Uchebnye_karty_Chast1

7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (с.л.у.)

Системауравненийсn-неизвестными

Матричная запись с.л.у.

Решение с.л.у.

Совместностьс.л.у.

Несовместная

с.л.у.

Неоднородная (Н.с.л.у.)

Однородная (О.с.л.у.)

A

X

=

B

или

A

X

= 0 , где

(C , C

,..., C

)

Система, имеющая хотя

1

2

n

Основныепонятия

a11

x1 + a12

x2

+ ...

+ a1n xn = b1

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1nxn = 0,

a11

a 12 ... a1n

x1

b1

0

упорядоченная

бы одно решение. При

x -неизвестные,

j (1,2,..., n ),

a

a

...a

решения

a

21

x + a

22

x

2

+ ...

+ a

2 n

x

n

= b

a

21

x

+ a

22

x

2

+ ... + a

2n

x

n

= 0,

a

21

a

22 ...

a

2n

x

b2

0

системачисел

этомс.л.у.называют

1

2

1

A

,

2

, B =

или B =

.......... .......... .......... .......... .....

=

X

=

из R,

а)определенной, если

Система,

.............................................

............................

...

...

a

x + a

x

+ ... + a

x

= b

a

x

+ a

x

+ ... + a

x = 0,

...

являющаяся

она имеет только одно

не имеющая ре

m1 1

m 2

2

mn

n

m,

am1

am 2

bm

0

решением

решение;

шений

m1 1

m2

2

mn

n

a mn

xn

где

bi ≠

0 (хотя бы одно),

А - основная матрица с.л.у.

каждого

б)неопределенной, если

b1

уравнения

она имеет более одного

n

j

11 12

1n

C1

-числонеизвестных,

~

-вектор-

a

R- коэффициентыс.л.у.,

A

=

a21

a22 ...a1m

b2

- расширенная

C2

решение

Две системыравносильны, если ихмножес

..........................

матрицас.л.у.

...

ij

a

a

...a

b

с.л.у.

b

i

R - свободные члены с.л.у.,

i (1,2,..., n)

m1

m 2

mn

m

Cn

тварешенийсовпадают

Критерийсовместностис.л.у.(теоремаКронекера-Капелли):Системалинейныхуравненийсовместна

~

rA = rA = r

~

Следствия: 1) О.с.л.у., всегда совместна, т.к. rA = rA

2) При

r =n

с.л.у. имеет одно решение (для О.с.л.у. - нулевое);

3) При

r

<n

с.л.у. имеет множество решений; r - число базисных переменных

11

Метод решения с.л.у.

1. Матричный метод

2. Формулы Крамера

3. МетодГаусса - методпоследовательного исключения неизвестных

Дано:

a

x

+ a

x

+ ...

+ a

x

= b

a

a

... a

Дано

Решение

11 1

12

2

1n

n

1

11

12

1n

Спомощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы

a21 x1 + a22 x2

+ ...

+ a2 n xn

= b2

=

a

21

a 22... a 2n

a

x

+ a

x

+ ... + a

1n

x

n

= b ,

, A

11 1

12 2

1

~

~

.......................................................

..........................

21 x1

+ a22 x2

+ ... + a2n xn = b2,

A ееприводят кступенчатому виду.В результатематрица A

a

принимаетвид:

a

x

+ a

x

+ ...

+ a

x

= b

a

a

... a

n1 1

n 2

2

nn n

n

n1

n2

nn

.....................................................

c11

c12

... c1r

... c1n

d

1

≠ 0, i (1,2,..., r) ;

A

≠ 0 ,

b

≠ 0

(хотя быодно)

0

c

22

... c2r

... c2 n

d

2

cii

i

an1x1

+ an2 x2

+ ... + ann xn

= bn

…………………...

...

A

0

... c rr

...crn

dr

rA

= r = r(C) = r;

C = 0

, где

A X = B

~

,

=

j

, где

A

x

a11

a12 ...

a1n

0

0

...

0

...

0

dr + 1

r - числобазисных столбцов.

j

…………………...

...

X =

A

−1

B , т.е.

A

a

a

...

a

0

0

...

0

...

0

dn

21

22

2 n

j (1,2,...,

n ),

A =

Возможны следующие случаи:

..............................

x1

A11

A21 ... An1

b1

c1

A

-определитель

1) Среди чисел dr +1, dr + 2 ,...,

dmестьотличные от нуля; с.л.у.несовместна

a m1

am 2 ...

amn

x

2

1

A

A

... A

b

c

матрицыА

2)

d

r +1

= d

r + 2

= ... = d

m

Тогда:

=

12

22

n 2

2

=

2

(определительс.л.у.),

а) при r=n исходная система равносильна системе

...

