ангем)2 часть.игудесман

184. Доказать, что точки (5 : 1 : 3), (¡2 : 4 : ¡3), (8 : 6 : 3) лежат

на одной прямой. Составить уравнение этой прямой.

185. Доказать, что три прямые (1 : 1 : 0), (2 : ¡1 : 3), (5 : 2 : 3)

принадлежат одному пучку. Найти координаты и уравнение центра этого пучка.

186.Найти координаты точки встречи прямой, проходящей через

точки A(3 : 1 : 5) è B(¡2 : 0 : 7), с прямой 7x1 ¡ 2x2 + 4x3 = 0.

187.Составить уравнения и найти координаты прямых, соединяющих точку A(3 : ¡1 : 2) с точками O1, O2, O3 è E.

12 Проективные преобразования

Ангармоническое отношение (ABCD) упорядоченной четверки точек

A(a1 : a2 : a3) ; B(b1 : b2 : b3) ;

C(®a1 + ¯b1 : ®a2 + ¯b2 : ®a3 + ¯a3) ;

D(¸a1 + ¹b1 : ¸a2 + ¹b2 : ¸a3 + ¹b3) ;

лежащих на одной проективной прямой, определяется следующим об-

разом: (ABCD) = ®¹¯¸ :

Åñëè (ABCD) = ¡1, то четверка точек A; B; C; D называется гар-

монической.

Åñëè A; B; C; D гармоническая четверка точек, точки A; B; C собственные, причем точка C середина отрезка AB, òî D несоб-

ственная точка.

Преобразование проективной системы координат O1O2O3E в систе- ìó O10 O20 O30 E0, где базисные точки новой системы координат заданы относительно старой системы своими координатами O10 (b110 : b210 : b310),

51

O20 (b120 : b220 : b320), O30 (b130 : b230 : b330), E0(c1 : c2 : c3), определяется соотношениями:

						8	x1 = b11						½10x10 + b21										½20x20 + b31								½30x30
								2			20			10		x	10					20		20		x	20			20			30		x	30
						> x			= b10½										+ b20½										+ b30½
ãäå	½	10,	20	½	30	>
		½				>
						:			= b				½		0x			0	+ b				½		0x			0	+ b		½			0x			0	;
						< x		3			3			1			1					3		2			2			3			3			3
						>
											10											20								30
				, определяются из системы уравнений:
							> b10			½ + b20								½ + b30							½ = c
							8		b11	½10			+ b21					½20			+ b31				½30				= c1
									20	10						20			20				20			30						2
							> b10½ + b20½ + b30½ = c :
							>														множества точек проективной плос-
Проективным преобразованием:
							<		3	1		0				3			2	0			3			3	0					3
							>

кости называется такое взаимно-однозначное преобразование, при котором любые три точки, лежащие на одной прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой.

При проективном преобразовании ангармоническое отношение че- тырех точек, лежащих на одной прямой, не изменяется.

Проективное преобразование определяется соотношениями:

>	x			= a1 x			+ a2 x			+ a3 x			ãäå	¯	a1		a2		a3		¯	6
	x10			= a110x1 + a210x2 + a310x3											a110		a210		a310		¯
< x			0	= a	0x + a			0x + a			0x ;			¯ a		0	a	0	a	0		= 0 :
8		20		20		1	20		2	20		3		¯	20		20		20		¯
>														¯							¯
>														¯							¯
:		3		3 1			3 2			3 3				¯	3		3		3		¯
>														¯							¯
				1			2			3				¯	1		2		3		¯

Формулы проективного преобразования собственных точек проективной плоскости в аффинных координатах принимают вид:

x0 =	a110x + a210y + a310	;	y0 =	a120x + a220y + a320	:
	a130x + a230y + a330			a130x + a230y + a330

Пусть заданы четыре пары соответственных точек:

A a1

a2

a3

A0

a10

a20

a30

;

(

:

:

) 7! (

:

