76

А.Ж. Адиева, А.О.Байарыстанов

51

A2,2(p, T, σ) =

0<y<σT

0

u(z)dz y

v

(t) t

r

(x)dx

dt

,

y

σT

1−p

σT

−1

p

p−1

sup

y

u(z) z

2,3(p, T, σ) =

0<y<σT

r

(x)dx

dz 0

,

σT

σT

p

z

p−1

A

sup

−1

v1−p (t)dt

A(p, T, σ) = max

1A1,1(p, T, σ), A1,2(p, T, σ), A2,1(p, T, σ), A2,2(p, T, σ), A2,3(p, T, σ)2.

Теорема 1. Пусть 1 ≥ T > 0, 1 < p < ∞. Тогда неравенство (1) выполнено тогда и только тогда, когда A(p, T, σ) < ∞ и при этом имеет место оценка

1

A(p, T, σ) ≤ CT ≤ 2 · 8pp(p )p−1 · A(p, T, σ),

(9)

2

где CT - наилучшая постоянная в (1).

∞. Покажем

Доказательство теоремы

1. Достаточность. Пусть

A(p, T, σ)

<

выполнение неравенства (1). Так как

f(T ) = D1f(T ) = D1f(0) = 0

для

f

L RL2

(r, T ),

r

r

p,v

T

T

0

то интегрируя Dr2f(t) = g(t),

t ≤ T, имеем Dr1f(x) = −

T

x

x

g(t)dt или Dr1f(x) =

g(t)dt

0

x

g(t)dt используем

для всех 0 < x ≤ T и

g(t)dt

= 0. Далее представление Dr1f(x) = −

и Dr1f(x) = 0

x

при T > x ≥ σT

g(t)dt при 0 < x < σT . Тогда

f(z) = z

r−1(x) x

g(t)dtdx = z

g(t) z

r−1(x)dxdt,

(10)

T

T

T

t

при T > z ≥ σT

и

f(z) = T g(t) t r−1(x)dxdt − σT g(t) σT r−1(x)dxdt − z g(t)dt σT r−1(x)dx,

(11)

σT

σT

z

t

0

z

при z < σT .

Используя (10), (11), имеем

t r−1(x)dxdt pdz + σT u(z) T g(t) t r−1(x)dxdt−

T u(z)|f(z)|pdz = T u(z) T g(t)

0

σT

z

z

(x)dx

0

σT

σT

(12)

− g(t)

r−1(x)dxdt −

g(t)dt r−1

dz = F1

+ F2.

σT

σT

z

σT

p

z

t

0

z

52 Об одном переопределенном весовом дифференциальном неравенстве типа Харди . . .

Применяя теорему В, как в теореме 3.1, получаем
F1 = T u(z)		T g(t) t r−1(x)dxdt pdz ≤ 8pp(p )p−1				×
σT		z	z
				T
× max A1,1(p, T, σ), A1,2(p, T, σ)					v(t)|g(t)|pdt.	(13)
1				2σT

Теперь, оценим F2 :			g(t) t
F2 ≤ 3p−1& σT u(z) T
+	0	σT		σT
	u(z)	r−1(x)dx
σT	σT		p		z

r−1(x)dxdt pdz +		σT u(z)		σT g(t)	σT r−1(x)dxdt pdz+
		0		z	t
p

g(t)dt	dz' = 3p−1(F2,1 + F2,2 + F2,3).	(14)

0			z		0
Применяя неравенство Гельдера, имеем
F2,1	=	σT u(z)dz T		g(t) t	r−1(x)dxdt p	≤
						−
		0	σT	σT

≤

u(z)dz&

v1−p (t)

r−1(x)dx

dt'

v(t)|g(t)|pdt =

(15)

σT

T

t

p

p

1 T

0

σT

σT

σT

= A2,1(p, T, σ) T v(t)|g(t)|pdt.

σT

Для оценки F2,2, F2,3 применяем теорему А.

