ангем)2 часть.игудесман

(	2x 3y + z 4		=	0	è	(	2x y	¡ z =	0 :
3)	x + 2y ¡ z + 1		=	0			x + y + z 9 =		0
	¡	¡					¡	¡

5 Аффинные векторные пространства

Линейным подпространством векторного пространства V называется непустое множество L векторов из V, обладающее следующими свойствами:

1)сумма x + y двух любых векторов из L снова принадлежит L;

2)произведение ®x любого вектора из L на любое число ® снова принадлежит L.

Аффинным подпространством векторного пространства V называется совокупность P векторов из V, полученная прибавлением ко всем векторам какого-нибудь подпространства L èç V одного и того

же вектора x0. Эта связь L è P будет обозначаться так: P = L + x0 èëè L = P ¡ x0. Мы будем говорить, что аффинное подпространство P получено из линейного подпространства L параллельным сдвигом

на вектор x0.

Размерностью аффинного подпространства называется размерность того линейного подпространства, параллельным сдвигом которого оно получено. Одномерные линейные подпространства будут называться прямыми, а двумерные плоскостями.

Суммой двух линейных подпространств L1 è L2 векторного про- странства V называется совокупность S = L1 + L2 всех векторов из V, каждый из которых представляется в виде x = x1 +x2, ãäå x1 2 L1 è x2 2 L2.

Пересечением двух линейных подпространств L1 è L2 векторного
èç V, каждый из которых принадлежит как L1,	T	L2.
пространства V называется совокупность D = L1		L2 всех векторов

òàê è

21

ЗАДАЧИ

79. Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпространства L пространства Rn, åñëè L задано уравнением x1 +x2 +: : :+

xn = 0.

80. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующую систему векторов: a1 = f1; 0; 0; ¡1g; a2 =

f2; 1; 1; 0g; a3 = f1; 1; 1; 1g; a4 = f1; 2; 3; 4g; a5 = f0; 1; 2; 3g.

81. Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов:

a1 = f1; ¡1; 1; 0g; a2 = f1; 1; 0; 1g; a3 = f2; 0; 1; 1g.

82. Найти базис суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на системы векторов

a1 = f1; 1; 0; 0g; a2 = f0; 1; 1; 0g; a3 = f0; 0; 1; 1g; b1 = f1; 0; 1; 0g; b2 = f0; 2; 1; 1g; b3 = f1; 2; 1; 2g.

83. Найти точку пересечения двух прямых a0 + a1t è b0 + b1t:

a0 = f2; 1; 1; 3; ¡3g; a1 = f2; 3; 1; 1; ¡1g; b0 = f1; 1; 2; 1; 2g; b1 = f1; 2; 1; 0; 1g.

84. Доказать, что точки A(2; 1; ¡2; 0); B(1; ¡3; ¡3; 1); C(4; 9; 0; ¡2)

принадлежат одной прямой.

85. Даны три точки A(1; ¡1; 4; ¡2); B(0; 3; ¡4; 3); C(2; 1; 0; ¡1),

не принадлежащие одной прямой, и еще три точки A1(0; 1; ¡1; 3); B1(¡6; ¡1; ¡2; ¡3); C1(¡4; 0; ¡1; 0), также не принадлежащие одной прямой. Найти координаты точки пересечения плоскостей (ABC) è

(A1B1C1).

86. Доказать, что плоскость (ABC) параллельна плоскости (A1B1C1):

A(2; ¡1; 0; 4), B(¡1; 2; 0; 3), C(3; 0; 1; 1); A1(1; 1; 1; 1), B1(8; ¡4; ¡4; 6), C1(¡3; 3; 3; 0).

87. Прямая m проходит через точку M(10; 3; ¡9; ¡13) и пересекает данную прямую (AB) и данную плоскость Π2. Вычислить координаты

22

точек m T(AB) è m TΠ2, åñëè A(¡1; 0; 2; 3), B(2; 1; ¡1; 0),

(

x1 + x2 ¡ x3 = 0 Π2 : 2x2 + 2x3 ¡ x4 + 3 = 0 :

88. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующую систему векторов:

a1 = f1; 1; 1; 1; 0g; a2 = f1; 1; ¡1; ¡1; ¡1g; a3 = f2; 2; 0; 0; ¡1g; a4 = f1; 1; 5; 5; 2g; a5 = f1; ¡1; ¡1; 0; 0g.

89. Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов:

a1 = f1; ¡1; 1; ¡1; 1g; a2 = f1; 1; 0; 0; 3g; a3 = f3; 1; 1; ¡1; 7g; a4 = f0; 2; ¡1; 1; 2g.

