новая папка 1 / 241597
.pdf1095
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования ¾ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ¿
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
ЗАДАНИЯ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ
Составители: Н. М. Мишачев, В. М. Тюрин
Липецк Липецкий государственный технический университет
2013
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования ¾ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ¿
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
ЗАДАНИЯ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ
Составители: Н. М. Мишачев, В. М. Тюрин
Липецк Липецкий государственный технический университет
2013
ÓÄÊ 514.7(07) Ì 71
Рецензент - канд. физ.-мат. наук О.Д. Дячкин
M 71 Мишачев, Н.М.
Дифференциальная геометрия и тензорный анализ; задания к типовому расчету/Н.М.Мишачев,В.М.Тюрин - Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2013. - 16 с.
Настоящие задания составлены в соответствии с ФГОС-3 и предназначены для студентов второго курса специальности 010800 - ¾Механика и математическое моделирование¿, изуча- ющих курс ¾Дифференциальная геометрия и топология¿.
°c ФГБОУ ВПО "Липецкий государственный технический университет", 2013
Задания типового расчета предназначены для самостоятельной работы студентов, изучающих курс Дифференциальная геометрия и топология .
Задание 1
Построить плоскую кривую, заданную параметрически.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x = |
t |
|
; |
y = |
|
t2 |
|
|
1+t |
3 |
1+t |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
t) |
|
x = |
t |
|
; |
y = t(1¡2 |
||||
1+t |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
1+t |
|||
x = |
t2 |
|
; |
y = |
|
t3 |
|
|
1+t |
2 |
|
1+t |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
x = |
|
; |
y = t(1¡t2 ) |
|||||
1+t |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
1+t |
|||
x = t2; |
|
|
y = t(1 ¡ t2) |
|||||
x = |
t2 |
; |
y = |
|
t3 |
|
|
|
1¡t |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
1¡t |
|
|
||
x = |
t2 |
|
; |
y = |
|
t3 |
|
|
1¡t |
2 |
|
1¡t |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
x = t2; |
|
|
y = t(1 + t2) |
9. y = t2; |
|
|
x = t(1 + t2) |
|||||||
10. |
y = |
t |
|
; |
x = |
|
t2 |
|
|
|
1+t |
3 |
1+t |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
t) |
|
11. |
y = |
|
|
; |
x = t(1¡2 |
|||||
1+t |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1+t |
||||
12. |
y = |
t2 |
|
; |
x = |
|
t3 |
|
|
|
1+t |
2 |
1+t |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
2 |
||
13. |
y = |
|
; |
x = t(1¡t2 ) |
||||||
1+t |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1+t |
||||
14. |
y = t2; |
|
|
x = t(1 ¡ t2) |
||||||
15. |
y = |
t2 |
; |
|
x = |
|
t3 |
|
|
|
1¡t |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1¡t |
|
|
|||
16. |
y = |
t2 |
|
; |
x = |
|
t3 |
|
|
|
1¡t |
2 |
1¡t |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2
Нарисовать распадающуюся плоскую кривую f(x; y) = 0 и кривые f(x; y) = §" при малых ".
1. (x2 + 2x + y2 ¡ 3)(x ¡ y) = 0 2. (x2 + y2 ¡ 1)(x2 + y2 ¡ 4)x = 0 3. (y ¡ x3 + 3x)(x ¡ y) = 0
4. (x2 + 4y2 ¡ 1)(4x2 + y2 ¡ 1) = 0
5. (x ¡ 1)(x ¡ 2)(y ¡ 1)(y ¡ 2) = 0 6. (x2 + 2x + y2 + 2y ¡ 2)(x ¡ y) = 0
7. (x2 + y2 ¡ 1)(x2 + y2 ¡ 4)(x + y) = 0 8. (y3 ¡ 3y ¡ x)(x ¡ y) = 0
9. (x2 + 9y2 ¡ 1)(9x2 + y2 ¡ 1) = 0
10. (x + 1)(x + 2)(y + 1)(y + 2) = 0 11. (x2 + 4x + y2 + 4y ¡ 1)(x ¡ y) = 0
3
12. (x2 + y2 ¡ 1)(x2 + y2 ¡ 4)xy = 0 13. (y ¡ x2 + 4)(y ¡ 1)(y ¡ 2) = 0 14. (x2 ¡ y2)(x2 + 4y2 ¡ 1) = 0
15. (x ¡ y ¡ 1)(x ¡ y + 1)(x + y ¡ 1)(x + y + 1) = 0 16. (x2 ¡ y2 ¡ 1)(x2 + y2 ¡ 9) = 0
Задание 3
Найти кривизну плоской кривой, заданной параметрически.