F2,2 = σT u(z)

σT g(t) σT r−1(x)dxdt pdz ≤ p(p )p−1A2,2(p, T, σ) σT v(t)|g(t)|pdt,

(16)

0

z

t

0

r−1(x)dx

F2,3 =

u(z)

g(t)dt

dz ≤ p(p )p−1A2,3(p, T, σ)

v(t)|g(t)|pdt. (17)

σT

σT

p

z

p

σT

0

z

0

0

Подставляя (15), (16) и (17) в (14) имеем

&T

F2 ≤ 3p−1 A2,1(p, T, σ) v(t)|g(t)|pdt+

	σT
+p(p )p−1	$A2,2(p, T, σ) + A2,3(p, T, σ)% σT v(t)|g(t)|pdt'.	(18)

0

А.Ж. Адиева, А.О.Байарыстанов

53

Эту оценку и оценку (13), подставляя в (12), получим

0T u(z)|f(z)|pdz ≤ 2 · 8pp(p )p−1 · A(p, T, σ) 0T v(t)|Dr2f(t)|pdt, f Wp,v2 (r, T ).

(19)

Так как

L RL2 (r, T )

W 2 (r, T ),

то из (19) следует, что неравенство (1) выполнено

p,v

p,v

с оценкой

CT ≤ 2 · 8pp(p )p−1 · A(p, T, σ)

(20)

для наилучшей постоянной CT в (1).

Необходимость. Пусть неравенство (1) выполнено с наилучшей постоянной CT

> 0.

Пусть

(0, σT ) = 1f

L1(0, σT )

∩Lp,v(0, σT ) : f

.2

K1−,p

0, f = 0

K1+,p

(σT , T ) =

f

L1

(σT , T )

Lp,v(σT , T ) :

f ≥

0, f = 0 ,

1

∩

≤

2

Покажем, что каждому f1 K1+,p(σT , T ) найдется f2 K1−,p(0, σT ), обратно для f2 K1−,p(0, σT ) найдется f1 K1+,p(σT , T ) такие, что для f(t) = f1(t), t (σT , T ) и f(t) =

T

f2(t), t (0, σT ) выполняется соотношение

0

f(t)dt = 0 и

T v(t)|f(t)|pdt = 2

T v(t)|f1(t)|pdt = 2

σT v(t)|f2(t)|pdt.

(21)

0

σT

0

+

v1−p (x)

Для f1 K1,p(σT , T ) положим f2(x) = −f1(ρ−1(x))

, x

(0, σT ).

v1−p (ρ−1(x))

Тогда f2 ≤ 0 и произведя замену ρ−1(x) = t, имеем

σT

σT

v1−p (x)

T

v1−p (ρ(t))

f2(x)dx = − f1(ρ−1(x))

dx = f1(t)

ρ (t)dt =

v1−p (ρ−1(x))

v1−p (t)

0

0

σT

T

v1−p (ρ(t))

T

= −

(22)

f1(t)

|ρ (t)|dt =

−

f1(t)dt.

v1−p (t)

σT

σT

σT

Здесь в последнем равенстве использовали (8). Из (22) следует

f2

(x)

dx <

T

σT

T

0

|

|

∞ и

σT

f1(t)dt +

0

f2(t)dt = 0

f(t)dt = 0. Опять, с помощью замены ρ−1(x) = t и используя

соотношения (8), имеем

σT

σT

f1(ρ−1

v1−p (x)

p

|f2(t)|pv(t)dt =

(x))

v(x)dx =

v1−p (ρ−1(x))

0

0

54 Об одном переопределенном весовом дифференциальном неравенстве типа Харди . . .