90. Найти базис суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на системы векторов

a1 = f1; 2; 1; ¡2g; a2 = f2; 3; 1; 0g; a3 = f1; 2; 2; ¡3g; b1 = f1; 1; 1; 1g; b2 = f1; 0; 1; ¡1g; b3 = f1; 3; 0; ¡4g.

91. Доказать, что пространство Rn есть прямая сумма двух линей- ных подпространств: L1, заданного уравнением x1 + x2 + : : : + xn = 0,

èL2, заданного системой уравнений x1 = x2 = : : : = xn.

92.Найти точку пересечения двух прямых a0 + a1t è b0 + b1t:

a0 = f3; 1; 2; 1; 3g; a1 = f1; 0; 1; 1; 2g;

b0 = f2; 2; ¡1; ¡1; ¡2g; b1 = f2; 1; 0; 1; 1g.

93. Доказать, что точки A(0; ¡3; 0; 2); B(1; 1; ¡1; ¡2); C(¡1; ¡7; 1; 6)

принадлежат одной прямой.

94. Доказать, что плоскость (ABC) параллельна плоскости (A1B1C1):

A(1; 2; 0; ¡1), B(2; 1; ¡1; 0), C(0; 3; ¡4; 1); A1(2; 0; 1; ¡3), B1(2; 0; 11; ¡9), C1(3; ¡1; ¡5; 1).

95.Найти пересечение гиперплоскости Π è ëó÷à [AM):

1)Π : 3x1 + 2x2 + x3 ¡ 2x4 + 4 = 0,

23

[AM) : x1 = 1 + t; x2 = ¡1 ¡ 2t; x3 = 3t; x4 = 2 + t; t ¸ 0;

2) Π : x1 ¡ 2x2 + x3 + x4 ¡ 13 = 0,

[AM) : x1 = t; x2 = 1 ¡ t; x3 = 2 + t; x4 = ¡1 + 3t; t ¸ 0.

96. Доказать, что плоскости Π2 è Π20

пространства P4, заданные в

репере (O; ei) (i = 1; 2; 3; 4) уравнениями:

Π2 : ( 3x2¡+32x3¡ 2x4

+ 4

=

0 ;

Π20 :

( 2x1 + x2¡

3x3

1 =

0 ;

x1

x2

x3

3

=

0

x1 + x2

3x3 + x4

=

0

¡

¡

¡

¡

пересекаются по прямой, и найти уравнения этой прямой.

6 Евклидовы векторные пространства

Евклидовым пространством En называется n-мерное векторное пространство в котором каждой паре векторов x; y поставлено в соответствие вещественное число (x; y), называемое скалярным произведени-

ем этих векторов, причем выполнены следующие условия:

1) (x; y) = (y; x);

2) (x1 + x2; y) = (x1; y) + (x2; y); 3) (®x; y) = ®(x; y);

4)åñëè x 6= 0, òî (x; x) > 0.

Базис (или вообще система векторов) e1; e2; : : : ; en называется ор-

тонормированным, если (

(ei; ej) =

1;

0;

åñëè

åñëè

i = j; i 6= j:

Если нет других указаний, то координаты всех векторов предполагаются взятыми в ортонормированном базисе.

Векторы x è y называются ортогональными, если (x; y) = 0. Ортогональным дополнением подпространства L пространства En

называется совокупность L¤ всех векторов из En, каждый из которых ортогонален ко всем векторам из L.

24

Определителем Грама векторов a1; a2; : : : ; ap евклидова простран-

ñòâà En называется определитель						¯
	¯	(a1; a1) (a1; a2) : : : (a1; ap)
g(a1; : : : ; ap) =	¯	(a2; a1) (a2; a2) : : : (a2; ap)				¯	:
	¯	: : :	: : :	: : :	: : :	¯
	¯					¯
	¯					¯
	¯	(ap; a1) (ap; a2) : : : (ap; ap)				¯
	¯					¯
	¯					¯
	¯					¯
	¯					¯
	¯					¯

Определитель Грама векторов a1; a2; : : : ; ap равен квадрату p-мерного объема параллепипеда, построенного на этих векторах.

ЗАДАЧИ

97. Найти базис ортогонального дополнения L¤ подпространства L, натянутого на векторы a1 = (1; 0; 2; 1); a2 = (2; 1; 2; 3); a3 =

(0; 1; ¡2; 1).

98. Найти ортогональную проекцию y и ортогональную составляющую z вектора x = (4; ¡1; ¡3; 4) на линейное подпространство L, íà-

тянутое на векторы a1 = (1; 1; 1; 1); a2 = (1; 2; 2; ¡1); a3 = (1; 0; 0; 3).