1. |
x = sin t; |
|
y = 2 cos t |
2. x = t2; |
y = t(1 ¡ t) |
||
3. x = 1 + t2; |
y = t3 |
||
4. x = t2; |
y = t ¡ t3 |
||
5. x = t2; |
y = 1 ¡ t2 |
||
6. x = t2 ¡ t; |
y = t3 |
||
7. x = t2 ¡ 1; |
y = t3 ¡ t) |
||
8. x = t3; |
y = t(1 + t2) |
9. y = t2; |
x = t(1 ¡ t) |
|||
10. |
y = 1 + t2; |
x = t3 |
||
11. |
y = t2; |
x = t ¡ t3 |
||
12. |
y = t2; |
x = 1 ¡ t2 |
||
13. |
y = t2 |
¡ t; |
x = t3 |
|
14. |
y = t2 |
¡ 1; |
x = t3 ¡ t |
|
15. |
y = t3; |
x = t(1 + t2) |
||
16. |
y = sin t; |
|
x = 2 cos t |
Задание 4
Для параметрически заданной пространственной кривой найти: a) кривизну и кручение;
b) репер Френе в точке t = 1.
1. x = t + 1; y = t2; z = t3 2. x = t2 + 2; y = t; z = t3 3. x = t + 3; y = t3; z = t2 4. x = t3 + 4; y = t; z = t2 5. x = t3 + 5; y = t2; z = t 6. x = t2 + 6; y = t3; z = t 7. x = t; y = t2 + 1; z = t3 8. x = t2; y = t + 2; z = t3
9. x = t; y = t3 + 3; z = t2 10. x = t3; y = t + 4; z = t2 11. x = t3; y = t2 + 5; z = t 12. x = t2; y = t3 + 6; z = t 13. x = t; y = t2; z = t3 + 1 14. x = t2; y = t; z = t3 + 2 15. x = t; y = t3; z = t2 + 3 16. x = t3; y = t; z = t2 + 4
4
Задание 5
Вычислить первую и вторую квадратичные формы поверхности, заданной уравнением z = f(x; y).
1. z = x2 ¡ xy + y2 |
9. z = 2x2 ¡ xy + y2 |
||||
2. |
z = x2 |
¡ xy |
10. |
z = 2x2 |
¡ xy |
3. |
z = xy + y2 |
11. |
z = 2xy + y2 |
||
4. |
z = x2 |
+ xy + y2 |
12. |
z = 2x2 |
+ xy + y2 |
5. |
z = xy ¡ y2 |
13. |
z = 2xy ¡ y2 |
||
6. |
z = x2 |
+ xy |
14. |
z = 2x2 |
+ xy |
7. |
z = x2 |
¡ xy ¡ y2 |
15. |
z = 2x2 |
¡ xy ¡ y2 |
8. |
z = ¡x2 + xy ¡ y2 |
16. |
z = ¡2x2 + xy ¡ y2 |
Задание 6
Найти особые точки и вычислить первую и вторую квадратич- ные формы поверхности, заданной параметрически.
1. x = u + 1; y = v2; z = u + v + uv 2. x = u2 + 2; y = v; z = u + v ¡ uv 3. x = u + 3; y = v3; z = u + v + uv 4. x = u3 + 4; y = v; z = u + v ¡ uv 5. x = u3 + 5; y = v2; z = u + v + uv 6. x = u2 + 6; y = v3; z = u + v ¡ uv 7. x = u; y = v2 + 1; z = u + v + uv 8. x = u2; y = v + 2; z = u + v ¡ uv 9. x = u; y = v3 + 3; z = u + v + uv 10. x = u3; y = v + 4; z = u + v ¡ uv 11. x = u3; y = v2 + 5; z = u + v + uv 12. x = u2; y = v3 + 6; z = u + v ¡ uv 13. x = u; y = v2; z = u + v + uv
14. x = u2; y = v; z = u + v ¡ uv
5
15. x = u; y = v3; z = u + v + uv 16. x = u3; y = v; z = u + v ¡ uv
Задание 7
Поверхность задана параметрически. Найти:
a) уравнение касательной плоскости и нормали в точке r(0; 0);
b) первую и вторую квадратичные формы; c) гауссову и среднюю кривизны.
