новая папка 1 / 684241
.pdfся при выработке управленческих решений. К методам данной группы относят:
метод «метаплан», метод «635», метод «за-против», и другие.
Вторая группа включает методы: графические, семиотические, теоретико-
множественные, статистические, методы оптимизации, математической линг-
вистики, математической логики, теории поля, классической математики, ком-
бинаторики, топологии, комплексированные методы. К третьей группе методов относят имитационное динамическое и ситуационное моделирование, метод принятия решений, теории игр, исследования операций, информационного под-
хода и др.
Марковский случайный процесс (СП). СП называется марковским, ес-
ли его вероятностные характеристики в будущем для любого момента времени зависят только от его состояния в данный момент времени и не зависят от того,
как и когда система пришла в это состояние. Например, устройство состоит из двух узлов. Состояния системы: S0 – оба узла исправны, S1 – первый ремонти-
руется, второй исправен; S2 – второй ремонтируется, первый исправен; S3 – оба узла ремонтируются. При анализе строят граф состояний (рис. 5). В каждом из состояний система находится с предельной вероятностью pi , (i = 0, 1, 2, 3), ко-
торые являются искомыми.
Рис. 5 Граф состояний
Данная система с графом состояний имеет вид системы уравнений Кол-
могорова:
11
( 01 + 02 ) p0 = 10 p1 + 20 p2 ,( 10 + 13 ) p1 = 01p0 + 31p3 ,( 20 + 23 ) p2 = 02 p0 + 32 p3 ,( 31 + 32 ) p3 = 13p1 + 23p2 .
Решения данной системы (например, используя метод Гаусса) p0, p1, p2, p3.
Модели систем массового обслуживания (СМО) – вероятностные мо-
дели. Под СМО понимают системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание через каналы обслуживания. К СМО отно-
сят: посты ремонта и обслуживания клиентов, аудиторские фирмы, телефонные станции, отделы налоговых инспекций и др. При наличии СМО необходимо знание закона распределения случайной величины (СВ), дисциплины очереди,
механизма обслуживания.
Процессы «гибели и размножения». Граф состояний СМО представлен на рис. 6.
Рис. 6. Граф состояний СМО
Записывая уравнения Колмогорова для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:
01 p0 10 p1, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
p |
|
|
p |
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
1 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
........................ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
, |
|||||
|
|
k 1 |
1 |
k |
|
|||||||||
k 1,k |
|
|
|
|
|
k ,k |
|
|
|
|||||
........................ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p |
n 1 |
n,n 1 |
p |
n |
, |
|
||||||
|
n 1,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
к которой добавляется нормировочное условие
p0 p1 p2 ... pn 1.
Решая систему (*) и последнее уравнение, можно получить
12
|
|
|
|
|
01 |
|
12 01 |
|
|
n 1,n |
... 12 01 |
1 |
|
|
||
|
p |
|
1 |
|
|
|
... |
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
21 10 |
|
n,n 1... 21 10 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p 01 |
p |
, |
p |
|
|
12 01 p |
, …, |
p |
|
n 1,n... 12 01 |
p . |
|||||
2 |
|
|
||||||||||||||
1 |
10 |
0 |
|
|
0 |
|
n |
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
21 10 |
|
|
|
n,n 1... 21 10 |
В каждом из состояний система находится с предельной вероятностью pi ,
(i = 0, 1, 2, 3), которые являются искомыми.
Одноканальная СМО с отказами (рис. 6 - берутся только первые два со-
стояния S0, S1). Показатели эффективности: А – абсолютная пропускная спо-
собность (среднее число заявок в единицу времени), Q – относительная (сред-
няя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой), Ротк. – вероятность от-
каза. На канал поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслужива-
ний системой μ. Система имеет два состояния – S0 канал свободен, S1 занят. В
предельном состоянии мы имеем систему уравнений, согласно уравнениям Колмогорова):
p0 p1,p1 p0 ,
т.е. система вырождается в одно уравнение. Так как p0 + p1=1, то
p0 Q |
|
, p1 |
Pотк |
|
|
, A |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Многоканальная СМО с отказами (или задача Эрланга). Имеется n кана-
лов (см. рис.6, с. 12). На каждый канал поступает прямой поток заявок с интен-
сивностью λ, обратный поток обслуживаний μ. На графе (рис. 6) и в системе уравнений (*) каждый прямой поток – λ, обратный – nμ (n = 1,2… при переходе к соседнему левому состоянию), ρ = λ\μ – интенсивность нагрузки канала. Со-
ответственно решения pi преобразуются с учётом ρ (формулы Эрланга): p0 = (1+ρ + ρ2 \ 2!+ +…+ ρn \ n!)-1, p1 = ρp0, …, pn = ρn p0 \ n!
Имитационное моделирование (ИМ) в широком смысле слова пред-
ставляет собой целенаправленные серии многовариантных исследований на компьютере с применением математических моделей. Перечень задач, решае-
мых средствами ИМ: боевые действия, уличное движение, динамика населения,
13
управление процессом реализации инвестиций, рынок и конкуренция, управле-
ние проектами, экономика здравоохранения и др. При создании модели ИМ необходимо программное обеспечение – система моделирования. Она опреде-
ляется: технологией работы, набором языковых средств, сервисных программ,
приёмов моделирования. ИМ как особая информационная технология состоит из пяти этапов:
1) структурный анализ процессов. Структура общего моделируемого про-
цесса может быть представлена в виде графа, имеющего многослойную иерар-
хическую структуру.