...................... ...

...

A

Aj

-определитель,

a11

a12

...

a1n

b1

c11 x1 + c12 x2

+ ... + c1n xn

= d1

x

A

A

... A

b

c

полученный из А замено

c 22 x2

+ ... + c2n xn

= d2

, имеющей одно решение;

n

a

a

...

a

b

……………………….

1n

2 n

nn

n

n

й j-го столбца

~

c

n

xn

=

21

22

2 n

2

n

= dn

свободныхчленов

A

.......... ...........

...

б) при r<n исходная система равносильна системе, имеющей бесконечное

с.л.у.

множестворешений

Aij - алгебраические дополнения

a

a

...

a

b

c

x

+ c

12

x

2

+ ... + c

x

r

= d

− c

x

r +1

− ... − c

1n

x

n

11 1

1r

1

1r +1

элементов a матрицы А

T

m1

m2

mn

m

c

22

x

2

+ ... + c

2 r

x

r

=

d

2

− c

2 r+1

x

r +1

− ... − c

2n

x

n

ij

……………………………………………………….

crr xr = dr

− crr +1 xr+1 − ... − crn xn

Здесь х1,x2,;,xr - базисные, хr+1, xr+2,;,xn-свободныенеизвестные

8. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРОВ

№

Задача

Чертеж

Дано

Указаниякрешению

ввект.форме

вкоординатнойформе

В

→

→

→

→

→

→

→

→

Декартоваясистема.

z

r

= OM = xi

+ yj + z

i ={1,0,0},j

={0,1,0},k ={0,0,1}

M

→

k

1

Координатырадиус-векто

А

→

→

OM = (x, y, z)

-радиус-вектор

ра

rM

= OM

→

= x2 + y2 + z2

z

т. M (x, y, z)

OM

M

т. A (xA , yA , zA )

Координатывектора,

→

→

2

→

заданногодвумяточками

k

0

AB = (xB − xA,

yB − yA,

zB − zA )

→

j

т. B (xB , yB , zB )

i

y

y

Расстояниемеждудвумя

x

→

3

(xB − xA )2 + (yB − yA )2+ (zB − zA )2

x

−

−

AB =

точками(длинавектора)

АВ = OM

→

→

→

→

(xA + xa ,

zA + za )

Координатыконца

a

B

a = AB = {xa , ya,za }

=

yA + ya ,

4

A

→

→

→

→

rB

→

rB

= rA

+ a

т.B (x

)

вектора

0

rA

rB

т. A (xA , yA , zA )

A

+ x

a

,

y

A

+ y

a

,

z

A

+ z

a

12

→

→

→

→

Условиеколлинеарности

a

→

a = {xa , ya , za }

a

= λb

x

y

z

→

→

a

=

a

=

a

= λ

5

в

векторов

b = {xb, yb, zb}

→a = λ

xb

yb

zb

→

b

→

→

Делениеотрезкав

С

В

AC

= λ , A (xA

, yA , zA )

→

rA

+ λrB

xC =

xA +λxB

,yC

=

yA +λyB

, zC =

zA +λzB

6

А

→

→

rC

=

1+ λ

→

1+λ

1+λ

1+λ

→

данном отношении

→

rС

C

B (xB , yB , zB )

→

x

+ x

y

+ y

z

+ z

r

→ r +r

rA

0

B

B

C (xC , yC , zC )

при λ=1:rC= a

b

приλ =1: xC =

A

2

B , yC =

A

2

B , zC =

A

B

2

2

В

A(x

, y

, z

),

B(x ,y

,z )

→ → → x

= xA + yA + zA ; y = yA + yB + yC

7

Центртяжести

М

A

A

A

B

B

B

r→M = rA + rB + rC

M

3

M

3

треугольника

А

C (xC, yC,zC) , M(xM,yM,zM)

3

zM =

zA + zB + zC

С

3

z

М

→

cos α =

xa

,

cos β =

ya

, cos

γ =

za

→

a = {xa , ya , za }

→

→

→ ,где

γ

a

a

a

Направляющие

α

→

→

→

2

2

2

8

β

→0

= OM

=

+

косинусывектора

α

α

a

a

xa

ya

+ za

→0

→

→0

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

x

0

a

,

=1

y

a

= →

a

→

β,cos γ}-единичныйвектор

a

a0 = {cosα,cos

9. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Дано

Геометрическая иллюстрация

Определение и

Свойства

обозначение

Определение.

a,b;

пр

в

a

1 . a b

ab cos

1 . a b

b a, a a

a2

a 2

a

a, b

b

a

или

a

-скалярный квадрат

a пр ab

Геометрический смысл.

