новая папка 1 / 437107
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ
Учебное пособие для вузов
Составители: Т. Н. Глушакова, К. П. Лазарев
Воронеж Издательский дом ВГУ
2015
Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики ВГУ 5 ноября 2015 г., протокол № 3
Рецензент – доктор технических наук, доцент Ю. В. Бондаренко
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре вычислительной математики и прикладных информационных технологий факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов дневного отделения, изучающих дисциплины «Алгебра», «Линейная алгебра».
Для направлений: 01.03.02 – Прикладная математика и информатика, 01.03.03 – Механика и математическое моделирование, 01.05.01 – Фундаментальная математика и механика
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
1. |
Собственные векторы и собственные значения оператора...................... |
4 |
|
1.1. Основные понятия ............................................................................... |
4 |
|
1.2. Алгоритм нахождения собственного значения и собственного |
|
|
вектора оператора....................................................................................... |
4 |
|
1.3. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного |
|
|
значения....................................................................................................... |
4 |
2. |
Жорданова форма и жорданов базис матрицы оператора........................ |
5 |
|
2.1. Жорданова форма матрицы ................................................................ |
5 |
|
2.2. Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной |
|
|
жордановой клетки..................................................................................... |
5 |
|
2.3. Алгоритм нахождения жордановой формы для матрицы |
|
|
3-го порядка................................................................................................. |
6 |
3. |
Примеры нахождения жордановой формы и жорданова |
|
базиса для матриц 3-го порядка....................................................................... |
8 |
|
4. |
Функции от диагональных и клеточно-диагональных матриц................ |
18 |
Библиографический список ............................................................................. |
23 |
3
1.СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
ИСОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА
1.1. Основные понятия
Рассмотрим линейный оператор в пространстве E (dim E = n) и пусть
A – матрица этого оператора в некотором базисе {e }n |
. |
|
|||
e |
|
|
i i =1 |
|
|
Определение |
1. |
Многочлен |
φ(λ) = det(Ae − λI ) |
называется |
характеристическим многочленом матрицы Ae ( I – единичная матрица
порядка n ).
Определение 2. Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A , если Ae x = λx , а λ – собственным значением
оператора A , соответствующим собственному вектору x .
Определение 3. Множество всех собственных значений {λi }ik=1 (k ≤ n) оператора A называется спектром оператора.
1.2.Алгоритм нахождения собственного значения
исобственного вектора оператора
1.Найдем все корни характеристического многочлена φ(λ) = det( Ae − λI ) ,
получим λ1, λ2,…, λk – спектр оператора A .
2. Подставим λ = λ1 в систему ( Ae − λI )x = 0 , решим ее и найдем все
собственные векторы, отвечающие собственному значению λ1, затем подставим λ2 и т.д.
1.3. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения
Определение 4. Кратность корня λi в характеристическом многочлене
φ(λ) называется алгебраической кратностью αi собственного значения λi.
Определение 5. Геометрической кратностью ki |
собственного |
|||||
значения |
λi |
называется |
размерность |
собственного |
подпространства |
|
L(λi ) = {x : Ae x = λi x} оператора A . |
|
|
|
|||
Утверждение. ki = n − rang( Ae − λi I ) , где n – |
порядок матрицы |
|||||
оператора A . |
|
|
|
|
||
Теорема. Оператор |
A в базисе |
f1, f2 , , fn имеет диагональную |
||||
матрицу |
Af |
в том и только в том случае, когда базисные векторы fi |
||||
(i = 1, 2,..., n) |
– собственные, то есть αi = ki |
для всех i . |
|
|
4
2. ЖОРДАНОВА ФОРМА И ЖОРДАНОВ БАЗИС МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА
2.1. Жорданова форма матрицы
Определение 6. Жордановой клеткой с собственным значением λi
называется клетка вида
λi |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
λi |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
(2.1) |
|||||
0 |
0 |
λi |
|
0 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
λi |
|
Здесь на главной диагонали стоит собственное значение λi, над главной диагональю – единицы, а все остальные элементы – нули.