:

)

B

b1

b2

b3

B0

b10

b20

b30

;

(

:

:

) 7! (

:

:

)

C

c1

c2

c3

C0

c10

c20

c30

;

(

:

:

) 7! (

:

:

)

52

D(d1 : d2 : d3) 7!D0(d10 : d20 : d30) :

Пусть u = 0; v = 0; w = 0; u0 = 0; v0 = 0; w0 = 0 уравнения

прямых BC; CA; AB; B0C0; C0A0; A0B0; тогда уравнения

8

>>< u0 = pu

> v0 = qv

>

: w0 = rw

определяют проективное преобразование, переводящее точки A; B; C соответственно в точки A0; B0; C0. Подставляя в левые части этих уравнений координаты точки D0, а в правые координаты D, найдем

p; q; r.

Общее уравнение линии второго порядка в проективных координатах имеет вид:

a11(x1)2 + a22(x2)2 + a33(x3)2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 = 0 :

Преобразованием проективной системы координат это уравнение может быть приведено к одному из следующих видов:

1.	(x1)2 + (x2)2	+ (x3)2	= 0 мнимая линия;
2.	(x1)2 + (x2)2	¡ (x3)2	= 0 действительная линия;
3.	(x1)2 ¡ (x2)2 = 0 две действительные пересекающиеся пря-
	ìûå;
4.	(x1)2 + (x2)2	= 0 две мнимые пересекающиеся прямые;
5.	(x1)2 = 0 две совпадающие прямые.

ЗАДАЧИ

188. Даны точки A(1 : 1 : 2), B(3 : ¡1 : 2), C(11 : ¡1 : 10),

D(3 : 7 : 10). Доказать, что они лежат на одной прямой. Найти ангармоническое отношение (ABCD).

53

189. Даны точки A(1 : 2 : 3), B(¡3 : 2 : 4), C(¡2 : 4 : 7).

Доказать, что они лежат на одной прямой, и найти к ним четвертую гармоническую (ABCD) = ¡1.

190.Найти четвертую гармоническую к двум сторонам угла и его биссектрисе.

191.Относительно некоторой системы проективных координат

O1, O2, O3, E даны вершины базисного треугольника и единичная точка другой системы: O10 (4 : 1 : 1), O20 (4 : 4 : 1), O30 (0 : 4 : 1), E0(2 : 1 : 1). Найти формулы, выражающие координаты произвольной

точки относительно первой системы через ее координаты во второй системе.

192. В какие прямые переходят фундаментальные прямые при проективном преобразовании

(x10 : x20 : x30) = (x1 + 2x2 ¡ 4x3 : 2x1 ¡ 3x2 + 5x3 : 2x1 ¡ 2x2 + x3) :

193. В какие прямые переходят прямые a(1 : ¡2 : 4) è b(2 : 5 : ¡1) при проективном преобразовании

(u10 : u20 : u30) = (3u1 ¡ 2u2 : 2u1 ¡ u3 : u2 + u3) :

194. Определит проективный класс кривой, пользуясь приведением квадратичной формы к сумме квадратов методом Лагранжа

2(x1)2 + 3x1x2 ¡ 5x1x3 + 4(x2)2 + 2x2x3 ¡ (x3)2 = 0 :

195.Найти проективное преобразование, переводящее одну линию

âдругую:

1)окружность x2 + y2 = 1 в гиперболу x2 ¡ y2 = 1;

2)гиперболу x2 ¡ y2 = 1 в параболу y = x2.

196. Доказать, что прямые a(0 : 1 : ¡1), b(1 : 2 : ¡1), c(1 : 1 : 0), d(4 : 9 : ¡5) принадлежат одному пучку, и найти ангармоническое отношение (abcd).

54

197. Даны прямые a(1 : 2 : 1), b(3 : ¡1 : 2), c(5 : 3 : 4). Äîêà-

зать, что они принадлежат одному пучку, и найти к ним четвертую гармоническую (abcd) = ¡1.