2 . a b

b пр a

2 . a

b

c

a

b

a

c

Свойства

a,

b

b

3 .

a

b

a

b

пр a

в

в

a 0, b 0

4 . a b a b 0

в

Скалярные

k

i

i

j

j

k

k

1

i , j,k

произведения ортов

i

j

i

j

j

k

k

i

0

№

Типовая задача

Чертеж

Данные

Указания к решению

В аффин.базисе

в декарт. базисе

В аффин.базисе

в декартовых координатах

Вычисление

в

a b

1 m

1n v1p

1

a

1m

1n

v1 p

a b

x x

y y

z

z

скалярного

a xa, ya, za

m

n v p

2

a b

a b

a b

произведения

a

b

2m

2n

v2p

2

2

13

a

v1p 2

xa2

ya2

za2

2

Длина вектора

m

m, n

n,

p

p

a

1m

1n

a

b

xb, yb, zb

Проекция вектора

a

m,

n

a b

xaxb

ya yb

zazb

1

пр ba

3

a

на вектор b

пр

a

xb2

yb2

zb2

А

В

в

n,

p

2

b

b

a

p,

m

3

Угол между двумя

a b

xa xb

ya yb

za zb

4

в

cos

a

b

cos

a , b

векторами

a b

2

2

2

2

2

2

xa

ya

za

xb

yb

zb

Условие

в

xa xb

ya yb

za zb

0

5

ортогональности

a

a

b

0

векторов

Вычисление работы

F

F

Fx,Fy,Fz

6

постоянной силы

F

A

F

S cos

F , S

A

FxSx

FySy

FzSz

в направлении

S

S

S

Sx,Sy,Sz

10. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Дано

Геометрическая

Определениеи

Свойства

иллюстрация

обозначение

→ →

→

→

→

→

→

→

→

, если

→

→ → →

→

a,b

c

a

× b

= c

1.a ×b

= −b × a, a× a = 0

Определение.

= a, b

= b

в

1.c =

→

→

= a b sin ϕ

→

→

→

→

a

a х

b

2.(λa)× b

= λ(a

× b)

Геометрическийсмысл.

→

→

ϕ

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

b

+ b × q

Свойства

(a,

b(= ϕ

→

2.c a; c

3.(a+b)×q

= a

× q

a ≠ 0, b ≠

0

→ → →

-праваятройка

→

→

→

→

= 0

a

3.a,b,c

4.a || b

a

× b

→

→ →

→ →

→ →

→

+

Векторные

→ → →

k

→

i × i = j× j = k × k =

0

k

→

произведенияортов

i , j,k

→

j

→

→

→ → →

→ → →

→ →

j

i

i × j = k, j × k = i ,k ×i = j i

№

Типоваязадача

Чертеж

Данные

Указаниекрешению

в афин.базисе

в декарт. базисе

в афин.координ.

в декартовыхкоординатах

→

→

→

→ →

→

→

→

→

→

→

=

→

→

i

j

k

в

a = λ

m + µ n + v p

a ×b

= x y z =

→

1

→

1

→

1

→

a = {xa , ya , za}

a

× b

Вычисление

→

→

→

a

a

a

b = λ2m +µ2n +v2p

+ v

= λ m

+ µ n

1

p ×

xb

yb

zb

14

1

векторного

→

→

1

1

→

→

произведения

→

= p

}

ya

za

xa

za

xa

ya

a

m=m, n

=n, p

b={x , y , z

× λ

→

→

→

,

−

,

b b b

2m

+ µ2n + v2 p

=

yb

zb

xb zb xb zb

→

→

→

m,

n = ϕ1

→ →

S

=

→

→

Площадьпараллелогра

в

=

a

×b

→

→

S

a×b

2

2

2

2

мма,

n,

p = ϕ2

1 → →

ya

za

xa

za

xa

ya

=

=

+

треугольника

→

→

S

a× b

yb yb

xb zb

+

xb zb

→

m,

p = ϕ3

2

a

→

→

→

→ → →

Вектор,

d

→

i

j

k

с

в

→ →

→

3

перпендикулярный

d = λ (a×b)

d = λ xa

ya

za

двумвекторам

→

xb

yb

zb

→

a

→

→

→

→

→

Момент силыF,

M

F={Fx,Fy,Fz}

приложеннойвт.В,

A

→

→

→

→

i

j

k

4

относительнот.А

A (xA , yA , zA )

M = AB× F

= xB − xA

yB − yA

zB − zA

M

B

→

B (xB , yB , zB )

Fx

Fy

Fz

F

11. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Дано

Геометрическаяиллюстрация

Определениеи

Свойства

обозначение

→

→ →

→

→

→

→ →

→ → →→ →

d

)a ×b). c = Vпар − да ,

1))a×b).

c = a(b×c)= a b c

→ → →

в

таккак

→→→

→→→

→→→

→

→ → →

2)ab c = −bac = −c a b

Определение.

a, b, c

1)a×b = d

c

→→→

→→→ →→→

Геометрическийсмысл.