	= − |f1(t)|p				v−p (t)		v(ρ(t))ρ (t)dt = |f1(t)|pv(t)			v1−p (t) |ρ (t)|dt
	T				v−p (ρ(t))			T		v1−p (ρ(t))
	σT							σT
							= T |f1(t)|pv(t)dt.
							σT
Откуда следует (21). Обратно, для f2 K1−,p(0, σT ) положим
					f1(x) = −f2(ρ−1(x))			v1−p (x)
									.
								v1−p (ρ−1(x))
Тогда							v1−p (ρ−1(x))dx = − |f2(t)|			v1−p (t) ρ (t)dt =
	f1(x)dx =			f2(ρ−1(x))
T		T						σT		v1−p (ρ(t))
							v1−p (x)
σT		σT					0

=σT |f2(t)|v1−p (ρ(t))|ρ (t)|dt = σT |f2(t)|dt < ∞. v1−p (t)

0				0
	T		σT		T		σT		T
Следовательно,	σT	f1(t)dt −	0	|f2(t)|dt =	σT	f1(t)dt +	0	f2(t)dt =	0	f(t)dt = 0.

Аналогичным образом выполняется и (21).

Совокупность функций f(t) = f1(t) при t (σT , T ) и f(t) = f2(t) при t (0, σT ),

T

T

где f1 K1+,p(σT , T ), f2 K1−,p(0, σT ) и для которых выполняется 0

f(t)dt = σT

f1(t)dt +

σT

f2(t)dt = 0 и соотношение (21), обозначим через K1,p(0, T ).

0

f

LR W 2 (r, T )

По условию

неравенство

(1)

выполняется. Так

как условие

p,v

эквивалентно условию Dr2f = g L˜p,v(0, T ) = g Lp,v(0, T ),

g(t)dt = 03.

T

0

То из (1) и (12) следует, что неравенство (1) эквивалентно неравенству

T u(z) T

g(t) t r−1(x)dxdt pdz +

σT u(z) T g(t) t r−1(x)dxdt − σT g(t) σT r−1(x)dxdt−

z

σT

p

T

σT

z

z

0

σT

σT

z

t

−

g(t)dt

r−1(x)dx

dz ≤ CT

v(t)|g(t)|pdt,

g L˜p,v(0, T )

(23)

0

z

0

Причем, наилучшие постоянные в (1) и в (23) совпадают.

˜

(0, T ). Поэтому неравенство (23) выполнено для всех

Очевидно, что K1,p(0, T ) Lp,v

g K1,p(0, T ). Так как для g K1,p(0, T )

g(t) = g1(t) при t (σT , T ) и g(t) = g2(t) при

А.Ж. Адиева, А.О.Байарыстанов

55

t (0, σT ), где g1 K1+,p(σT , T ), g2 K1−,p(0, σT ), то, подставляя g K1,p(0, T ) в (23), получим

T u(z) T g1(t)				t r−1(x)dxdt pdz
σT		z		z
+ σT u(z) T g1(t) t r−1(x)dxdt + σT |g2(t)| σT r−1(x)dxdt+							(24)
	0	σT		σT	z	t
+	z	|g2(t)|dt	σT r−1(x)dx pdz ≤ CT			T v(t)|g(t)|pdt, g K1,p(0, T ).	(25)
	0		z		0

Так как все слагаемые в левой части (25) неотрицательные, то с учетом (21),

выполнены неравенства			p	T
T	T	t

σT

σT

0

σT

0

σT

u(z)	g1(t)	r−1(x)dxdt	dz ≤ 2CT		v(t)|g1	(t)|pdt,	g1	K1+,p(σT , T ),
z	z			σT
u(z)dz T g1(t) t r−1(x)dxdt p ≤ 2CT				T v(t)|g1		(t)|pdt,	g1	K1+,p(σT ,T ),
	σT	σT		σT
u(z) σT |g2(t)|		σT r−1(x)dxdt pdz ≤ 2CT			σT v(t)|g2(t)|pdt,		g2 K1−,p(0, σT ),
z		t	p	0
σT		p z			σT

	u(z)	r−1(x)dx	|g2(t)|dt dz ≤ 2CT v(t)|g2(t)|pdt, g2 K1−,p(0, σT ).
0	z	0	0

Из первого неравенства на основании теоремы В, со второго неравенства в силу неравенства Гельдера, а с третьего и четвертого неравенств на основании теоремы А получаем нижнюю оценку постоянной CT , объединяя эти оценки и с учетом (21), в итоге получаем оценку

1

2A(p, T, σ) ≤ CT ,

которая вместе с (20) дает (9). Теорема 1 доказана.