198.Найти четвертую гармоническую к двум сторонам треугольника и медиане, проведенной к третьей стороне.

199.Найти связь между старыми и новыми координатами прямой,

если за новые фундаментальные точки принимаются O10 (2 : 1 : 0),

O20 (3 : 0 : 1), O30 (1 : 2 : 4), E0(1 : ¡1 : 4).

200. Найти связь между новыми и старыми проективными координатами точки, если за новые фундаментальные точки O10 , O20 , O30 è

Eпринимаются соответственно точки O2, O3, O1 è E.

201.В какие точки переходят точки A(1 : ¡2 : 3) è B(2 : ¡1 : 4) при проективном преобразовании

(u10 : u20 : u30) = (2u1 ¡ u2 + u3 : u1 ¡ 4u2 + u3 : 3u1 + 2u2 ¡ 3u3) :

202. Определить проективный класс кривой, пользуясь приведением квадратичной формы к сумме квадратов методом Лагранжа

x1x2 + x2x3 + x3x1 = 0 :

203.Найти проективное преобразование, переводящее одну линию

âдругую:

1)окружность x2 + y2 = 1 в параболу y = x2;

2)пару пересекающихся прямых x2 ¡ y2 = 0 в пару параллельных прямых x2 ¡ 1 = 0.

55

ОТВЕТЫ

1. 1) ¡2[a; b]; 2) [a; b]; 3) 43[a; b]. 4. f6; ¡3; ¡3g, f¡12; ¡26; ¡8g,
f0; 0; 0g.	5. 18p			.		6. 1) ¡ 7;			2) f¡46; 29; ¡12g; 3) f¡7; 7; 7g.
			2
7. b1 =	[a2;a3]						[a3;a1]			[a1;a2]
		, b2			=			, b3	=		. 8. 37,5. 9. 1) 25; 2)
	(a1;a2;a3)						(a1;a2;a3)			(a1;a2;a3)

0. 14. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда выполнено, по крайней мере, одно из двух условий: 1) вектор b перпендику-

лярен к векторам a è c; 2) векторы a è c коллинеарны. 15. x =
®[b;c]+¯[c;a]+°[a;b]	. 16. b1 = f¡32; 34; ¡1g, b2 = f31; 31; 1g, b3 = f32; ¡31; 1g.
(a;b;c)

17. 1) x + 2y + z ¡ 9 = 0; 2) x + y ¡ 2 = 0. 18. x ¡ 2y = 0, 2x + z = 0, 4y+z = 0. 19. 10x+9y+5z¡74 = 0. 20. x = 2¡5u+4v, y = 3+6u¡2v, z = ¡5 + 4u. 21. 1) x = ¡13, y = 13, z = ¡9; 2) u = ¡15, v = 25.

22. 1) x¡4y ¡z +16 = 0; 2) x+5y ¡z +5 = 0. 23. Точки A è B лежат в данной плоскости, точки D è E по одну сторону от плоскости, а точки C è F по другую сторону от нее. 24. 6x + 9y ¡ 22z = 0.

25. 5y + 13z ¡ 60 = 0. 26. 1) 10x ¡ 7z = 0; 2) 6y ¡ 7 = 0; 3) 39x¡29y¡7z = 0. 27. 5x¡6y¡7z+41 = 0. 28. 27x+11y+z¡65 = 0. 29. 13x + y ¡20 = 0. 30. 1) x = ¡6, y = ¡4, z = ¡3; 2) u + v ¡1 = 0, u = 0, v = 0; 3) 39u + 9v ¡ 1 = 0. 31. 2x + 3y + 4z ¡ 1 = 0, x + 3y + 9 = 0, z ¡ 1 = 0. 32. 20x + 19y ¡ 5z + 41 = 0. 33. 1)

