- •Глава 1. Кинематические схемы механической части электропривода. Типовые нагрузки 5
- •Глава 1. Кинематические схемы механической части электропривода. Типовые нагрузки
- •Глава 2. Расчетные схемы механической части электропривода
- •Глава 3. Уравнения движения электропривода
- •Глава 4. Механическая часть электропривода как объект управления
- •Глава 5. Механические переходные процессы электропривода
- •5.1. Понятия о переходных процессах в электроприводе
- •5.2. Механические переходные процессы при ,
- •5.3. Определение времени пуска, торможения, свободного выбега и перемещения
- •5.4. Динамические режимы механической части электропривода при учете свойств двигателя
- •Библиографический список
Глава 3. Уравнения движения электропривода
Наиболее удобным методом составления уравнения движения механической части привода являются уравнения движения Лагранжа второго рода. При этом предполагается, что движение механической части исследуется в системе обобщенных координат, в качестве которых должны быть приняты независимые параметры, определяющие положения механизма. Такими параметрами являются углы поворота вращающихся вокруг неподвижных осей дискретных инерционных элементов и их линейные перемещения (рис. 3.1).
Рис. 3.1 Расчетные схемы механической части (а – для вращающихся элементов, б – для поступательно-движущихся элементов)
Уравнения Лагранжа второго рода
, (3.1)
где – кинетическая энергия систем;
–потенциальная энергия системы;
–работа сил рассеяния (диссипативная функция Релея);
–обобщенная координата;
–обобщенная скорость;
–обобщенная внешняя сила, соответствующая обобщенной координате.
При вращательном движении , ; при поступательном движении , , .
Число уравнений Лагранжа второго рода для системы равно числу дискретных инерционных элементов, т.е. числу степеней свободы механизма.
Для механической системы, содержащей инерционных и упругих элементов:
или ; (3.2)
или ; (3.3)
или . (3.4)
Моменты (силы), входящие в левую часть уравнения Лагранжа (1) и действующие на 1-й инерционный элемент системы, определяются как:
1) инерционные
(3.5)
где ;
2) потенциальные
; (3.6)
. (3.7)
3) диссипативные
; (3.8)
. (3.9)
Для (для первой массы)
. (3.10)
Производная (момент)
(3.11)
Для
. (3.12)
Производная (момент)
(3.13)
В соответствии с уравнением Лагранжа (1) для любого i-го звена может быть записано уравнение движения
; (3.14)
, (3.15)
где ,– суммарный внешний момент (сила), действующий наi-е звено.
В тех случаях, когда момент инерции (масса) звена не зависит от его положения, , получим
; (3.16)
, (3.17)
где – угловое и линейное ускорение.
Диссипативные силы в упругих связях, обусловленные силами вязкого трения существенно меньше потенциальных сил, в связи с чем при исследовании законов движения электроприводов механизмов в первом приближении их можно не учитывать.
С учетом указанных допущений уравнения движения в случае трехмассовой системы имеют следующий вид
(3.18)
Для двухмассовой системы
(3.19)
С учетом, что момент упругой связи уравнения (3.19) запишутся в следующем виде
(3.20)
Для одномассовой абсолютно жесткой системы на основании (3.5) при можно записать уравнение движения
, (3.21)
а при
. (3.22)
Глава 4. Механическая часть электропривода как объект управления
Двухмассовая упругая система (рис. 2.2, б) является основным объектом при инженерных исследованиях динамических процессов с учетом упругих связей, в которой коэффициентом пропорциональности учитывается момент внутреннего вязкого трения (диссипативные силы)
. (4.1)
Структурная схема двухмассовой упругой Э.М.С. представлена на рис. 4.1, которая составлена на основании системы дифференциальных уравнений в операторном виде, где
(4.2)
Рис. 4.1. Структурная схема двухмассовой упругой Э. М. С.
В рассматриваемой структурной схеме управляющем воздействием является электромагнитный момент двигателя М, а возмущающими воздействиями – моменты сопротивлений . В качестве выходных координат можно рассматривать скорости, упругий моменти углы перемещения инерционных масс
. (4.3)
Структурная схема двухмассовой системы электропривода (рис.4.1) позволяет получить передаточные функции по управляющему и возмущающим воздействиям для анализа поведения выходных координат ,.