5 Заключение

Целью работы является получение необходимых и достаточных условий выполнения неравенства (1). Для достижения поставленной цели использовались весовые неравенства Харди и типа Харди с ядром и полученные результаты могут быть применены для установления осцилляционных свойств диференциального уравнения четвертого порядка в окрестности конечной особой точки и, связанные с ними, спектральных характеристик некоторых дифференциальных операторов.

56 Об одном переопределенном весовом дифференциальном неравенстве типа Харди . . .

6 Благодарности

Работа выполнена при поддержке грантового финансирования проектов Министерством образования и науки Республики Казахстан (грант № АР05130975, 2018-2020 годы).

Список литературы

[1]Adiyeva A., Oinarov R. Weighted inequality and oscillatory properties of a class of fourth order di erential equations// Nonlinear Studies. - 2019. - Vol. 26, No. 4. -P. 741-753.

[2]Opic B. and Kufner A. Hardy-Type Inequalities. - Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman Scientific and Technical, Harlow. -1990. -344p.

[3]Абылаева А.М.,Байарыстанов А.О.,Ойнаров Р. Весовое дифференциальное неравенство Харди на множестве

˚ ( )// Сиб.Мат.Журнал. -2014. -Т.55,№3. -P.477-493.

AC I

[4]Kalybay A. A. One-dimensional di erential Hardy inequality//J.Ineq.Appl,(2017) 2017:21 DOI 10.1186/s13660-017-1293- 3.

[5]Степанов В. Д. Об одном весовом неравенстве типа Харди для производных высших порядков// Тр. МИАН СССР.

-1989. -Т.187. -C.178–190.

[6]Kufner A. Higher order Hardy inequalities// Bayreuth. Math. Schr. - 1993. -Vol.44. -P.105-146.

[7]Куфнер А., Хейниг Г.П. Неравенство Харди для производных высших порядков// Тр. МИАН СССР. -1990. -T.192. -P.105–113 ( Kufner A. and Heinig H.P. Hardy’s inequality for higher order derivatives // Proc. Steklov Inst. Math. -1992. -Vol.192. -P.113-121.)

[8]Kufner A, Wannebo A. Some remarks to the Hardy inequality for higher order derivatives// in: General Inequalities (Oberwolfach, -1990), Birkhauser, Basel. -1992. -P. 33–48.

[9]Kufner A., Kuliev K. and Persson L.-E. Some higher order Hardy inequalities// J. Inequal. Appl. -2012. 2012:69. -P.14.

[10]Sinnamon G. Kufner’s conjecture for higher order Hardy inequalities// Real. Anal. Exchange. -1995. -Vol.21(2). -P.590- 603.

[11]Sinnamon G. A weighted gradient inequality // Proc.Royal.Soc. Edinburg A. -1989. -Vol.111. -P.329-335.

[12]Kalybay, A. A., Persson, L.-E. Three weights higher order Hardy inequalities// Function Spaces and Applications.-2006. -Vol. 4(2). -P. 63-191.

[13]Kalybay, A. A. A Generalization of the weighted Hardy inequality for one class of integral operators// Siberian Math. J. -2004. -Vol.45, No.4. -P.100-111.

[14]Kufner A.,Simader C.G. Hardy inequalities for overdetermined classes of functions// Z. Anal.Anwendungen. -1997. No 16(2). -P.387-403.

[15]Kufner A.,Sinnamon G. Overdetermined Hardy inequalities// J.Math.Anal. Appl. -1997. -Vol.213. -P.468-486.

[16]Kufner A.,Lienfelder H. On overdetermined Hardy inequalities// Math. Bohem. -1998. -Vol.123(3), -P.279-293.

[17]Nasyrova M. and Stepanov V. D. On maximal overdetermined Hardy’s inequality of second order on a finite interval// Math. Bohem. -1999. -Vol.124. -P.293–302.

[18]Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type. - World Scientific., New Jersey-London-Singapore-Hong Kong. - 2003.