Три плоскости пересекаются в точке (3; 5; 7); 2) три плоскости попар-

но параллельны; 3) три плоскости проходят через одну прямую; 4) плоскости попарно пересекаются и линия пересечения каждых двух плоскостей параллельна третьей плоскости; 5) первая и третья плос-

кости параллельны, вторая плоскость их пересекает. 34. 1) x = 2+2t,

y = 3 + 3t, z = 1 + 8t; 2) x = 7 ¡ 2t, y = ¡1, z = 2 + t; 3) x = 1,

y = t, z = 1.	35. 1) x = ¡2t, y = 7t, z = 4t; 2) x = t, y = ¡8 ¡ 4t,
z = ¡3 ¡ 3t.	36. Точки A; B è D лежат на прямой, точки C è E

íåò. 37. x ¡ 3y + 5z = 0. 38. 1) пересекаются в точке (¡3; 5; ¡5)

56

и лежат в плоскости 9x + 10y ¡ 7z ¡ 58 = 0; 2) скрещиваются; 3) параллельны и лежат в плоскости 5x ¡ 22y + 19z + 9 = 0; 4) совпадают. 39. 1) Прямая и плоскость пересекаются в точке (0; 0; ¡2);

2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая лежит в плоскости; 4) прямая и плоскость пересекаются в точке (2; 3; 1). 40. (6; ¡2; 6).

41. 2y ¡ z + 2 = 0, x ¡ 7y + 3z ¡ 17 = 0. 42. 1) лежат на одной

прямой; 2) образуют треугольник; 3) лежат на одной прямой. 43. 1)

x = 3 + 4t, y = 5 ¡ 3t, z = 1; 2) x + 2y + 10 = 0, z ¡ 4 = 0. 44. 18x ¡ 11y + 3z ¡ 47 = 0. 45. x ¡ 3y ¡ 3z + 11 = 0. 46. 1) пересе-

каются в точке (¡3; 0; 4) и лежат в плоскости 3x + 4y + 5z ¡ 11 = 0; 2) скрещиваются; 3) параллельны и лежат в плоскости 4x + 3y = 0;

4) совпадают. 47. 1) совпадают; 2) параллельны и лежат в плоскости 12x ¡ 3y + 8z = 0; 3) скрещиваются; 4) пересекаются в точке

(10; ¡1; 0) и лежат в плоскости x ¡ 7y + 3z ¡ 17 = 0. 48. 1) Прямая и плоскость пересекаются в точке (2; 4; 6); 2) прямая параллельна

плоскости; 3) прямая лежит в плоскости.																					49. x ¡ 9y + 5z + 20 = 0,
x ¡ 2y ¡ 5z + 9 = 0.									50. 3x + 2y + 4z ¡ 38 = 0.													51. 7x + y ¡ 3z = 0.
52. x + 20y + 7z = 0 è											x ¡ z = 0.							53. 3x + 5y ¡ 4z + 25 = 0.
54. 1) 16							1		55. 4x ¡ 4y + 4z ¡ 7 = 0, 10x + 6y ¡ 4z ¡ 5 = 0.
	3 ; 2) 2; 3) 3.
56. (0,0,3).				57. x				¡	z + 4 = 0, y = 0.									58. cos ' =					§		98						x¡3 =
																								195. 59. 5
y+2 = z¡4										¡		2z = 0. 61. y							¡		2z = 0, x = 3.							62. p								.
				60.			4x + 5y																									14
3	¡7 .
63. 3.	64.			1								20
				p		. 65. 1) §p									p		; 2) плоскости взаимно перпендику-
					6								14			53
лярны. 66. 2x + 6y ¡ 4z ¡ 56 = 0.																			67. x + 3y ¡ 2z ¡ 10 = 0.
68. x + 20y + 7z ¡12 = 0, x ¡z + 4 = 0.																			69. x + 3y = 0 è 3x ¡y = 0.
																					72							33
70. 8x + 5y ¡ 9z ¡ 24 = 0.															71. cos ' = §77.							72. arcsin							p		p				.
																														46			62
73. 1) 11x¡4y +6 = 0; z = 0; 2) 6x+5y ¡38 = 0; z = 0.																										74. (7,1,0).
78. 1)	18						x + y + z ¡ 1 = 0; x ¡ 1 = 0.																q					; 2) 8q									.
																											6							26
75. (2,9,6).				76.																		77. 1)				35		3
	p		; 2) 0 (прямые пересекаются).																	79. Базис образуют, напри-
		110
мер, векторы (1; 0; 0; : : : ; 0; ¡1),