99. Найти угол между вектором x = (2; 2; 1; 1) и линейным подпространством L, натянутым на векторы a1 = (3; 4; ¡4; ¡1); a2 =

(0; 1; ¡1; 2).

100. Вычислить координаты ортогональной проекции M1 точки M(1; 1; 1; ¡1) на гиперплоскость Π : x1 + x2 ¡ 2x3 + x4 ¡ 1 = 0.

101.Вычислить расстояние от точки A(1; ¡1; 2; 1) до гиперплос-

кости Π : x1 + 3x2 ¡ x3 ¡ x4 + 2 = 0.

102.Вычислить координаты ортогональной проекции M1 точки

M(1; ¡2; 3; ¡1) на прямую

x1 = ¸ ¡ 2; x2 = ¡¸ + 2; x3 = 2¸ + 1; x4 = ¡3¸ :

103. Вычислить расстояние от точки A(1; 1; ¡2; 1) до прямой l:

x1 = ¸; x2 = ¡¸ + 1; x3 = ¸ + 2; x4 = 2¸ ¡ 1 :

25

104. Написать уравнения общего перпендикуляра прямой (AB) и плоскости (P QR):

1) A(1; 1; 1; 1); B(¡2; ¡1; 1; 3); P (2; 1; ¡1; 0); Q(3; 1; 0; ¡1); R(0; 0; ¡1; 1); 2) A(0; 0; 1; 1); B(2; ¡1; 0; 0); P (3; 1; 0; ¡2); Q(¡2; 0; ¡1; 3); R(1; 1; 1; ¡1).

105. Линейное подпространство L задано уравнениями:

8

>>< 2x1 + x2 + 3x3 ¡ x4 = 0

>

3x1 + 2x2 ¡ 2x4 = 0

>

: 3x1 + x2 + 9x3 ¡ x4 = 0 :

Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение L¤.

106. Найти ортогональную проекцию y и ортогональную составляющую z вектора x = (5; 2; ¡2; 2) на линейное подпространство L, íà-

тянутое на векторы a1 = (2; 1; 1; ¡1); a2 = (1; 1; 3; 0); a3 = (1; 2; 8; 1).

107. Найти угол между вектором x = (1; 0; 3; 0) и линейным подпространством L, натянутым на векторы a1 = (5; 3; 4; ¡3); a2 =

(1; 1; 4; 5); a3 = (2; ¡1; 1; 2).

108. Вычислить координаты ортогональной проекции M1 точки M(0; ¡1; 2; 1) на гиперплоскость Π : 2x1 + x2 + x4 ¡ 3 = 0.

109.Вычислить расстояние от точки A(2; 3; ¡1; 4) до гиперплос-

кости Π : x1 ¡ x2 + 2x3 + x4 + 1 = 0.

110.Вычислить координаты ортогональной проекции M1 точки

M(2; ¡1; 3; 1) на плоскость

(

x1 + x2 + x3 ¡ x4 + 1 = 0 2x1 + x2 ¡ 2x3 + x4 + 2 = 0 :

111. Вычислить расстояние от точки A(3; 1; ¡1; 1) до прямой l:

x1 = ¡¸; x2 = ¸ + 2; x3 = ¡¸ + 1; x4 = 2¸ :

112. Вычислить расстояние от точки A до плоскости Π2:

26

1) A(2; 3; ¡1; 1);	Π2	:	( ¡x1			+ 2x2¡+ x3 ¡ 1 = 0 ;
				x1		+ x2	x3 + x4 = 0
2) A(3; ¡1; 1; 0);	Π2	:	(	x1	+ 22x1		+ 1 =	0 :
						x2 + x4 =		0

¡

7 Аффинные преобразования

Аффинным преобразованием плоскости называется такое преобразование, при котором каждой точке M(x; y) плоскости, заданной отно-

сительно аффинной системы координат, ставится в соответствие точ- ка M0(x0; y0), координаты которой являются линейными функциями

координат точки M:

x0	= a11x + a12y + a1
( y0	= a21x + a22y + a2 ;

причем определитель	¯			¯
		a11	a12
	¯			¯	6= 0 :
	¯	a21	a22	¯
	¯			¯
	¯			¯

Параметры, входящие в данное соотношение, имеют следующий геометрический смысл: точка O0(a1; a2) образ начала координат;

вектор e01 = fa11; a12g образ базисного вектора e1 = f1; 0g îñè Ox; e02 = fa11; a12g образ базисного вектора e2 = f0; 1g îñè Oy.

Аффинное преобразование взаимно-однозначно, сохраняет коллинеарность трех точек (т.е. принадлежность трех точек одной прямой), параллельность двух прямых, простое отношение трех точек и отношение площадей.

