26. Частные производные функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.

Теорема 1(для функции двух переменных)

Пусть функция f(x,y) определенна со своими частными производными fx,fy,fxy,fyx в некоторой окрестности точки (x0,y0), и при этом fxy и  fyx непрерывны в этой точке. Тогда  эти производные равны ( результат не зависит от порядка дифференцирования).

fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)

Теорема 2(обобщение)

Если у функции n переменных смешанные частные производные m-го порядка непрерывны в некоторой точке, а производные низших порядков непрерывны в окрестности этой точки, то частные производные порядка m  не зависят от порядка дифференцирования.

<Вернуться назад>

27. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал.

Обозначения:  или   – частная производная по «икс»  или   – частная производная по «игрек»

Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:

И по неоднократным просьбам читателей, полный дифференциал второго порядка:

Пусть функция   дифференцируема в точке  , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно   и нелинейного членов:

где   при  .

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке   равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента  .

<Вернуться назад>

28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

Локальный экстремум функции двух переменных       Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции 

     Если   - точка экстремума функции f, то

 и   или 

     Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции 

     Обозначим   

(Также принято обозначать: D-M_1,2,3 ; A,B,C – Uxx_, Uxy, …)

     Если D > 0, A > 0, то   - точка минимума.

     Если D > 0, A < 0, то   - точка максимума.

     Если D < 0, экстремума в точке   нет.

     Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.

Пример от 3х переменных:

Решение  Найдем стационарные точки заданной функции, то есть точки, в которых выполняется необходимое условие существования экстремума. Для функции трех переменных   стационарные точки (координаты точек) находятся из системы  Для заданной функции  ,  ,   

и система примет вид  Решениями системы являются   и  Получили две стационарные точки   и  . Для проверки достаточных условий экстремума в стационарной точке необходимо определить знаки определителей  ,   и   в этой точке. Найдем  ,  ,  ,  ,  ,  . Для точки    ,

,  .

Так как  ,  ,  , то в точке   функция имеет максимум, при этом  . Для точки    ,

,

.

Так как  ,  ,  , то в точке   функция не имеет экстремума.

<Вернуться назад>

Справка

1. Q: Как перейти по ссылке на определенный вопрос?

A: Нажать на ссылку, потом - на появившуюся ссылку под ней:

Или “ctrl + ЛКМ”.

2. Q: Как добавить закладку?

A: Выделить фрагмент текста, на который будет сделана закладка, нажать в верхнем меню “Вставка” -> “Закладка”

3. Q: Как добавить ссылку на закладку?

A: Выделить текст будущей ссылки, нажать сочетание “ctrl + K”, кликнуть в появившеся меню “Закладки >” и выбрать нужную закладку.

4. Q: Как вставить разделитель после вопроса, чтобы следующий всегда был на новой странице?

A: Нажать ctrl + Enter

Спасибо!

Всем, кто писал ответы на вопросы:

1. Линар Саитов

2. Арсений Автомонов

3. Хитров Николай

<Вернуться назад>

By IKBO-08-16 & IKBO-13-17

2016-2018

©mirea