H →

→ .

→

→

в

2) d

c = d прd→ c,где

3)abc

= bca = cab

Свойства

А

d =

→

→

Sпар − да

→

→ →

→

a× b =

4) a, b,c, -компланарнаятройка

→ →

→

a

п

→

= AB = H па −да

→→→

a, b, c -праваятройка

→ c

abc = 0

р d

р

Типоваязадача

Чертеж

Данные

Указаниякрешению

вдекартовомбазисе

вдекартовыхкоординатах

1.Вычисление

→

→

→

xa

ya za

в

смешанного

c

→ →

= xb

yb

zb

15

a→= (xα ,

abc

произведения

→

yα ,

zα )

xc

yc

zc

a

→

→→→

xa

ya

za

b = (xb,

yb,

zb )

V пар − да

=

= ± xb

yb

zb

→

a b c

2.Объем

c

xc

yc

zc

параллепипеда,

1 →

→ →

призмы,пирамиды

→

Vпризмы

=

→

a

b

c

в

c = (xc, yc , zc )

2

0

→

Vпир. =

1 →→→

a

b

c

a

6

3.Условие

→

→

xa ya za

c

в

→→→

компланарности

xb

yb

zb

= 0

abc = 0,

трехвекторов

→

α

a

xc

yc

zc

12. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

16

Вычислениев

декартовых

Произведение

координатах:

Определение

R

= {xα

, yα , zα }

Приложения

векторов

a

R

= {xb, yb, zb }

b

R

= {xc , yc

, zc }

c

Скалярное

R

R

1.0

R

R

1. cos ϕ =

a

b

векторов

a b = a b cos ϕ

a b

R

R

2.0

R

R

R

b

=

2.Условиеортогональности

в

a

= b пр R a

R

прR a

R

b

R

R

R

R R

R

в

в

R

a

b

= xa xb + ya yb + za zb

a

b

a b

= 0

R

= a прRb

R

a

b

R

ϕ

a

3. a=

a2

4. прbR a

=

ϕ

b

R

a

R

R

R

R

R

или

прR b

a

5. A = F S

,где А-Rработа,

F - сила,

a

S -перемещение

Векторное

R

R

R

R

R

R

1.Условиеколлинеарности

a

× b = c, ,если

i

j

k

произведение

R

R

R

R

R

R

R

R

xa

ya

za

1.

a × b

=

a

b

sin ϕ

a b =

xa

ya

za

=

a || b a × b = 0

x b

=

yb

=

zb

R

R R

R

R

R

R

2.

c a, c b

xb

yb

zb

2.

S

=

a

× b

− площадьпараллелограмма

с

R

R R

R

пр

R

R

a,b,c -правая

ya

za

xa

za

xa

ya

R

R

R

R

R

в

3.

3.

q c,q

b q = λ(a × b)

тройкавекторов

=

, −

,

R

→

yb zb

xb zb

xb yb

M

R

R

R

M = AB × F

F

ϕ

4.

A

- момент силы

,

B

приложеннойвт.В,

R

R

относительнот.А

a

F

Смешанное

R

R

. R

R

. R R

=

1.Объемпараллелепипеда

произведение

(a × b( c

= a

(b×c(

R

R R R

xa

ya za

с

= a b c

R RR

R R R

=

Vпар − да

=

a b c

R

R

R

R R R

-

R R R

= Vпар±

abc

x

b

y

b

z

b

в

с

в

a,b,c

a b c

− да

праваятройка

xc

yc

zc

R

2.Условиекомпланарности

a

R

R R

R R R

= 0

R

a,b,c

лежатводнойплоскости a bc

α

13. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВЕ, ЕГО БАЗИС

Понятие,

Определение

Свойства

обозначение

Множество чисел α,β, γ, ...,(где хотя бы одно отличное от

Q - поле рациональных чисел;

1

Поле Р

нуля), содержащее наряду с любыми числами α

и β

R - поле действительных чисел;

числа:

α − β, α + β,

α β,

α / β (β ≠ 0)

C - поле комплексных чисел;

Множество упорядоченныхR наборов n чисел из Р.