[19]Kufner A., Persson L.-E., Samko N. Weighted inequalities of Hardy type. - World Scientific. Second Edition. - 2017.

[20]Nasyrova M., Stepanov V.D. On weighted Hardy on semiaxis for functions vanishing at the endpoints// J. Ineq. Appl. - 1997, -Vol.1, No.3. -P.223-238.

[21]Nassyrova M. Weighted inequalities involving Hardy-type and limiting Geometric Mean Operators. Doctorol thesis. Depatment of Mathematics, Lulea University of Technology,Sweeden. - 2002.

А.Ж. Адиева, А.О.Байарыстанов

57

[22]Kufner A., Maligranda L. and Persson L.-E. The Prehistory of the Hardy Inequality// Amer. Math. Monthly. -2006. -Vol.113(8). -P.715–732.

[23]Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. -1985. - 416 c.

[24]Ойнаров Р. Двусторонние оценки нормы некоторых классов интегральных операторов// Труды мат.института им.В.Стеклова. -1993. -Т. 204. -C.240-250.

References

[1]Adiyeva A., Oinarov R. Weighted inequality and oscillatory properties of a class of fourth order di erential equations, Nonlinear Studies vol. 26, no 4 (2019): 741-753.

[2]Opic B. and Kufner A. Hardy-Type Inequalities, Pitman Research Notes in Mathematics Series, Longman Scientific and Technical, Harlow (1990): 344

˚( )

[3]Abylaeva A.M.,Bajarystanov A.O.,Ojnarov R. Vesovoe di erencial’noe neravenstvo Hardi na mnozhestve AC I [A weight-

ed di erential hardy inequality on ˚ ( )] Sib.Mat.Zhurnal vol.55, no 3 (2014): 477-493.

AC I

[4]Kalybay A. A. One-dimensional di erential Hardy inequality, J.Ineq.Appl (2017) 2017:21 DOI 10.1186/s13660-017-1293-3.

[5]Stepanov V. D. Ob odnom vesovom neravenstve tipa Hardi dlja proizvodnyh vysshih porjadkov [On a weighted inequality of Hardy type for derivatives of higher order] Tr. MIAN SSSR. vol.187 : 178–190.

[6]Kufner A. Higher order Hardy inequalities, Bayreuth. Math. Schr. vol.44 (1993): 105-146.

[7]Kufner A., Hejnig G.P. Neravenstvo Hardi dlja proizvodnyh vysshih porjadkov [Hardy’s inequality for higher order derivatives] Tr. MIAN SSSR vol.192 (1990): 105–113 [Kufner A. and Heinig H.P. Hardy inequality for higher order derivatives, Proc. Steklov Inst. Math. vol.192 (1992):113-121.]

[8]Kufner A, Wannebo A. Some remarks to the Hardy inequality for higher order derivatives, in: General Inequalities (Oberwolfach, -1990), Birkhauser, Basel (1992): 33–48.

[9]Kufner A., Kuliev K. and Persson L.-E. Some higher order Hardy inequalities, J. Inequal. Appl. 2012:69 (2012): 14.

[10]Sinnamon G. Kufner’s conjecture for higher order Hardy inequalities, Real. Anal. Exchange vol.21(2) (1995): 590-603.

[11]Sinnamon G. A weighted gradient inequality, Proc.Royal.Soc. Edinburg A. vol.111 (1989): 329-335.

[12]Kalybay, A. A., Persson, L.-E. Three weights higher order Hardy inequalities, Function Spaces and Applications vol. 4(2) (2006): 63-191.

[13]Kalybay, A. A. A Generalization of the weighted Hardy inequality for one class of integral operators, Siberian Math. J. vol.45, no 4 (2004): 100-111.

[14]Kufner A.,Simader C.G. Hardy inequalities for overdetermined classes of functions, Z. Anal.Anwendungen no 16(2)(1997): 387-403.

[15]Kufner A.,Sinnamon G. Overdetermined Hardy inequalities, J.Math.Anal. Appl. vol.213(1997): 468-486.

