новая папка 1 / 241571

u			u	'			u ''		;
			'			'' ;
				'			''	;
					'			''	;

' '' ;

z z' z'' .

2. Задание

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

Труба с радиусами r (внутренний) и R (наружный) находится под действием внутреннего Pr и внешнего PR давлений в условиях плоской упругой осесимметричной деформации. Упругие свойства трубы заданы модулем Юнга

Е E0 E1 t 103 , коэффициентом Пуассона 0,3 , температурным коэффициентом линейного расширения 0 1 t 10 6 . Температурное поле описывается функцией t t , которая определяется по заданному идентификационному номеру ID из табл. 1. Исходные значения заданы в единицах измерения Н, мм, С и приведены в табл. 2.

Определить напряженно-деформированное состояние (u i , ij , ij , Г ,T ) в точках трубы, местоположение которых задано координатой по закону

r k , где k 0,...,7 , в трех случаях:

1)с учетом внутреннего Pr и внешнего PR давлений и без учета влияния температурного поля t t ;

2)с учетом влияния t t при отсутствии Pr, PR;

3)с учетом влияния t t и Pr, PR.

По результатам расчета построить эпюры распределения u i , ij , ij , Г ,T по

толщине трубы.

Таблица 1

Температурные функции

ID	Функция	Описание
1	t a b	Линейная
2	t a b c	Степенная
3	t a eb c	Показательная
4	t a b c	Дробно-линейная
5	t a 2 b c	Полином 2-ой степени
6	t a ln b	Логарифмическая

13

Таблица 2

Исходные данные

						№ варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
r	40	50	60	70	80	90	40	50	60	70	80	90
R	75	92	116	133	150	174	75	92	116	133	150	174
	5	6	8	9	10	12	5	6	8	9	10	12
Pr	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
PR	72	70	68	66	64	62	60	58	56	54	52	50
ID	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2
a	0,5	0,6	0,7	-0,8	-0,9	-1	2	1,5	1	-2,5	-2	-1,5
b	20	50	40	120	150	180	0,6	0,65	0,7	0,75	0,8	0,85
c	0	0	0	0	0	0	30	40	50	150	140	120
E1	-0,100	-0,098	-0,096	-0,094	-0,092 -0,090		-0,088	-0,086	-0,084	-0,082 -0,080 -0,078
E0	220	219	218	217	216	215	214	213	212	211	210	209
1	0,0100	0,0105	0,0110	0,0115	0,0120	0,0125	0,0130	0,0135	0,0140	0,0145	0,0150	0,0155
0	12,00	11,95	11,90	11,85	11,80	11,75	11,70	11,65	11,60	11,55	11,50	11,45

						№ варианта
	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
r	40	50	60	70	80	90	40	50	60	70	80	90
R	75	92	116	133	150	174	75	92	116	133	150	174
	5	6	8	9	10	12	5	6	8	9	10	12
Pr	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48
PR	48	46	44	42	40	38	36	34	32	30	28	26
ID	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4
a	10	25	20	-25	-30	-35	0,001	0,0015	-0,002	-0,0025	-0,003	-0,0035
b	0,01	0,01	0,01	0,01	0,01	0,01	2	2,5	-1,5	-1	-0,5	-0,2
c	40	30	20	140	150	160	40	50	140	150	200	220
E1	-0,076	-0,074	-0,072	-0,070	-0,068 -0,066		-0,064	-0,062	-0,060	-0,058 -0,056 -0,054
E0	208	207	206	205	204	203	202	201	200	199	198	197
1	0,0160	0,0165	0,0170	0,0175	0,0180	0,0185	0,0190	0,0195	0,0200	0,0205	0,0210	0,0215
0	11,40	11,35	11,30	11,25	11,20	11,15	11,10	11,05	11,00	10,95	10,90	10,85

						№ варианта
	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
r	40	50	60	70	80	90	40	50	60	70	80	90
R	75	92	116	133	150	174	75	92	116	133	150	174
	5	6	8	9	10	12	5	6	8	9	10	12
Pr	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72
PR	24	22	20	18	16	14	12	10	8	6	4	2
ID	5	5	5	5	5	5	6	6	6	6	6	6
a	0,001	0,002	-0,0015	-0,002	-0,0025	-0,003	120	100	-95	-90	-85	-80
b	0,1	0,05	-0,15	-0,2	-0,25	-0,3	-400	-380	500	480	470	450
c	20	30	100	90	120	140	0	0	0	0	0	0
E1	-0,052	-0,050	-0,048	-0,046	-0,044 -0,042		-0,040	-0,038	-0,036	-0,034 -0,032 -0,030
E0	196	195	194	193	192	191	190	189	188	187	186	185
1	0,0220	0,0225	0,0230	0,0235	0,0240	0,0245	0,0250	0,0255	0,0260	0,0265	0,0270	0,0275
0	10,80	10,75	10,70	10,65	10,60	10,55	10,50	10,45	10,40	10,35	10,30	10,25

14

3. Пример расчета

Толстостенная труба с внутренним r = 35 мм и внешним R = 70 мм радиу-

сами находится под

действием

внутреннего

Pr = 20 МПа

и внешнего

PR = 10 МПа давлений.