57

(0; 1; 0; : : : ; 0; ¡1), : : :, (0; 0; 0; : : : ; 1; ¡1). 80. Размерность равна 3. Базис образуют, например, векторы a1; a2; a4. 81. Например, x1 ¡ x3 ¡ x4 = 0, x2 + x3 ¡ x4 = 0. 82. Базис суммы состоит, например, из векторов a1; a2; a3; b1. Базис пересечения, например, из

векторов c1 = a1 + a2 + a3	= b1	+ b2	= (1; 2; 2; 1); c2 = 2a2 +
2a3 = b1 + b3 = (2; 2; 2; 2).	83. (-2,-5,-1,1,-1). 85. M(¡2; 1; 0; 3).
87. (5; 2; ¡4; ¡3); (0; 1; 1; 7).	88. Размерность равна 3. Базис обра-
зуют, например, векторы a1; a2; a5.		89. Например, x1 ¡ x2 ¡ 2x3 = 0,
x1 ¡ x3 + 2x4 = 0, 2x1 + x2 ¡ x5		= 0.	90. Базис суммы состо-

ит, например, из векторов a1; a2; a3; b2. Базис пересечения, например,

b1	= ¡2a1 + a2 + a3; b3 = 5a1 ¡ a2 ¡ 2a3.			91. Проекция векто-
ðà ei íà L1		параллельно L2 имеет i-óþ координату n¡1			, а остальные
				n
	¡1		L2 параллельно L1 имеет все координаты рав-
	n , проекция на
íûìè 1		92. (0; 1; ¡1; ¡2; ¡3). 95. 1) ;,		2) точка	(2; ¡1; 4; 5).
	n.

96. x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3 + 3 = 0, 3x2 + 2x3 ¡ x4 ¡ 4 = 0, x1 + x2 ¡ 3x3 +

x4 = 0.			97. Например: b1							= (2; ¡2; ¡1; 0);			b2	= (1; 1; 0; ¡1).
98. y = 3a1 ¡ 2a2						= (1; ¡1; ¡1; 5); z = (3; 0; ¡2; ¡1)									. 99.			¼
																		3 .
	9		9	3	5		p			16	16	43		42		p
								3									1022
100. M1(	7	;	7;	7	; ¡7).	101.			.	102. (¡15;	15;	15	; ¡	15).	103.				.
							2											7

104.

x1 = 1; x2

= ¸ + 1;

x3

= ¸ + 1;

x4

= ¸ + 1.

105. Íà-

пример: 6x1 ¡ 9x2 ¡ x3

= 0;

x2 + x4

= 0.

106. y = 2a1

¡ a2 =

.

107. ¼

108. M1(1; ¡

1

3

(3; 1; ¡1; ¡2); z = (2; 1; ¡1; 4)

6 .

2

; 2; 2).

109.

2p

111. p

.

p

p

7

.

112. 1)

465

670

7 .

110.

6 , 2)

10 .

(1; ¡2; 2; 2)

15

113.

M0(10; 6); P (21; 2).

114. 1) 2x ¡ y ¡ 12 = 0, x + y ¡ 3 = 0; 2)

x = 0; y = 0; 3)

x ¡ y = 0.

115. 2x ¡ 2y ¡ 3 = 0,

4x ¡ y = 0.

116. x

0 =

¡

x, y 0

= 5y.