По управляющему воздействию при после структурных преобразований в схеме (рис.4.1) передаточная функция по выходной переменнойопределяется следующим образом (см. рис. 4.2)
Рис. 4.2. Преобразованная структурная схема по двухмассовой системы при
; (4.4)
, (4.5)
где – частота свободных колебаний двухмассовой упругой системы;
.
Передаточная функция по выходной переменной после структурных преобразований схемы (рис. 4.3) приопределяется следующим образом
Рис. 4.3. Преобразованная структурная схема по двухмассовой системы при
.
С учетом
;
,
получим
. (4.6)
Уравнение (4.5) представим в следующем виде
. (4.7)
Тогда имеем структурную схему по выходной координате (см. рис. 4.4)
Рис. 4.4 Структурная схема по выходной координате
Передаточная функция
, (4.8)
т.е. соответствует двум последовательно соединенным звеньям интегрирующего и колебательного.
Передаточная функция по выходной координате в соответствии со структурными преобразованиями в схеме рис. 4.1. приможет быть определена следующим образом.
Рис. 4.5. Структурные преобразования для получения передаточной функции
Для схемы рис. 4.5, а передаточная функция
, (4.9)
а для схемы рис.4.5, б передаточная функция
. (4.10)
После соответствующих преобразований в формуле 4.10 получим
и окончательно
. (4.11)
Как видно из полученных передаточных функций ,,характеристическое уравнение системы (знаменатель в формулах 4.5, 4.6, 4.11), описывающее движение двухмассовой системы при
, (4.12)
а корни
. (4.13)
Поведение такой системы рассмотрим на примере приложения управляющего воздействия в виде электромагнитного момента М, изменяющегося во времени по гармоническому сигналу с переменной частотой . Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики такой системы, полученных при помощи (4.8), имеют вид
; (4.14)
. (4.15)
Анализ формул 4.14, 4.15 показывает, что при иамплитуды стремятся к бесконечности, а фазаприскачком изменяется на(). Зависимость,представлены на рис. 4.6, из которого следует, что принаступает механический резонанс,претерпевает разрыв, амплитуда колебаний возрастает до бесконечности.
Рис. 4.6 Амплитудно-частотная АЧX и фазовая частотная ФЧХ характеристики двухмассовой системы
В реальных механических системах происходит ограничение резонансных амплитуд колебаний силами, обуславливающими рассеяние энергии механических колебаний. К внешним силам относятся трение колеблющейся системы о среду, к внутренним – диссипативные силы в упругих элементах (силы вязкого трения).
Система уравнений, описывающая движение двухмассовой системы с учетом сил вязкого трения (коэффициент βв.т= β12 ) представлена в виде (4.2), структурная схема на рис. 4.1.
Произведя структурные преобразования схемы рис. 1.2, получим передаточную функцию по управляющему воздействию
. (4.16)
Если обозначить
;
,
то уравнение (4.16) запишется в виде
. (4.17)
Корни характеристического равнения системы
. (4.18)
Выражение (4.18) показывает, что силы вязкого терния вносят в систему затухание и двухмассовая упругая система приобретает свойства колебательного звена с коэффициентом затухания и частотой колебаний. Так как,.
Логарифмический декремент затухания , представляющий собой отношения двух последующих амплитуд колебаний(рис. 4.27), характеризует рассеяние энергии в упругом звене. Он может быть определен по известной величине действительной и мнимой части корней характеристического уравнения (4.18).
Рис. 4.7. К определению логарифмического декремента затухания
. (4.19)
Исследование показывают, что естественное механическое демпфирование обеспечивает значение . При таких значениях, несмотря на ограничение амплитуд резонансных колебаний, резонансный пик остается по-прежнему большим и колебания в зоне резонанса увеличиваются в (10-30) раз.
Выражение АЧХ для двухмассовой системы с учетом демпфирования принимает вид
. (4.20)
На рис. 4.8 приводятся зависимости резонансного коэффициента усиления системы от частоты, рассчитанные в соответствии с (4.20) для различных значений .
Рис. 4.8. Зависимости резонансного коэффициента усиления системы от частоты