1.4. Теплопроводность при стационарном тепловом режиме
Теплопроводность плоской стенки
Из предыдущего следует, что для плоской стенки, или иначе для неограниченной пластины, когда dt/dy=dt/dz=0, условие установившегося режима выражается уравнением (см. формулу (1.17)
dt/dτ= ∂2t/dx2=0. (1.24)
Решив это уравнение, получим dt/dx=C1 и, следовательно,
t=Clх+ C2, (1.25)
где C1 и С2 - постоянные интегрирования.
Отсюда вытекает, что в плоской стенке без внутренних источников тепла температура распределяется по закону прямой линии (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Распределение температуры в плоской стенке
Определив значения постоянных (при х = 0, и при х = δ) и подставив их в уравнение (1.25), найдем значение температуры в любой точке
(1.26)
или в безразмерном выражении
.
(1.27)
Плотность теплового потока, проходящая через 1 м2 стенки, можно выразить следующим образом:
.
(1.28)
Закон Фурье можно написать в форме, аналогичной закону Ома в электротехнике, введя понятие о тепловом (термическом) сопротивлении.
,Вт/м2
, (1.29)
где R = δ/ λ тепловое (термическое) сопротивление стенки, м2∙град/Вт.
Для сложной стенки, состоящей из n слоев, тепловое сопротивление будет равно сумме сопротивлений отдельных слоев.
и удельная плотность теплового потока может быть определена по формуле
.
(1.30)
Распределение температуры внутри стенки изображается ломаной прямой линией (рис. 1.6).
Рис. 1.6. Теплопроводность плоской многослойной стенки
Если построить график изменения температуры как функцию термического сопротивления (δ/λ), то он будет представлять прямую линию (рис. 1.7). При помощи такого графика очень удобно определить температуры на границах слоев стенки.
Рис. 1.7. Графический способ определения температур на
границах отдельных слоев многослойной стенки
Пример 1.1. Определить потерю тепла в окружающую среду, происходящую вследствие теплопроводности через 1 м2 плоской стенки из шамотного кирпича толщиной δ=0,51 м, если температура внутренней поверхности tс1= 900°С и наружной tс2 = 120оС.
Средняя температура шамотной кладки
tcp=0,5 (tc1 +tC2 ) = 0,5(900 +120) = 510°С.
Среднее значение коэффициента теплопроводности находим по формуле, приведенной в табл. 1.1
λср =0,7 + 6∙10-4tср=0,7 + 6·510·10-4=1,006 Вт/(м·град).
Термическое сопротивление слоя равно
R=δ/λ=0,51/1,006 = 0,506 м2 ∙град/Вт.
Плотность теплового потока (потери тепла через 1м2 стенки) определяем по формуле (1.29)
q=(tc1 - tC2)/R=(900-120)/0,506 = 1542 Вт/м2.
В приведенном выше примере коэффициент теплопроводности не является постоянной величиной, а потому распределение температур в стенке будет несколько отличаться от прямолинейного. Однако ввиду сравнительно небольшого влияния температуры на величину коэффициента теплопроводности это отклонение будет не очень значительным.