Всякое взаимно-однозначное преобразование множества всех точек плоскости, сохраняющее коллинеарность трех любых точек, будет аффинным преобразованием.

27

ЗАДАЧИ

113. Аффинное преобразование переводит точки A(2; 1), B(3; 0), C(1; 4) соответственно в точки A0(1; 6); B0(1; 9); C0(3; 1). Куда перейдет при этом преобразовании точка M(5; 7)? Какая точка останется неподвижной?

114. Дано аффинное преобразование

(

x0 = 2x + 3y + 5 y0 = 4x ¡ 3y ¡ 2 :

В какие прямые перейдут при этом преобразовании 1) оси Ox è Oy;

2) прямые 2x + 3y + 5 = 0; 4x ¡ 3y ¡ 2 = 0;

3) прямая 2x ¡ 6y ¡ 7 = 0.

115. Определить двойные прямые аффинного преобразования

(

x0 = 7x ¡ y + 1 y0 = 4x + 2y + 4 :

116. Как запишется аффинное преобразование

(

x0 = x + 2y y0 = 4x + 3y ;

если за новые оси аффинной системы координат принять двойные прямые данного преобразования.

117. Найти аффинное преобразование, обратное преобразованию

(

x0 = 2x + 3y ¡ 7 y0 = 3x + 5y ¡ 9 :

118. Даны два аффинных преобразования A è B.

A :	( y0	= 3x y + 7 ;			B :	( y0	= x + 2y + 5 :
	x0	= 2x + y	¡	5		x0	= x	¡	y + 4
		¡					¡

Найти преобразования AB è BA.

28

119.Доказать, что площадь треугольника, сторонами которого являются два сопряженных полудиаметра эллипса и хорда, соединяющая их концы, есть величина постоянная.

120.Вычислить площадь эллипса с полуосями a è b.

121.Определить вид и расположение линии второго порядка x2 ¡

4xy +y2 ¡4x+2y ¡2 = 0, пользуясь приведением многочлена к сумме квадратов методом Лагранжа.

122.Доказать, что при любом аффинном преобразовании плоскости, отличном от подобия, через каждую точку плоскости проходит единственная пара перпендикулярных прямых, переходящих в перпендикулярные прямые.

123.Определить аффинное преобразование, которое три данные

точки A1(1; 0), A2(0; 2), A3(¡3; 0) переводит соответственно в точки

A01(2; 3); A02(¡1; 4); A03(¡2; ¡1).

124. Определить двойную точку аффинного преобразования

(

x0 = 4x + 5y ¡ 11 y0 = 2x + 4y ¡ 7 :

125. Дано аффинное(преобразование

x0 = 2x + y ¡ 2 y0 = x ¡ 5y ¡ 1

и точка A(1; 1). Найти прямую, проходящую через точку A, которая

при этом преобразовании переходит в прямую, также проходящую че- рез точку A.

126. Доказать, что аффинное преобразование

(

x0	= ax	¡	by	a	2	+ b	2	6= 0
y0
	= ax + by ;

не имеет двойных прямых.

29

127. Образует ли группу множество множество аффинных преобразований

x0	=	r(x cos '	¡	y sin ')
( y0
	=	r(x sin ' + y cos ') ;

ãäå r принимает все действительные положительные значения, а '

принимает все действительные значения. В чем геометрический смысл указанных преобразований? Система координат прямоугольная.

128.Доказать, что диагонали параллелограмма, стороны которого касаются эллипса, являются сопряженными диаметрами этого эллипса.

129.Доказать, что два сопряженных диаметра эллипса делят его на четыре равновеликие части.

130.Определить вид и расположение линий второго порядка, пользуясь приведением многочлена к сумме квадратов методом Лагранжа:

1)x2 ¡ 2xy + 4y2 + 2x ¡ 2y ¡ 4 = 0;

2)x2 + 4xy + 4y2 ¡ 6x ¡ 8y = 0.

8Поверхности второго порядка, заданные канони- ческими уравнениями

Для любой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат в пространстве, в которой уравнение этой поверхности имеет канонический вид. Существует 17 типов поверхностей.

1.

Мнимый эллипсоид

x2

+

y2

+

z2

= ¡1.

a2

b2

c2

2.

Действительный эллипсоид

x2

+

y2

+

z2

= 1.

2

2

2

a

b

c

3.

Двуполостный гиперболоид

x2

+

y2

¡

z2

= ¡1.

a2

b2

c2

4.

Однополостный гиперболоид

x2

+

y2

¡

z2

= 1.

a2

b2

c2

30