[16]Kufner A.,Lienfelder H. On overdetermined Hardy inequalities, Math. Bohem. vol.123(3)(1998): 279-293.

[17]Nasyrova M. and Stepanov V. D. On maximal overdetermined Hardy’s inequality of second order on a finite interval, Math. Bohem. vol.124 (1999): 293–302.

[18]Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type, World Scientific., New Jersey-London-Singapore-Hong Kong (2003).

[19]Kufner A., Persson L.-E., Samko N. Weighted inequalities of Hardy type. Second Edition, World Scientific (2017).

[20]Nasyrova M., Stepanov V.D. On weighted Hardy on semiaxis for functions vanishing at the endpoints, J. Ineq. Appl. vol.1, no 3 (1997): 223-238.

[21]Nassyrova M. Weighted inequalities involving Hardy-type and limiting Geometric Mean Operators, Doctorol thesis. Depatment of Mathematics, Lulea University of Technology,Sweeden (2002).

58Об одном переопределенном весовом дифференциальном неравенстве типа Харди . . .

[22]Kufner A., Maligranda L. and Persson L.-E. The Prehistory of the Hardy Inequality, Amer. Math. Monthly. vol.113(8)(2006): 715–732.

[23]Maz’ja V.G. Prostranstva S.L.Soboleva [Sobolev spaces] (L.: Izd-vo Leningr. un-ta, 1985): 416

[24]Ojnarov R. Dvustoronnie ocenki normy nekotoryh klassov integral’nyh operatorov [Two-sided norm estimates for certain classes of integral operators], Trudy mat.instituta im.V.Steklova vol. 204(1993): 240-250.

ISSN 1563-0277, eISSN 2617-4871	Journal of Mathematics, Mechanics, Computer Science. № 1(105). 2020 59
МРНТИ 27.29.17, 27.29.23	https://doi.org/10.26577/JMMCS.2020.v105.i1.06

1С.А. Айсагалиев , 2Г.Т. Корпебай

1д.т.н., профессор, E-mail: [e-mail]

2магистрант, E-mail: [e-mail]

Казахский национальный университет имени аль-Фараби, г. Алматы, Казахстан

ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Предлагается метод решения задачи оптимального быстродействия для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями из заданных множеств при наличии фазовых и интегральных ограничений, а также голономных связей. В отличие от известных методов решения задачи оптимального быстродействия разработан новый подход к проблеме быстродействия в виде принципа погружения. Принцип погружения создан на основе исследования разрешимости и построение общего решения интегральное уравнения.

Основными результатами являются:

–необходимое и достаточное условия существования решения одного класса интегрального уравнения и построение его общего решения;

–выделение всех множеств управлений, каждый элемент которого переводит траекторию системы из любого начального состояния в любое желаемое конечное состояние для линейных систем;

–предлагаемый принцип погружения позволяющий свести исходную краевую задачу оптимального быстродействие с ограничениями к специальной начальной задаче оптимального управления;

–необходимое и достаточное условия существования допустимого управления;

–разработан алгоритм решения задачи оптимального быстродействия с ограничениями для линейных систем любого порядка.

Полученные результаты являются решениями актуальных проблем теории оптимального быстродействия с ограничениями имеющие многочисленные приложения.

Разработан новый метод решения задачи оптимального быстродействия линейных систем с краевыми условиями, при наличии фазовых, интегральных ограничений и голономных связей. Создана общая теория краевых задач оптимального быстродействия имеющая многочисленные приложение в естественных науках, технике, экономике.

Принципиальное отличие предлагаемого метода от известных методов состоит в том, что исходная задача погружается в задачу управляемости с управлениями из функциональных пространств с последующим сведением к начальной задаче оптимального управления.

Ключевые слова: Оптимальное быстродействие, фазовые и интегрального ограничения, голономные связи, принцип погружения, интегральное уравнение.

