новая папка 1 / 590418

Умножим скалярно y L на вектор ei L (i = 1, , k ), получим в си-

лу (27)

0= ( y,ei ) = (α1e1 + + αiei + + αk ek + αk +1ek +1 + + αnen ,ei ) =

=αi + αk +1(ek +1,ei ) + + αn (en ,ei ) ,

откуда αi = −αk +1(ek +1,ei ) − − αn (en ,ei ) (i = 1, , k ), то есть координаты αi (i = 1, , k) выражаются через координаты α j ( j = k + 1, , n) , которых

(n − k) штук, поэтому dim L = n − k .

1.9.Изоморфизм евклидовых пространств

Определение 15. Пространства E и E′ называются изоморфными, если между элементами x E и x′ E′ существует взаимно однозначное линейное отображение F : E → E′ , которое удовлетворяет следующим условиям:

1)F(x + y) = F(x) + F( y) для любых x, y E ;

2)F(α x) = α F(x) для любых x E , α R ;

3)(F(x), F( y)) = (x, y) для любых x, y E .

Теорема 7. Любые два евклидовых пространства E и E′ изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые размерности.

Доказательство.

Достаточность. Если dim E ≠ dim E′ , то построить взаимно однозначное отображение нельзя (см. доказательство в теории линейных пространств).

Пусть dim E = dim E′ = n . Построим отображение следующим обра-

зом.

Пусть {ei}in=1 , {ei′}in=1 – ортонормированные базисы пространств E и E′ соответственно, причем F(ei ) = ei′ (i = 1, , n) . Возьмем произвольный эле-

мент x E и разложим его по базису {e }n						: x = α e + α e			+ + α e . Поло-
	′	′		′	i i=1	1	1	2 2	n n
жим								– взаимно однознач-
	y = F(x) = α1e1 + α2e2		+ + αnen . Очевидно, что F
ное линейное отображение из E в E′ .
	Проверим условие 3). Возьмем произвольные векторы x, y E и раз-
ложим их по базису {e }n			,	получим
		i i=1
тогда	x = α1e1 + α2e2 + + αnen ,				y = β1e1 + β2e2 + + βnen ,
	′	′		′		′	′		′
	F(x) = α1e1	+ α2e2		+ + αnen , F( y)		= β1e1 +	β2e2	+ + βnen .

Найдем

(x, y) = α1β1 + α2β2 + + αnβn ,

(F(x), F( y)) = α1β1 + α2β2 + + αnβn = (x, y) .

21

2. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2.1. Основные понятия

Определение 16. Пространство E называется комплексным, если его элементы можно умножать на комплексные числа.

Определение 17. Комплексное линейное пространство E называется унитарным, если в нем каждой паре векторов x, y ставится в соответствие

комплексное число (x, y) , называемое скалярным произведением этих векторов, причем выполнены следующие условия:

1)(x, y) = ( y, x) ;

2)(x + y, z) = (x, z) + ( y, z) ;

3)(α x, y) = α (x, y) для любого α R ;

4)(x, x) > 0 для любого x ≠ 0.

Рассмотрим следствие из 1), 3):

(x,α y) = (α y, x) = α ( y, x) = α ( y, x) = α (x, y) = α (x, y) .

2.2.Свойства унитарных пространств

Теорема 8 (неравенство Коши – Буняковского). Для любых x, y E

(x, y)2 ≤ (x, x) ( y, y) .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Утверждение 8. Неравенство Коши – Буняковского становится ра-

венством тогда и только тогда, когда x = λ y .

Доказательство аналогично доказательству утверждения 1. Определение 18. Векторы x и y коллинеарны, если x = λ y .

Теорема 9. Унитарное пространство нормировано, если в нем определена норма вектора по формуле x = (x, x) .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.

С помощью нормы и скалярного произведения понятие угла между

векторами вводится следующим образом:

cosφ =

(x, y)

=

(x

, y)

.

(x, x) ( y, y)

x

y

Замечание. Если x = y , то cosφ = 1.

Определение 19. Два вектора x, y E

называются ортогональными,

если (x, y) = 0 .

Утверждение 9. Если векторы fi (i = 1, , n) образуют ортонорми-

рованную систему, то они линейно независимы. Доказательство аналогично доказательству утверждения 4.

22

Теорема 10. В n -мерном унитарном пространстве E существует ортонормированный базис.

Доказательство проведем методом математической индукции аналогично доказательству теоремы 4.

2.3.Матрица Грама

Выведем формулу для скалярного произведения в случае унитарных пространств.

Пусть E – n -мерное унитарное пространство, e1, , en – базис в E .

Рассмотрим gij = (ei ,ej ) = (ej ,ei ) = g ji .

Определение 20. Матрица

g11		g1n
Γ =		,
gn1		gnn

где gij = g ji , называется эрмитовой матрицей.

Возьмем произвольные векторы x, y E . Пусть

Найдем

x = ξ1e1 + ξ2e2 + + ξnen ,

y = η1e1 + η2e2 + +ηnen .