Теорема. Для произвольного оператора A : C n → C n существует базис
пространства C n , в котором матрица оператора имеет клеточнодиагональный вид, причем на главной диагонали стоят жордановы клетки вида (2.1).
Этот базис называется жордановым, а данный канонический вид матрицы называется жордановой формой.
Замечание. Жорданова форма определяется однозначно с точностью до порядка клеток (каждой клетке с λi соответствует один собственный вектор).
2.2. Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки
Рассмотрим жорданову клетку вида (2.1).
По определению матрицы оператора в 1-м столбце стоит вектор Ae f1 ,
разложенный |
по |
базису f1, f2 , fk : Ae f1 = λi f1 + 0 f2 |
+ + 0 fk , |
поэтому |
||||
( Ae − λi I ) f1 = 0 . |
|
|
|
|
|
Ae f2 , разложенный по |
||
Во 2-м столбце матрицы находится вектор |
||||||||
этому же базису, и т.д. |
|
f1 находим как решение системы |
||||||
Таким образом, собственный вектор |
||||||||
( Ae − λi I )x = 0 , |
присоединенный |
вектор |
f2 |
– |
как |
решение |
системы |
|
( Ae − λi I )x = f1 . Очевидно, что ( Ae |
− λi I )2 f2 = ( Ae |
− λi I ) f1 = 0 . |
|
|
||||
Продолжая |
аналогичные |
рассуждения, |
для вектора fk |
получим |
||||
( Ae − λi I )k fk = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Определение 7. Вектор fk называется присоединенным вектором
высоты k − 1.
Определение 8. Присоединенный вектор высоты 1 называется просто
присоединенным вектором.
Жорданов базис состоит из собственных и присоединенных векторов. Утверждение. Алгебраическая кратность αi собственного значения λi равна сумме размеров жордановых клеток с этим собственным
значением (или числу собственных значений λi на главной диагонали). Утверждение. Геометрическая кратность ki собственного значения
λi равна числу клеток в жордановой форме с собственным значением λi
(или числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению λi).
2.3. Алгоритм нахождения жордановой формы для матрицы 3-го порядка
Пусть дана матрица 3-го порядка. Надо найти жорданову форму и |
|||||
жорданов базис. |
|
|
|
|
|
1. Пусть характеристический многочлен матрицы Ae имеет вид |
|||||
φ(λ ) = (−1)3 (λ− λ1) (λ− λ2 ) (λ− λ3 ) , где λi |
≠ λj |
(i ≠ j) . |
|||
|
λ1 |
0 |
0 |
|
|
Тогда жорданова форма матрицы имеет вид |
|
0 |
λ2 |
0 |
|
Af = |
. |
||||
|
|
0 |
0 |
λ3 |
|
|
|
|
2. |
Пусть характеристический многочлен матрицы Ae имеет вид |
|||||||||||
|
|
φ(λ) = (−1)3 (λ – λ1)2 (λ–λ2 ) , где λi ≠ λj |
(i ≠ j) . |
|
||||||||
Возможны два случая: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
rang(Ae − λ1I ) = 1, |
поэтому |
|
k1 = 3 − rang( Ae − λ1I ) = 2 |
и, |
следовательно, |
|||||
α1 = k1 , |
поэтому жорданова |
форма содержит две |
жордановы клетки с |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
λ1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
собственным значением λ1: Af |
|
0 |
λ1 |
|
|
|
|
|||||
= |
0 ; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|
||
б) |
rang( Ae − λ1I ) = 2 , |
|
поэтому |
k1 = 3 − rang( Ae − λ1I ) = 1 |
и, |
следовательно, |
||||||
жорданова форма |
содержит одну |
жорданову клетку |
с собственным |
|||||||||
|
|
λ1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
значением λ1: Af = |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
3. Пусть характеристический многочлен матрицы Ae имеет вид
φ(λ) = (−1)3 (λ− λ1)3 .