117. x0

= 5x

¡

3y + 8, y0 =

¡

3x + 2y

¡

3.

e

0 e

¡

0

¡

¡

¡

0 = e e

0

3y+24.

118. 1) x

x+8, y = 4x

5y+14; 2) x

=

x+2y

8, y

= 4x

120.

¼ab.

121. Гипербола.

123. x0

= x ¡ y + 1, y0

= x + y + 2.

124.

(2; 1).

125. 2x + y ¡ 3 = 0.

127. Образует. Поворот плос-

кости вокруг начала координат на угол ', соединенный с гомотетией

58

(r коэффициент гомотетиии; если r < 0, то добавляется еще сим-

метрия относительно начала координат). 130. 1) Эллипс; 2) парабола. 131. Эллиптический параболоид или гиперболический парабо-

ëîèä. 132. Таких прямых можно провести бесчисленное множество;

их геометрическое место есть конус (x¡5)2

+

(y¡1)2

2

= 0

.

9

4

¡ (z ¡ 2)

133. x¡6

= y¡2

= z¡8

x¡6

= y¡2 =

z¡8

135. 1)

x

¡

3z = 0 è

3

0

4 è

9

8

20 .

3x ¡ 2y ¡ 3z ¡ 18 = 0; прямая пересекает поверхность в двух действи-

тельных точках; 2) действительных касательных плоскостей провести нельзя; прямая не имеет действительных точек пресечения с поверх-

ностью; 3) x ¡ 2y ¡ 3z ¡ 6 = 0; прямая касается поверхности и через

нее можно провести только одну касательную. 136. x¡5										= y¡4 = z¡21
è x¡5		= y¡4			= z¡21			1		2	6
1			¡2		14 . 137. 1) Эллипсоид; 2) однополостный гиперболо-
èä.	138. Конус: 10(x ¡5)2 + 20(x ¡5)(y ¡1) ¡34(y ¡1)2 ¡55z2 = 0.
139.		x¡2	2	=	y¡¡11	= z1 è	x¡2	4	= y+21 = z2. 141. 1) A2a2+B2b2§C2c2		= §D2;
2) A2p § B2q = 2CD.								142. x2 + y2 = 13z2 ¡ 14z + 10.		143. 1) Îä-

нополостный гиперболоид; 2) двуполостный гиперболоид; 3) гиперболический параболоид 3) параболический цилиндр. 144. (1,1).

145. C(1; 1; ¡1); X2 + Y 2 + Z2 + 2XY ¡ 2Y Z + 6XZ ¡ 1 = 0. 146. 2x + y + 6 = 0. 147. 7x ¡ 35y + 22 = 0; 7x + 14y + 20 = 0. 148. x¡4y¡2 = 0; x+4y¡3 = 0. 149. x+y¡1 = 0; 3x+3y+13 = 0.

150. z = 1; 2x ¡ 3y = 0. 151. Прямая центров 4x + 2y ¡ 5 = 0.

152.Прямая центров x = 1; y = t; z = ¡t; 4XY + 4XZ ¡ 1 = 0.

153.X+Y +Z = 0. 154. 6x¡2y+19 = 0; 2x+2y¡1 = 0. 155. 7x+1 =

0. 156. 3x + 1 = 0;						3z ¡ 2 = 0.		157. 7x + 17y + 19z + 19 = 0.
158. Эллипс	X2		+	Y 2		= 1; центр C(2; 3), угловой коэффициент боль-
9		4
øåé îñè ¡21.		159. Гипербола					X42	¡ Y92 = 1; центр C(1; 1), угловой

коэффициент действительной оси 2 3. 160. Пара действительных пе-

ресекающихся прямых x ¡ y ¡ 1 = 0, x ¡ 4y + 2 = 0. 161. Парабола, X2 = 2Y . 162. Эллипс X162 + Y42 = 1. 163. Гипербола X92 ¡ Y252 = 1.

