Решение

Событие, состоящее в том, что уставной фонд банка свыше 100 млн. руб., обозначим через А. По условию р(А) = 0,2. Тогда q = 1–p = 1–0,2 = 0,8.

Требуется найти вероятности: а) Р₂₀₀₀(300); б) Р₂₀₀₀(300 ≤ m ≤ 400)

а) Для больших значений n и m применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

P_n(m) ≈ ,

где x_m = , φ(x) = – плотность нормального распределения.

x_m = = = = = –5,59

По таблице значений функции φ(x) находим φ(–5,59) = 6,54·10^–8.

P₂₀₀₀(300) ≈ = = = = 0,3656·10^–8

б) Для больших значений n и m применим интегральную Используем теорему Муавра-Лапласа:

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то для любого интервала (a, b) имеем:

Р(a ≤ m ≤ b) = P ≈

где m – число появлений события А в n испытаниях, q =1–p.

Ф₀(х) = – нормированная функция Лапласа.

Р(300 ≤ m ≤ 400) = P =

P = P =

= = ≈ = 0 + Ф₀(5,59) =

= 0 + 0,499999989 = 0,499999989

Ответ: P₂₀₀₀(300) ≈ 0,3656·10^–8, Р(300 ≤ m ≤ 400) = 0,499999989

7.2. Записи страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет предъявляли претензии на полученные страховки. Для проверки было отобрано 4 человека, имеющих полисы. Составить ряд распределения числа претензий, предъявленных по данным полисам (будем считать, что по каждому полису может быть предъявлена только одна претензия). Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа претензий. Построить функцию распределения F(x) и её график.

Решение

Пусть А – событие, состоящее в том, что держатель страхового полиса предъявил претензию на страховку. Вероятность такого события равна Р(А) = 30/100 = 0,3

Число m таких событий для n страховщиков подчиняется биномиальному распределению вероятности события А:

p_n(m) = = ,

где р = 0,3 – вероятность осуществления события А в одном случае,

q = 1–p = 1–0,3 = 0,7 – вероятность противоположного события: страховщик не предъявил претензию.

Для m = 0, 1, 2,3, 4 найдем вероятность того, что из 4-х держателей страхового полиса m предъявили претензии.

P₄(0) = = = = 0,2401

P₄(1) = = = = 4·0,1029 = 0,4116

P₄(2) = = = = = 0,2646

P₄(3) = = = = 4·0,0189 = 0,0756

P₄(4) = = = = 0,0081

Результаты сведем в таблицу ряда распределения случайной величины x = m

x	0	1	2	3	4
p(x)	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

Имеем: = 0,2401+0,4116+0,2646+0,0756+0,0081 = 1

Математическое ожидание величины Х:

M(x) = = 0·0,2401+1·0,4116+2·0,2646+3·0,0756+4·0,0081 =

= 0+0,4116+0,5292+0,2268+0,0324 = 1,2

Математическое ожидание случайной величины X²:

M(x²) = = 0²·0,2401+1²·0,4116+2²·0,2646+3²·0,0756+4²·0,0081 =

= 0+0,4116+1,0584+0,6804+0,1296 = 2,28

Дисперсия случайной величины х:

D(X) = M(X²)–[M(X)]² = 2,28–1,2² = 2,28–1,44 = 0,84

Отсюда находим среднеквадратическое отклонение;

σ(X) = = ≈ 0,9165

Построим функцию распределения F(X) случайной величины x:

x	0	1	2	3	4	5
p(x)	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081	0
F(x)	0	0,2401	0,6517	0,9163	0,9919	1

Строим график функции распределения F(X). = P(x ≤ X

Задача № 8

Для непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить графики функций F(x), f(x) .

8.2. F(x) =