2 Математическая модель

2.1 Двумерное уравнение теплопроводности с излучением на границах

Проанализируем процесс теплопереноса в пластине (рисунок 5)

Рисунок 5 – Область решения

Математическая постановка задачи будет иметь вид:

(1)

где – плотность материала,c – теплоемкость материала;– коэффициент теплопроводности материала.

Начальные и граничные условия запишутся следующим образом:

(2)

где ε– приведенная степень черноты;– постоянная Стефана-Больцмана;– коэффициенты теплообмена;– коэффициент теплопроводности материала;– температуры среды относительно границ;T– начальная температура;L– длина пластины;H– ширина пластины;t– время итерации.

Для аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным введем пространственно-временную сетку с координатами

где – шаги сетки по координатамx, y соответственно; τ – шаг по времени;. Т.е. вся расчетная область (рисунок 5) покрывается сеткой (рисунок 6).

Рисунок 6 – Разностная сетка области решения

Введем следующее обозначение: .

Дискретизацию уравнения (1) будем проводить на основе локально одномерной схемы А.А. Самарского [2], которая является абсолютно устойчивой и обладает свойством суммарной аппроксимации. Сущность этого подхода состоит в том, что шаг повремени реализуется в два этапа – на промежуточном временном шаге проводим дискретизацию двумерного уравнения (1) только в направлении оси х и получаем одномерное уравнение, после его решения проводим вновь дискретизацию уравнения (1), но уже в направлении оси у и, решая полученное одномерное уравнение, определяем поле температуры на целом шаге по времени.

Итак:

(3)

(4)

Разностные уравнения (3), (4) сводятся к стандартному трехдиагональному виду и решаются последовательно методом прогонки. Сначала для всей области решается уравнение (3), после того как его решение будет найдено, переходят к решению уравнения (4).

Основной интерес в сформулированной краевой задаче представляют нелинейные граничные условия. Проведем дискретизацию нелинейных граничных условий III рода с погрешностью O(h).

Определим первые прогоночные коэффициенты α1 и β1 из соотношения T1 = α1 ⋅T2 + β1.

Итак, из второго соотношения (2) следует:

Введем обозначение , тогда

(5)

Видим, что прогоночный коэффициент β1 нелинейным образом зависит от температуры на левой границе. Тогда для определения поля температуры необходимо воспользоваться, например, методом простой итерации. Основная идея, которого, заключается в том, чтобы на каждом временном слое расчет поля температуры вести до тех пор, пока не будет выполняться условие, вида: , гдеs– номер итерации,– точность вычислений.

Правое граничное условие используют для определения температуры .

(6)

В результате получили нелинейное уравнение (6) для определения температуры на правой границе. Это уравнение также можно решить наиболее простым методом – методом простых итераций. Проведем дискретизацию нелинейных граничных условий (4) с погрешностью O(h²). Предположим, что на границе выполняется уравнение теплопроводности (2). Разложим функцию Т(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0 до членов второго порядка относительно h:. Используя соотношение (2) получим:

Таким образом

(7)

Определим T_N, используя правое граничное условие. Так как, следует:

(8)