59

164. Однополостный гиперболоид

X2

+

Y 2

¡

Z2

= 1, центр (¡31; ¡32; 32);

1=3

1=6

1=2

координаты единичных векторов новой системы e0 =

1

;

1

;

1

,

p3g

e0 =

1

2

1

, e0 =

1

1

1

fp3

¡p3

;

;

; 0;

. 165. Параболический цилиндр

p6g

¡p2g

2

fp6

p6

3

fp2

6X2 ¡2p

Y = 0. 166. Конус вращения X2 +Y 2 ¡2Z2 = 0.

167. Ïà-

3

рабола X2 = 10Y , вершина параболы имеет координаты C(¡1; 2), âåê-

òîð f4; ¡3g имеет направление оси и направлен в сторону вогнутости.

5 5 p

168. Парабола X2 = 4 2 Y , вершина C(2; 1), вектор f1; 1g паралле-

лен оси и направлен в сторону вогнутости.

169. Пара действительных

параллельных прямых 2x ¡ 3y + 1 = 0, 2x ¡ 3y ¡ 2 = 0.

170. Ýë-

ëèïñ X2

Y 2

.

171. Гипербола X2

Y 2

+

= 1

¡

= 1. 172. Гипербола

9

1

1

9

X2

Y 2

= 1.

173. Гиперболический параболоид 7X

2

¡2Y

2

8Z

16 ¡

9

¡ p14 = 0.

Вершина (¡183784; ¡499784; 509392). Координаты единичных векторов новой си-

стемы e0

=

;

4

;

1

, e0

=

1

;

1

;

2

, e0 =

3

; 1

;

2

.

fp21

p21

¡p6

p6g

f¡p14

p14g

1

p21g

2

fp6

3

p14

174. Две параллельные плоскости X2 = 1.

175. Двуполостный ги-

перболоид

X2

+

Y 2

¡

Z2

= 1. 178. 1) M(3 : 2 : ¡1); 2) N(12; 9); 3)

4=5

4=15

4=25

R(5 : 0 : ¡3); 4) P (1 : 1 : 0).

179. x1 ¡ x2 ¡ x3 = 0.

180. (2 : 0 : ¡1),

2u1 ¡ u3

= 0.

183. (0 : 1 : ¡1).

184. 15x1 ¡ 9x2 ¡ 22x3

= 0.

185.

(1 : ¡1 : ¡1), u1 ¡ u2 ¡ u3

= 0.

186. (120

: 14 : ¡203).

187.

2x2 + x3 = 0, 2x1 ¡ 3x3

= 0,

x1 + 3x2 = 0, 3x1 + x2 ¡ 4x3 = 0;

(0 : 2 : 1), (2 : 0 : ¡3), (1 : 3 : 0), (3 : 1 : ¡4).

188. (ABCD) = ¡9.

189.

D(4 : 0 : ¡1). 190. Биссектриса угла, смежного с данным.

191.

x1 = 8x10

¡ 4x20,

x2

= 2x10 ¡ 4x20

+ 4x30, x3

= 2x10

¡ x20 + x30.

192.

O0 O0

(2 :

6 :

¡

7),

O0 O0

(7

:

6

:

¡

2), O0 O0

(8 : 9 :

13).

1

2

2

3

3

1

¡

193.

a0(7 : ¡2 : 2), b0(¡4 : 5 : 4).

194. Действительная нераспа-

дающаяся линия.

195. 1) x0

=

1

y0

= x

x0

=

1

y0

= x¡y

x+y ;

y ;

y ; 2)

x+y .

196.

(abcd) =

¡41.

197. d(¡1

:

5

:

0).

198. Прямая, парал-

лельная третьей стороне, проходящая через противоположную вершину треугольника. 199. u10 = ¡11(2u1 + u2), u20 = 8(3u1 + u3),

u30 = 3(u1 + 2u2 + 4u3). 200. (x10 : x20 : x30) = (x2 : x3 : x1).

60