1. x = (1 + 4 cos u) cos v; y = (1 + 4 cos u) sin v; z = 4 sin u 2. x = (2 + 3 cos u) cos v; y = (2 + 3 cos u) sin v; z = 3 sin u 3. x = (1 + 2 cos u) cos v; y = (1 + 2 cos u) sin v; z = 2 sin u 4. x = (1 + 5 cos u) cos v; y = (1 + 5 cos u) sin v; z = 5 sin u 5. x = (3 + 2 cos u) cos v; y = (3 + 2 cos u) sin v; z = 2 sin u 6. x = (4 + 3 cos u) cos v; y = (4 + 3 cos u) sin v; z = 3 sin u 7. x = (5 + 2 cos u) cos v; y = (5 + 2 cos u) sin v; z = 4 sin u 8. x = (5 + 4 cos u) cos v; y = (5 + 4 cos u) sin v; z = 4 sin u 9. x = (1 ¡ 4 cos u) cos v; y = (1 ¡ 4 cos u) sin v; z = 4 sin u 10. x = (2 ¡ 3 cos u) cos v; y = (2 ¡ 3 cos u) sin v; z = 3 sin u 11. x = (1 ¡ 2 cos u) cos v; y = (1 ¡ 2 cos u) sin v; z = 2 sin u 12. x = (1 ¡ 5 cos u) cos v; y = (1 ¡ 5 cos u) sin v; z = 5 sin u 13. x = (3 ¡ 2 cos u) cos v; y = (3 ¡ 2 cos u) sin v; z = 2 sin u 14. x = (4 ¡ 3 cos u) cos v; y = (4 ¡ 3 cos u) sin v; z = 3 sin u 15. x = (5 ¡ 2 cos u) cos v; y = (5 ¡ 2 cos u) sin v; z = 4 sin u 16. x = (5 ¡ 4 cos u) cos v; y = (5 ¡ 4 cos u) sin v; z = 4 sin u
Задание 8
В базисе ~ej заданы векторы ~e10; ~e20; ~e30: Проверить, что они об- разуют базис в R3, найти координаты двойственного базиса ко-
векторов и найти координаты вектора x = (1; 2; 3)T в базисе ei0.
6
1. ~e10 = (1; 2; 3)T ;~e20 = (2; ¡2; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 2. ~e10 = (1; 1; 3)T ;~e20 = (3; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 3. ~e10 = (1; 1; 4)T ;~e20 = (4; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 4. ~e10 = (1; 1; 3)T ;~e20 = (3; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 5. ~e10 = (1; 1; 4)T ;~e20 = (4; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 6. ~e10 = (1; 1; 5)T ;~e20 = (4; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 7. ~e10 = (1; 1; 4)T ;~e20 = (5; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 8. ~e10 = (1; 1; 6)T ;~e20 = (5; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 9. ~e10 = (1; 1; 5)T ;~e20 = (6; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 10. ~e10 = (1; 1; 7)T ;~e20 = (6; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 11. ~e10 = (1; 1; 6)T ;~e20 = (7; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 12. ~e10 = (1; 1; 8)T ;~e20 = (7; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T :
13. ~e10 = (1; 1; ¡1)T ;~e20 = (2; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 14. ~e10 = (1; 1; 2)T ;~e20 = (¡1; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 15. ~e10 = (1; 1; ¡2)T ;~e20 = (2; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 16. ~e10 = (1; 1; 2)T ;~e20 = (¡2; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T :