2)формализованное представление модели. Временная, пространственная
ифинансовая динамики должны быть описаны на специальном языке (напри-
мер, GPSS, Pilgrim).
3)построение модели. Обычно это трансляция и редактирование связей.
4)верификация (калибровка).
5)проведение экстремального эксперимента с применением регрессивных моделей для оптимизации определённых параметров реального процесса.
Модели корреляционно-регрессивного анализа. Корреляционный ана-
лиз устанавливает степень тесноты и силы двух и более явлений – случайных величин (СВ), отбор факторов, влияющих на их связи. Регрессивный анализ устанавливает форму зависимости, а также решение задач экстраполяции и ин-
терполяции. В случае линейной регрессии и двух СВ уравнение имеет вид:
(или ), где X и Y система данных СВ. С этой це-
лью применяют метод наименьших квадратов: сумма квадратов отклонений
эмпирических групповых средних от значений |
yx |
i |
должна быть минимальной, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
2 |
l |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S yxi |
|
|
ni |
b0 b1xi |
|
|
ni |
min . |
|
yi |
yi |
||||||||
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основании необходимого условия экстремума функции двух перемен-
ных S S (b0 , b1) , приравниваются к нулю её частные производные, т.е.
dS |
l |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 b0 b1 xi |
|
yi |
ni 0, |
|||
|
|
||||||||
db0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
l |
|
|
|
|
|
|||
dS |
|
|
|
|
|
||||
2 b0 b1 xi |
yi xi ni 0, |
||||||||
|
|
|
|||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
||||
db1 |
|
|
|
|
|
откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
b0 ni |
b1 xi ni |
|
yi |
ni , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ni xi yi ni . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b0 |
xi ni b1 xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
b b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy x y |
|
|
|
xy x y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найдем byx |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решая систему: |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b x b x2 |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sx |
|
|
|
|
|
|
sx |
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||||
где sx2 – выборочная дисперсия переменной Х: sx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
xi ni |
|
|
|
2 ; µ – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
x |
|
|
i 1 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
выборочный корреляционный момент или выборочная ковариация1: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi y j nij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
x |
|
y |
|
i 1 j 1 |
|
x y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве примера рассмотрим зависимости между суточной выработ-
кой продукции Y (т) и величиной основных производственных фондов X (млн руб.) для совокупности 50 однотипных предприятий (табл. 2) (в таблице через xi и y j обозначены середины соответствующих интервалов, а ni и n j – соответ-
ственно их частоты).
1 Для выброчной ковариации переменных X и Y используется символ c o v( X ,Y ) .
15
Таблица 2
Зависимость между суточной выработкой продукции Y (т) и величиной основ-
ных производственных фондов X (млн руб.) для совокупности 50 однотипных предприятий
Величина |
Середины |
|
Суточная выроботка продукции, т (Y) |
|
Всего |
Групповая |
||
ОПФб млн. |
интервалов |
7-11 |
11-15 |
15-19 |
19-23 |
23-27 |
ni |
средняя, т |
руб. (Х) |
yj |
9 |
13 |
17 |
21 |
25 |
|
y |
|
xi |
|
i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20-25 |
22,5 |
2 |
1 |
- |
- |
- |
3 |
10,3 |
25-30 |
27,5 |
3 |
6 |
4 |
- |
- |
13 |
13,3 |
30-35 |
32,5 |
- |
3 |
11 |
7 |
- |
21 |
17,8 |
35-40 |
37,5 |
- |
1 |
2 |
6 |
2 |
11 |
20,3 |
40-45 |
42,5 |
- |
- |
- |
1 |
1 |
2 |
23,0 |
Всего nj |
|
5 |
11 |
17 |
14 |
3 |
50 |
- |
Групповая средняя xj, |
25,5 |
29,3 |
31,9 |
35,4 |
39,2 |
- |
- |
|
|
|
|||||||
млн. руб. |
|
|
|
|
|
|
|
Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 7). Такое изображение статистической зависимости называют
полем корреляции.
Рис. 7. Поле корреляций
С учётом формул получим зависимость Y g(x) b0 b1 (x) . В нашем слу-
чае yx =0, 6762x – 4, 79.
16
Библиографический список
1. Волкова, В.Н. Теория систем: учеб. пособие / В.Н. Волкова, А.А. Дени-
сов. − Москва: Высш. шк., 2006. − 511 с.
2. Дрогобыцкий, И.Н. Системный анализ в экономике: учеб. пособие /
И.Н. Дрогобыцкий. − Москва: Финансы и статистика, 2007. − 512 с.
3. Теория систем и системный анализ в управлении организациями: спра-
вочник: учеб. пособие / под ред. В.Н. Волковой и А.А. Емельянова. − Москва:
Финансы и статистика, 2006. − 848 с.
17
Системный анализ и моделирование систем
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
к практическим занятиям для студентов ЛГТУ
всех специальностей
Семиряжко Вера Александровна Лебедева Екатерина Владимировна Щербаков Артем Петрович
Редактор Т.А. Семенихина Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага офсетная.
Ризография. Объем 1,1 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № Издательство Липецкого государственного технического университета.
Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ 398055, Липецк, ул. Московская, 30.
18