Упругие

свойства

трубы

заданы модулем Юнга

Е E E t 103 МПа (при этом

Е

0

200 ,

Е 0 ),

коэффициентом Пуассона

0

1

1

0,3 ,

температурным

коэффициентом

линейного

расширения

0

t 10 6 0С-1

(при этом

0

11,5 ,

1

0 ). В трубе имеется темпера-

1

турное поле, заданное функцией T 0,9 20 .

Определить напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы в точках с координатой r k , где k 0, 1, … , 7, 5 мм. Построить эпюры напряжений и перемещений.

Проведем расчет трубы без учета температурных напряжений по формулам (31-38). Определим постоянные интегрирования (C1, C2), перемещения по радиальным направлениям (u ) и нормальные напряжения ( , , zz) на внутренней стенке трубы ( 35 0 5 35 мм):

С	'			1												1 2										P r 2							P R2
1								E								R2 r 2													r					R
		1 0,3											1 2 0,3															20 352 10 702 0,000017;
												702 352
		2 105
С	'					1										r 2 R2											P P								1 0,3						352 702			20 10 0,106167 мм2;
	2
									E R2 r 2																				r			R			2 105						702 352
u'			С						'									С2'				0,000017 35																	0,106167				0,002427 мм;
			1																																					35
	'								Е										С '										С '					2 105						0,000017							0,106167
																				1										2																					20,00 МПа;
						1											1		2											2				1 0,3						1 2 0,3							35	2
	'								Е										С '										С	'				2 105						0,000017							0,106167
																				1										2																					6,67 МПа;
						1											1		2											2				1 0,3						1 2 0,3							35	2
z									Е							2С'																	0,3 20,00 6,67 4,00 МПа;
	'																		1												'			'
				1												1 2
'					u '					С '												С2'						0,000017										0,106167				6,967 10 5 ;
																						2
																	1																							352
																																				15

	'		du'	С '		С '	2C '	'	2 0,000017 6,967 10 5	1,037 10 4 .
						2
			d			2
				1			1

Результаты расчета напряжений и перемещений для других значений приведены в табл. 3. По расчетным данным необходимо построить эпюры перемещений, напряжений, деформаций и т.д.

Таблица 3 Напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы

без учета температурных напряжений

k	, мм	u 100, мм	, МПа	, МПа	zz, МПа
0	35	0,2427	-20,00	6,67	-4,00
1	40	0,1961	-16,88	3,54	-4,00
2	45	0,1579	-14,73	1,40	-4,00
3	50	0,1257	-13,20	-0,13	-4,00
4	55	0,0977	-12,07	-1,27	-4,00
5	60	0,0729	-11,20	-2,13	-4,00
6	75	0,0507	-10,53	-2,80	-4,00
7	70	0,0303	-10,00	-3,33	-4,00

Проведем расчет напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы с учетом температурных напряжений по формулам (18-24, 27-30).

Определим постоянные интегрирования (C1, C2), температуру (Т ), перемещения по радиальным направлениям (u ) и нормальные напряжения ( , ,zz) на внутренней стенке трубы ( 35 0 5 35 мм):

J T		d 0,9 20 d 0,9 2 d 20 d 0,3 3 r3 10 2 r 2				;
r		r	r	r
J	R	0,3 R3 r 3 10 R2	r 2 0,3 703	353 10 702	352

126787,5 С мм2;

T t 0,9 20 0,9 35 20 51,5 С;

ЕE0 E1 t 103 200 0 51,5 103 2 105 МПа;

0 1 t 10 6 11,5 0 51,5 10 6 11,5 10 6 С-1.

16

С		1			1 2					1	P r 2	P R2	J
						2								R
1	1				R		r	2		E	r	R

	1 0,3						1 2 0,3							1 0,3									20				11,5 10 6
																									352	10 702			126787,50
			0,3						2	35			2				10				5
	1						70							2
			С					1						r 2						1				P R2 P R2 J
				2									2					2
							1					R		r								E			r	R		R
	1 0,3								352					1 0,3									20				11,5 10 6
																									702	10 702			126787,50
			0,3						2	35			2				10				5
	1						70							2

J 0,3 353 353 10 352 352 0 ;

u				1											J			С					С2
			1															1
		1 0,3							11,5 10 6										0		0,000227 35													1,00877		0,0385 мм;
		1 0,3
																		35																35
						Е						1						С1				С2								J
																		1 2				2									2
			1			1
			2 10				5						0,3					0,000227									1,00877										0
									1
																																11,5 10 6							20,00
		1 0,3											0,3					1 2 0,3											352								35	2
									1