Задание 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для данной замены переменных найти матрицу Якоби и обрат- |
||||||||||||||||||||||||
ную к ней матрицу. |
x20 |
; |
|
|
|
|
4. |
8 x2 |
= 3x10 |
¡ x30 |
; |
|
|
|
||||||||||
1. |
8 x2 |
= 3x10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x1 |
= x10 + 2x30 |
; |
|
|
|
|
|
x1 |
= x10 + 2x30 |
; |
|
|
|
||||||||||
2. |
< x3 = x10 +¡x20 |
|
|
|
2x30: |
|
5. |
< x3 = 2x10 + x20 |
|
|
x30: |
|||||||||||||
8 x2 |
= 3x10 |
+ 4x30 |
; |
|
|
8 x2 |
= 3x10 |
+ 2x30; |
|
|
||||||||||||||
|
: |
1 |
|
10 |
|
|
20¡ |
|
|
|
|
: 1 |
|
|
10 |
30 |
|
¡ |
|
|
||||
|
x = 2x |
+ x ; |
|
|
|
|
|
x = 2x |
+ x |
; |
|
|
|
|||||||||||
3. |
< x3 = x10 |
|
x202x30: |
|
6. |
< x3 = x10 + x20 + 2x30: |
||||||||||||||||||
8 x2 |
= 4x10 |
+ x20; |
|
|
|
|
8 x2 |
= 2x10 |
+ x20 |
|
|
x30 |
; |
|||||||||||
|
: |
1 |
= 2x |
10¡ |
|
|
30 |
; |
|
|
|
: 1 |
|
¡ |
20 |
+ 2x |
30 |
; |
|
|
||||
|
x |
|
+ 3x |
|
|
|
|
x |
= 3x |
|
|
|
||||||||||||
|
< x3 |
= 2x10 |
|
|
x20 |
|
|
|
2x30 |
: |
|
< x3 |
= |
|
x20 + 2x3¡0: |
|
|
|||||||
|
: |
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
: |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
x1 = x10 + 3x20; |
|
|
|
|
|
x1 = 3x10 + x30; |
||||||
7. |
8 x2 = 2x10 |
+ x20 |
|
|
x30; |
12. |
8 x2 |
= x10 |
x20; |
|
||||
8. |
< x3 = 2x20 + x30:¡ |
|
|
13. |
< x3 = 2x10¡+ x20 ¡ x30: |
|||||||||
8 x2 |
= 3x10 |
+ 2x30 |
; |
|
|
|
8 x2 |
= 2x30; |
|
|||||
|
: x1 |
= 2x10 |
+ x20 + 2x30; |
|
: x1 |
= x10 |
+ 2x20 + x30; |
|||||||
|
< x3 = x10 + x30: |
|
|
|
|
|
< x3 = x10 |
+ 3x20 |
x30: |
|||||
|
: x1 = x20 + 2x30; |
|
+ x30: |
|
: x1 = x10 |
+ x20 +¡2x30; |
||||||||
9. |
< x3 |
= x10 |
|
¡ 2x20 |
14. |
< x3 |
= x10 |
¡ x20 + x30: |
||||||
8 x2 |
= 4x10 |
+ x30; |
|
|
|
|
8 x2 |
= 2x20 + x30 |
; |
|||||
|
: x1 =¡x10 |
+ 2x30; |
|
|
|
|
: x1 = x10 + x20 + x30; |
|||||||
10. |
8 x2 = 3x10 |
¡ x30; |
|
|
|
15. |
8 x2 = 2x10 + x30; |
|||||||
|
|
< x3 = 2x10 |
+ x20 ¡ x30: |
|
< x3 = x20 ¡ x30: |
|
||||||||
|
|
: x1 = 2x10 |
+ x20 + x30; |
|
: x1 = x10 + x20 + x30; |
|||||||||
11. |
8 x2 = 2x30 |
; |
|
|
|
x30: |
16. |
8 x2 = x10 |
+ x30; |
|
||||
|
|
< x3 = x10 |
+ 3x20 |
¡ |
|
< x3 |
= 2x10 + x30: |
|||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
Задание 10
Найти координаты тензора (векторы ~e1;~e2;~e3;~e4 образуют базис пространства R4).