(x, y) =

n

n

n

n

ξiei , η jej

= (ei ,ej )ξiη j = ξ ТΓη ,

i=1

j=1

i=1 j=1

где

Γ = {g

}n

.

ij i, j=1

Найдем связь матриц Грама в разных базисах.

n

′

n

Пусть E – n -мерное унитарное пространство, {ei}i=1

, {ej

}j=1 – базисы

в

E . Разложим

базисные

векторы

e′j

( j = 1,2, , n)

по

векторам

ei

n

(i = 1, 2, , n) , получим ei′ = skiek . Элементы ski

образуют матрицу пере-

хода S = {ski}k ,i=1 от базиса {ei

j=1

к базису{ej }j=1 .

}i=1

n

n

′

n

Пусть

Γ = {g

ij

}n

,

g

ij

= (e ,e

)

–

матрица

Грама

в базисе {e }n

,

i, j=1

i j

i

i=1

′

′

n

′

′

′

′

n

, тогда

Γ = {gij }i, j=1 ,

gij

= (ei ,ej

) – матрица Грама в базисе {ej }j=1

n

n

n

n

n

n

g′

= (e′,e′ ) = (

s

e ,

s

e ) =

s

(e ,e )

=

s

g

,

mj

ki

s

mj

ki

s

ij

i

j

ki k

m

k m

km mj

то есть

k =1

m=1

k =1 m=1

k =1 m=1

′

Т

ΓS .

(28)

′

Γ = S

= 1, , n) – ортонормированные базисы пространства

Если {ei}, {ei

} (i

′

– единичные матрицы и в силу (28)

E , то Γ и Γ

23

I = S т

,

(29)

S

к базису {ej

где S = {ski}k ,i=1 – матрица перехода от базиса {ei}i=1

}j=1 .

n

n

′

n

Из (29) следует, что

S −1 =

т .

(30)

S

Определение 21. Матрица S называется унитарной, если

S т = S −1 .

(18)

Из (29) следует, что 1 =

S т

=

S т

=

S

2 , следовательно,

S

S

S

= ±1.

}n

Утверждение 10. Унитарная матрица S = {s

порождает отобра-

ki

k ,i=1

жение A ортонормированного базиса в ортонормированный базис. Доказательство аналогично доказательству утверждения 3.

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

Пример 1. Пусть в 3-мерном евклидовом пространстве дан канонический базис e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) , e3 = (0,0,1) . Построить в этом базисе

матрицу Грама для следующей билинейной формы:

b(x, y) = 2x1 y1 + 3x2 y2 + 7x3 y3 + 4x1 y3 + 4x3 y1 + 3x2 y3 + 3x3 y2 .

№ 1371 [5]. Найти ортогональную проекцию y и ортогональную составляющую h вектора x на линейное подпространство L : x = (5,2,−2,2) , a1 = (2,1,1, −1) , a2 = (1,1,3,0) , a3 = (1,2,8,1) .

№ 1374б [5]. Найти расстояние от точки, заданной вектором x , до линейного многообразия, заданного системой уравнений: x = (2,4,−4,2) , L

задано системой уравнений

x + 2x + x − x = 1		.
1	2 3 4
x1 + 3x2 + x3 − 3x4 = 2

№ 1358 [5]. Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов: f1 = (1,1,1, 2) ,

f2 = (1, 2, 3, − 3) .

№ 1360 [5]. Найти векторы, дополняющие следующие системы векто-

ров до ортонормированных базисов:	f1	1		,	1	,	1	,	1		,	f2	1		,	1	, −	1	, −	1
		=	2		2		2		2				=	2		2		2		2	.

№ 1362 [5]. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов: f1 = (1,1, −1, − 2) , f2 = (5, 8, − 2, − 3) , f3 = (3, 9, 3, 8) .

24

ЛИТЕРАТУРА

1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник / А. Г. Курош. –

М. : Лань, 2013. – 431 с.

2. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры : учебник /

А. И. Мальцев. – М. : Лань, 2009. – 470 с.

3.Окунев Л. Я. Высшая алгебра : учебник / Л. Я. Окунев. – М. :

Лань, 2009. – 335 с.

4.Окунев Л. Я. Сборник задач по высшей алгебре : учеб. пособие /

Л. Я. Окунев. – М. : Лань, 2009. – 184 с.

5.Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре : учеб. пособие для студ. физ.-мат. специальностей вузов / И. В. Проскуряков. – Изд. 8-е. – М. : Лаборатория базовых знаний, 2003. – 382 с. – (Технический университет. Математика).

6.Фаддеев Д. К. Задачи по высшей алгебре : учеб. пособие / Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. – М. : Лань, 2008. – 288 с.

7.Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре : учеб. пособие / Д. К. Фадде-

ев. – М. : Лань, 2007. – 416 с.

25

Учебное издание

Глушакова Татьяна Николаевна, Лазарев Константин Петрович, Бондаренко Юлия Валентиновна

ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Учебно-методическое пособие для вузов

Редактор В. П. Бахметьев Электронная верстка О. В. Нагаевой

Подписано в печать 22.01.2016. Формат 60×84/16. Уч.- изд. л. 1,4. Усл. п. л. 1,5. Тираж 50 экз. Заказ 950

Издательский дом ВГУ 394000, Воронеж, пл. Ленина, 10

Отпечатано в типографии Издательского дома ВГУ 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

26