1С.Ә. Айсағалиев, 2Г.Т. Көрпебай

1т.ғ.д., профессор, E-mail: [e-mail]

2магистрант, E-mail: [e-mail] Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетi, Алматы қ., Қазақстан

Шенелген сызықты жүйелердiң тиiмдi тез әсер ету теориясындағы интегралдық теңдеу

c 2020 Al-Farabi Kazakh National University

60	С.А. Айсагалиев, Г.Т. Корпебай

Фазалық және интегралдық шектеулерi, сондай-ақ голондық байланыстары бар болатын берiлген жиындардан шекаралық шарттары бар сызықты қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшiн тиiмдi тез әрекет ету есебiн шешу әдici үсынылады. Тиiмдi тез әрекет ету есебiн шешудiң белгiлi әдiстерiне қарағанда, батыру қағидасы түрiнде тиiмдi тез әрекет ету проблемасына жаңа көзқарас әзiрленi. Батыру қағидасы интегралдық теңдеудiң жалпы шешiмiн қүру және шешiмдiлiгiн зерттеу негiзiнде қүрылған.

Алынатын негiзгi нәтижелер:

–бiр классты интегралдық теңдеулердiң шешiмiнiң бар болуының қажеттi және жеткiлiктi шарттары жане оның жалпы шешiмiн құру;

–әрбiр элементi сызықты жүйенiң траекториясын кез келген бастапқы күйден кез келген қалаған соңғы күйге ауыстыратын басәрудың барлық жиындарын таңдау;

–ұсынылған батыру қағидасы шектеулерi бар тиiмдi тез әсер етудiң бастапқы шекаралық есебiн тиiмдi басқарудың арнайы бастапқы есебiне келтiруге мүмкiндiк бередi;

–мүмкiн болатын басқарудың қажеттi және жеткiлiктi шарттары;

–кез келген реттi сызықтық жүйелер үшiн шектеулерi бар тиiмдi тез әсер ету есебiн шешу алгоритмi әзiрлендi.

Алынған нәтижелер көптеген қосымшалары бар болатын шектеулерi бар тиiмдi тез әсер ету теориясының өзектi мәселелерiнiң шешiмi болып табылады.

Фазалық және интегралдық шектеулерi, сондай-ақ голондық байланыстары бар болатын берiлген жиындардан шекаралық шарттары бар сызықты қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшiн тиiмдi тез әрекет ету есебiн шешудiң жаңа әдici құрылған. Жаратылыстану ғылымдарда, техникада, экономикада көптеген қосымшалары бар тиiмдi тез әсер ету шекаралық есептерiнiн жалпы теориясы құрылды.

Ұсынылған әдiсiң белгiлi әдiстерден принципиалды айырмашылығы бастапқы есеп тиiмдi басқарудың бастапқы есебiне келтiрiлетiн функционалдық жиында анықталған басқарулары бар басқарымдылық есебiне келтiрiледi.

Түйiн сөздер: Тиiмдi тез әсер ету, фазалық шектеулер, голономдық байланыстар, батыру қағидасы, интегралдық теңдеу.

1S.А. Aisagaliev, 2G.T. Korpebai

1Dr.Sci., professor, E-mail: [e-mail] 2Master Student, E-mail: [e-mail]

Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan

Integral equation in the theory of optimal speed of linear systems with constraints

We propose a method for solving the optimal speed problem for linear ordinary di erential equations with curve conditions from given sets in the presence of phase and integral constraints, as well as holonomic connections. In contrast to the known methods of solving the problem of optimal performance, a new approach to the problem of performance in the form of the principle of immersion is developed. The immersion principle is based on the study of solvability and the construction of a General solution of the integral equation.

The main results are:

–necessary and su cient conditions for the existence of a solution of one class of integral equation and the construction of its General solution;

–selection of all sets of controls, each element of which translates the trajectory of the system from any initial state to any desired final state for linear systems;

–the proposed immersion principle allows reducing the initial boundary value problem of optimal performance with restrictions to a special initial problem of optimal control;

–necessary and su cient conditions for the existence of acceptable management;

–an algorithm for solving the optimal performance problem with constraints for linear systems of any order has been developed.

The results obtained are solutions to current problems in the theory of optimal performance with restrictions that have numerous applications.