1. (~e1 + ~e2) - (~e1 ¡ ~e2) :
2. (~e1 + ~e2) - (~e1 + ~e2 + ~e3) :
3. ~e1 - ~e3 + (~e1 + 2~e2) - (~e1 + ~e3) ¡ (~e1 ¡ ~e2) - (~e1 + ~e2) : 4. (~e1 ¡ ~e2) - (~e1 + 2~e2 ¡ ~e3) + (~e1 - ~e1) :
5. (~e1 ¡ ~e2) - (~e3 + ~e4) ¡ 2 (~e1 - ~e3) :
6. (~e1 + 2~e2) - (~e3 + ~e4) ¡ (~e1 ¡ 2~e2) - (~e3 ¡ ~e4) : 7. (~e1 ¡ ~e2) - (~e1 + 2~e2) + (~e1 ¡ ~e4) - ~e1:
8. (~e1 ¡ ~e2) - (2~e1 ¡ ~e2) + ~e3 - ~e4:
9. (2~e1 + 3~e2) - (~e1 ¡ ~e3) ¡ (~e1 ¡ ~e4) - ~e3:
10. ~e1 - ~e3 + (~e1 - ~e2) ¡ (~e1 ¡ 3~e4) - (~e3 + ~e4) : 11. ~e1 - ~e4 + (~e1 + 3~e4) - (~e1 ¡ ~e3) :
12. ~e1 - ~e3 ¡ (~e1 + 2~e2) - (~e1 + ~e2 ¡ ~e4) :
13. (~e1 ¡ ~e4) - (~e2 + 2~e3) ¡ (~e1 + ~e2) - (~e1 + ~e2) : 14. (~e1 ¡ 2~e3) - (~e2 ¡ ~e4) + 2 (~e1 - ~e4) :
8
15. (~e2 + 2~e3) - (~e1 ¡ 2~e2) ¡ (~e1 ¡ 3~e2) - (~e3 + 2~e4) : 16. ~e1 - ~e2 ¡ (~e1 + 2~e4) - (~e1 + ~e2 ¡ ~e4) :
Задание 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти свертку тензора aji - bkt |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a) по индексам j è t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b) по индексам i è k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c) по всем индексам. |
|
; bkt = 2 |
|
|
0 3 |
|
|
|
|
|
||||||
1. aji = 2 0 |
1 |
2 3 |
1 |
0 |
: |
|
|
|
|
|||||||
4 |
1 |
0 |
1 |
5 |
|
4 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 5 |
|
|
|
|
|
|||||
2. aji = 2 1 |
0 |
1 3 |
; bkt = 2 |
0 |
1 |
1 3 |
: |
|
|
|
|
|||||
4 |
2 |
1 |
0 |
5 |
|
4 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
3 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
1 5 |
|
|
|
|
|
|||||
3. aji = 2 0 |
1 |
3 3 |
; bkt = 2 |
0 |
¡1 ¡1 3 |
: |
|
|
||||||||
4 |
0 |
1 |
0 |
5 |
|
4 |
1 |
¡1 |
0 |
5 |
|
|
|
|||
1 |
4 |
1 |
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
||||||
4 |
1 |
1 |
|
1 |
5 |
|
|
4 |
0 |
1 |
¡1 |
5 |
|
|||
2 ¡1 0 |
|
|
1 |
¡1 1 |
|
|||||||||||
4. aji = 2 |
¡1 1 ¡1 |
3; bkt |
= 2 |
0 |
¡1 ¡1 |
3: |
|
|||||||||
5. aji = 2 ¡1 |
0 0 |
3; bkt |
= |
2 ¡1 0 1 |
3 |
: |
||||||||||
|
1 |
1 |
¡1 |
|
|
|
4 |
1 |
|
¡1 |
¡1 |
|
||||
4 ¡1 ¡1 ¡1 5 |
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
5 |
|
|||||||
6. aji = 2 |
0 1 |
|
1 |
3; bkt |
= |
2 1 |
1 |
|
1 |
3 |
: |
|
||||
4 |
¡1 |
¡1 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
¡1 |
|
|
||
1 |
2 ¡1 5 |
|
|
4 0 |
0 |
|
¡1 5 |
|
|
|||||||
4 |
1 |
¡1 |
|
¡1 |
|
|
4 |
1 |
¡1 |
|
2 |
5 |
|
|
||
0 |
0 ¡3 5 |
|
|
0 ¡1 |
|
1 |
|
|
||||||||
7. aji = 2 |
2 |
¡1 1 |
3; bkt = 2 |
1 ¡1 |
|
2 |
3: |
|
|
9