.
В стоячей волне все точки колеблются с разной амплитудой и одинаковой фазой.
Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волны.
В месте отражения в зависимости от соотношения плотностей сред на границе раздела либо узел, либо пучность.
Если ρ1< ρ2 то наблюдается узел Если ρ1 > ρ2 то наблюдается пучность
Стоячая волна энергию не переносит!
Пример 1: стоячие волны в струне. Приведены различные обертоны (n).
Лекция 08. Колебания и упругие волны |
27 |
|