6
Возможны два случая: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) rang( Ae − λ1I ) = 1, |
поэтому |
k1 = 3 − rang( Ae − λ1I ) = 2 |
и, |
следовательно, |
|||||||
жорданова |
форма |
содержит |
две |
жордановы |
клетки |
с |
собственным |
||||
|
|
λ1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||
значением λ1: |
|
0 |
λ1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Af = |
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
б) rang( Ae − λ1I ) = 2, |
поэтому |
k1 = 3 − rang( Ae − λ1I ) = 1 |
и, |
следовательно, |
|||||||
жорданова |
форма |
содержит |
одну |
жорданову |
клетку |
с собственным |
|||||
|
|
λ1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||
значением λ1: |
|
0 |
λ1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Af = |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Замечание. Число единиц над главной диагональю в одной жордановой клетке равно числу присоединенных векторов.
7
3.ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ЖОРДАНОВОЙ ФОРМЫ
ИЖОРДАНОВА БАЗИСА ДЛЯ МАТРИЦ 3-го ПОРЯДКА
Приведем примеры нахождения жордановой формы и жорданова базиса для каждого из рассмотренных выше случаев.
Пример 1. |
Найти |
жорданову форму и жорданов базис матрицы |
||
|
5 |
− 3 |
2 |
|
оператора Ae = |
6 |
− 4 |
4 |
. |
4 |
1 |
− 6 |
|
Решение
Вычислим
|
5 − λ |
−3 |
2 |
|
= − (λ −1) (λ − 2) (λ − 3) . |
|
|
||||
ϕ(λ) = det(Ae − λI) = |
6 |
−4 − λ |
4 |
|
|
|
4 |
1 |
−6 − λ |
|
|
Таким образом, получили три собственных значения λ1 = 1, λ2 = 2 , λ3 = 3. |
Так как алгебраическая кратность каждого из них равна 1, то жорданова
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
форма имеет следующий вид: Af |
= |
0 |
2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
Найдем |
собственный |
вектор |
|
fc1 , |
соответствующий |
собственному |
||||||||||||
значению |
|
λ1 = 1. |
Очевидно, |
что |
|
он |
является |
решением |
уравнения |
|||||||||
( Ae − I )x = θ и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
− 1 − 3 4 − 3 |
2 |
4 − 3 |
2 |
|
|
4 |
− 3 |
2 |
|
|||||||
A − I = |
2 |
|
− 5 |
4 |
|
|
|
|
|
→ |
|
|||||||
6 |
|
→ 0 − |
1 2 |
− |
|
1 |
|
→ |
||||||||||
|
|
|
|
4 − 4 |
4 |
0 − |
1 2 |
|
3 0 |
− 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 0 |
|
− 4 |
1 0 |
− 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = x3 |
|
0 1 |
|
|
0 1 |
− 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= (1, 2, 1). |
|
|
|
|
|||||||
то есть x |
|
= |
2x , поэтому можем взять f1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
собственный |
вектор |
|
fc2 , |
соответствующий |
собственному |
||||||||||||
значению |
|
λ2 = 2 . |
Очевидно, |
что |
он |
удовлетворяет |
уравнению |
( Ae − 2I )x = θ, поэтому
8
|
|
|
− 4 |
3 |
|
− 3 |
2 |
|
|
x1 |
|
x2 |
x3 |
|
|
x1 |
x3 x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
− 3 |
2 |
|
3 2 |
− 3 |
|
||||||||||||||
|
A − 2I = |
|
6 |
|
− 6 4 |
|
→ |
→ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
3 4 |
|
− 4 |
3 |
|
0 0 |
1 |
|
0 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x3 |
|
x2 |
|
|
|
x1 |
x3 |
x2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
→ |
3 0 |
−3 : 3 |
→ |
1 |
0 −1 |
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
откуда следует, что x1 = x2 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
, поэтому можем взять |
fc2 |
= (1, 1, 0) . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
собственный |
|
вектор |
|
fc3 , соответствующий собственному |
||||||||||||||||||||
значению λ |
= 3. Так как он является решением уравнения ( Ae − 3I )x = θ, то |