0,000277;

1,00877 мм2;

МПа;

							Е					1							С1					С2							J
																																		t
																			1 2					2								2
			1									1
							5											0,000227									1,00877										0
		2 10							1 0,3																									11,5 10 6						11,5 10 6		51,5
																																							2
		1 0,3																	1 2 0,3								352										35
									1 0,3
64,17 МПа;
							Е				1							2С1
z																							t E t
																		1 2
			1								1
0,3 20,00 64,17 11,5 10 6 2 105 51,5 105,20 МПа;
				u								1								J	С								С2		1 0,3					11,5 10 6			0		0,000277
																															1 0,3
											1									2				1					2								352

1,00877 = 0,0011; 352

17

				du		1	t	1		J	С	С2		1	t 2C
				d		1		1		2		2		1
											1				1

1 0,3 11,5 10 6 51,5 2 0,000277 0,0011 5,539 10 4 . 1 0,3

Результаты расчета напряжений и перемещений для других значений приведены в табл. 4. По расчетным данным необходимо построить эпюры перемещений, напряжений, деформаций и т.д.

											Таблица 4
		Напряженно-деформированное состояние
	толстостенной трубы с учетом температурных напряжений
k	, мм	Т		, С	J , o C мм2	u		100,	,	,	,
											z
							мм		МПа	МПа	МПа
0	35	51,5			0		3,85		-20,00	64,17	-105,20
1	40	56,0			10087,50		4,17		-11,02	40,40	-119,99
2	45	60,5			22475,00		4,56		-6,42	21,01	-134,77
3	50	65,0			37387,50		5,00		-4,53	4,34	-149,56
4	55	69,5			55050,00		5,50		-4,41	-10,57	-164,34
5	60	74,0			75687,50		6,04		-5,50	-24,26	-179,13
6	65	78,5			99525,00		6,63		-7,44	-37,11	-193,91
7	70	83,0			126787,50		7,25		-10,00	-49,33	-208,70

Подобный расчет нужно сделать по формулам (18-24, 39, 40) для толстостенной трубы, на напряженно-деформированное состояние которой влияет только температурное поле.

После всех расчетов необходимо сделать проверку полученных результатов по формулам (43-48).

4.Контрольные вопросы

1.Сформулировать закон Гука с учетом температуры (прямая и обратная форма записи).

2.Написать уравнения равновесия при плоском напряженном состоя-

нии.

3.Написать характеристики упругой деформации: модуль упругости, модуль сдвига, коэффициент поперечной деформации.

4.Написать условие несжимаемости.

5.Что такое коэффициент поперечной деформации для несжимаемого

тела.

6. Написать тензоры деформации и скорости деформации при плоском напряженном состоянии.

18

7.Написать тензоры деформации и скорости деформации при плоском деформированном состоянии.

8.Что означает знак напряжения (положительное и отрицательное напряжение)?

9.Приближает ли наступление пластического состояния наложение

теплового поля в трубе?

10.Что характеризуют скалярные характеристики деформированного состояния (Н, Г)?

11.Что определяют тензоры деформации и скорости деформации?

12.Как связаны между собой компоненты тензоров деформации и скорости деформации?

13.Что такое относительное изменение объема?

14.Что такое деформация сдвига?

15.Что такое коэффициент линейного расширения?

16.Почему нет однозначной связи между напряжениями и деформаци-

ями при пластической деформации идеальной упруго пластической среды?

17. Как будет выглядеть схема напряженного и деформированного состояния для выбранной точки по сечению трубы?

5.Библиографический список

1.Кучеряев, Б.В. Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных металлов с задачами и решениями, примерами и упражнениями) [Текст]: учебник для вузов / Б.В. Кучеряев. – М.: МИСИС,

2006. – 604 с.

2.Шинкин, В.Н. Механика сплошных сред [Текст]: курс лекций / В.Н. Шинкин. –М.: Изд. Дом МИСиС, 2010. – 235 с.

3.Аркулис, Г.Э. Теория пластичности [Текст]: учеб. пособие для вузов /

Г.Э. Аркулис, В.Г. Дорогобид. –М.: Металлургия, 1987. – 352 с.

4. Гун, Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением (теория пластичности) [Текст]: учебник для вузов / Г.Я. Гун. –М.: Металлургия, 1980.

– 456 с.

19

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению курсового задания по дисциплине «Механика сплошных сред» для студентов 2 курса дневного и очно-заочного отделений направления 150400 «Металлургия», профиль «Обработка металлов давлением»

Составитель Бахаев Константин Вячеславович

Редактор Г.В. Казьмина

Подписано в печать .12.2013. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №

Издательство Липецкого государственного технического университета. Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ.

398600 Липецк, ул. Московская, 30.

20