3.2. Частица в одномерной потенциальной яме конечной глубины

Рассмотрим частицу, находящуюся в области потенциальной прямоугольной ямы конечной глубины (рисунок 4). Такая модель качественно описывает движение заряженной частицы, например, электрона, вблизи атома и применяется в атомной физике и физике твердого тела. Пусть потенциальная энергия частицы имеет вид

Рисунок 4

(18)

Рассмотрим сначала случай , т.е. будем считать, что частица находится в яме. Уравнение Шрёдингера в областях I и III ( вне потенциальной ямы) записывается в виде

. (19)

Вводя обозначение

, (20)

получаем

. (21)

Решения этого уравнения имеют вид

(22)

(23)

Для того, чтобы волновая функция была ограничена, нужно потребовать, чтобы и .

В области II , т.е. внутри потенциальной ямы, уравнение Шрёдингера

(24)

имеет осциллирующее решение

, (25)

где 

 . (26)

Таким образом, волновые функция частицы для данной задачи имеют вид

(27)

Сшивая волновые функции и их производные в точках и , получаем два соотношения

(28)

которые легко привести к виду

(29)

Исключая из этих двух соотношений , приходим к выражению

(30)

которое и определяет вид энергетического спектра частицы в яме. Отметим, что отрицательные значения и не удовлетворяют условию задачи, поскольку левая часть (30) неотрицательна.

В силу того, что аргумент функции не может превосходить единицу

, (40)

Причем значения ограничены величиной

.(41)

Покажем с помощью графического метода, на рисунке 5, что энергия частицы в яме квантуется, т.е. энергетический спектр, определяемый уравнением (30) , имеет дискретный характер. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (30) в зависимости от (рисунок 5) .

Рисунок 5

График левой части представляет собой прямую линию, наклон которой возрастает с шириной ямы . Графики правой части уравнения (30) для значений представлены на рисунке кривыми , и . Точки пересечения прямой с кривыми определяют корни уравнения (30). Таким образом, спектр значений , а, следовательно, и спектр связанных с ним значений энергии частицы будет дискретным. Чем больше ширина ямы , т.е. чем круче идет прямая , тем с большим числом кривых она пересекается, следовательно тем больше энергетических уровней находится в яме. При в яме может находиться энергетических уровней, т.е. может существовать связанных состояний частицы в яме.

При уменьшении глубины ямы величина , а, следовательно, и число уровней в яме уменьшается. При

,(42)

т.е. при

(43)

в яме остается лишь один энергетический уровень. Подчеркнем, что в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины всегда имеется по крайней мере один энергетический уровень, т.е. одно связанное состояние частицы.

Легко убедиться, что энергетический спектр (30) при бесконечном возрастании глубины ямы, т.е. при , переходит в полученный ранее спектр для одномерной ямы с бесконечно высокими стенками (19).

На рисунке 6 приведен качественный вид волновых функций (27).

Рисунок 6

Внутри потенциальной ямы волновые функции имеют вид синусоид, а вне ямы убывают по экспоненциальному закону. Отметим, что для состояний с большей энергией (и, следовательно, меньшей разностью ) волновая функция имеет большие значения на краях ямы и медленнее спадает по мере удаления от ямы.