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −3 2 |
|
−3 2 |
|
2 |
−3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
−3 |
2 |
|
||||||||
Ae − 3I = |
|
|
|
6 |
|
−7 4 |
|
|
0 2 |
|
−2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
: 2 → |
|
0 |
|
|
→ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
−4 2 |
|
|
0 2 |
|
−2 |
|
|
|
3 |
1 −1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
2 0 |
−1 : 2 |
→ |
|
1 |
0 − 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и, следовательно, |
x1 = |
2 x3 , |
поэтому можем взять |
fc3 = (1, 2, 2) . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Векторы fc1, fс2 , fс3 |
|
образуют жорданов базис матрицы. |
|
|
|||||||||||||||||||||
Пример |
2. |
Найти |
|
жорданову |
форму |
|
и жорданов |
базис |
матрицы |
||||||||||||||||
|
|
7 |
− 12 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
− 19 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
оператора Ae = 10 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− 24 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Вычислим
φ(λ) = det( A |
− λI ) = |
|
7 − λ |
−12 |
6 |
|
= − (λ−1)2 (λ+ 1) . |
|
|
||||||
|
10 |
−19 − λ |
10 |
|
|||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
−24 |
13 − λ |
|
|
Таким образом, λ1 = 1, α1 = 2 , |
λ2 = −1, α2 = 1. |
Так как алгебраическая кратность собственного значения λ1 = 1 равна 2, нужно найти его геометрическую кратность k1 . Для этого вычислим ранг матрицы
9
|
6 |
− 12 |
6 |
|
|
A − I = |
10 |
− 20 |
10 |
|
→ (1 − 2 1). |
e |
|
|
|
|
|
|
|
− 24 |
12 |
|
|
|
12 |
|
|
Очевидно, что rang( Ae − I ) = 1, поэтому |
k1 = 3 − 1 = 2 |
и, следовательно, |
||||||||||||
жорданова форма имеет следующий вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Af |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|||||
Найдем собственные векторы |
|
f1, |
f2 , соответствующие собственному |
|||||||||||
значению |
λ1 = 1. Очевидно, |
что |
|
они |
являются решением |
уравнения |
||||||||
|
6 |
− 12 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( A − I )x = θ, поэтому 10 |
− 20 |
10 |
|
→ (1 |
− 2 |
1), откуда x − |
2x |
2 |
+ x = 0 |
|||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
− 24 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или x1 = 2x2 − x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
нахождения |
фундаментальной |
системы |
решений |
(ФСР) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
|
x3 |
собственного подпространства |
L(1) |
построим |
таблицу |
2 |
1 |
|
0 . Во |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
0 |
|
1 |
второй строке данной таблицы стоят координаты первого собственного вектора, а в третьей строке – второго. Их мы и возьмем в качестве векторов
f1 = (2,1, 0) , |
f2 = (−1, 0,1) . |
Найдем |
собственный вектор fc−1 , соответствующий собственному |
значению λ2 = −1. Очевидно, что он удовлетворяет уравнению ( Ae + I )x = θ, поэтому
8 |
− 12 6 |
|
− 3 − 5 4 |
− 6 3 |
|
4 |
− 6 3 |
|||||
10 |
− 18 10 |
→ |
|
4 5 |
− 9 5 |
→ |
0 |
− 6 5 → |
||||
12 |
− 24 14 |
|
2 |
6 |
− 12 7 |
|
0 |
− 6 5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
− |
1 |
|
|
4 − 6 |
3 |
4 0 |
− 2 : 4 |
|
|
|
|
||||
|
→ |
|
|
|
2 , |
|||||||
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0 6 |
5 |
0 6 |
− 5 : 6 |
|
0 |
1 |
− |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
1 x |
|
|
|
то есть |
1 |
|
2 |
3 |
, поэтому можем взять |
f3 = (3, 5, 6) . |
|
|
|
||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
= 6 x3 |
|
|
|||
|
x2 |
|
|
10