1. x1+ x2

= ( a11

+ a 21 , a12

+ c 22 ,...,

a1n + a2 n )

Каждый набор - вектор

xi

= (ai1, ai2

,..., ain ).

2 . α x

= ( α na1 , α a 2 ,...,

α a n

)

Пространство

ai1, ai2 ,..., ain

- координаты вектора.

2

3 . x1

x 2 =

∑ a1 k

a 2 k - скалярное

Rn над полем Р

a11

a12

... a1n

Матрицы системы К векторов,

k = 1

a

21

a22

... a2n

определенная координатными

произведение двух векторов.

A = ……………..

n

строками векторов

4 . x

=

∑ ( ak ) 2 - норма вектора

an1

an2 ... ann

k

=1

Непустое множество L элементов x, y, z,...

Примеры линейных пространств:

называемых векторами, если

1. V - множество направленных отрезков

I. определены операции:

2. Множество матриц одной

1) Сложения

x, y L

x + y L

размерности.

2) Умножение на число

x L

α P

α x L

3. Множество полиномов степени ≤ n

Линейное L

II. Выполнены аксиомы x, y, z

L,

и

α,β P

4. Пространство Rn над полем Р.

3

пространство

1) x + y = y + x

2) x + ( y + z) = ( x + y) + z

5. Множество R, C.

над полем Р

3) OL

такой, что

x + OL = x;

6. Множество векторов плоскости с

4. x L

(− x)

- противоположный вектор,

заданным началом в т. О с концом

x + (− x) = OL

на заданной прямой, проходящей

5)1 x = x;

7) α ( x + y) = αx + αy;

через т.О

6)(α + β) x = αx + β x;

8) α(β x) = (αβ ) x

Линейная комбинация

α1x1 + α 2 x2

+ ... + α n xn ,

Критерий линейной зависимости векторов:

4

n

векторов

где

α

1

, α

2

,...,

α

n

P

x , x

2

,..., x

n

L

зависимы

x j = ∑ αi xi ,i ≠ j

1

В частности:

i=1

Линейная зависимость

α1x1 + α2x2 +...+ αnxn = 0

при

R

R

R

системы векторов

хотя бы одной

α

j

= 0

1) x1,

x2 ,...,

xn R n зависимы

r( A) < K , где

5

a11

a12

... a1 n

α x + α

x

+ ...+ α

x

= 0

A =

- матрица системы векторов

Линейная независимость

2

n

при

a

21

a

22

... a 2 n

1 1

2

n

ak 1

a k 2

... a kn

системы векторов

α1

= α 2

= ... = α n

= 0

R

R

R

2 ) x1

, x2

,...,

x n независимы, если r(A) = K ( A ≠ 0)

Размерность n

Пространство L n-мерно, если в нем существует n

Виды декартовых систем координат

линейно независимых векторов, а любая система n+1

V

Базис

Система координат

6

пространства L

dim L=n

векторов линейно зависима.

R

M (α

)

Пространство размерности n обозначают Ln

V1

e1 ≠ 0

1

Базис

Любая упорядоченная система n линейно

→

R

0

7

линейного

независимых векторов.

OM = α e

R

R

1 1

пространства

При этом векторы называются базисными.

M (α1,α2 )

e1 ||e2

R

Если е1,е2,;,еn - базис линейного пространства Ln,

V2

R

R

e2

R

(e ,e )=ϕ

→

e

Разложение

то любой x Lnможно единственным образом

1

2

1

8

вектора x Ln

OM = α1e1 + α2e2

представить в виде x = α1e1 + α 2e2 + ... + α nen, где

R

R

R

M(α1,α2,α3)

по базису

α 1 , α 2 ,...,

α n

- координаты вектора x в этом базисе.

e1, e2 , e3

Пишут x = (α1,

α 2 ,..., α n )

пл.π

R

R

R

R

Аффинная система - совокупность точки 0 и базиса.

V3 (e1

,e2)=ϕ1

e3

e2

y

Аффинная -

Точка 0 - начало координат;

R

R

прямые, проходящие через начало координат в

(e1

,e3)=ϕ2

R

9

система

x

направлении базисных векторов - оси координат;

R

R

→

e

координат

(e ,e )=ϕ

1

плоскости, проходящие через оси координат -

1 3

3OM =α e +α e +α е

R

R

R

1 1

2 2

3 3

координатные плоскости

Ортогональная

i , j,k

система координат

R плR

R

R

a =(α ,α

,...,α )

b = (β

1

,β

2

,..., β

n

);

i

= j = k

=1

z

iR= (1,0,0)

1

2

n

R R

π

j = (0,1,0)

a = b α1

= β1, α 2

= β2 ,..., α n = βn ;

(i

, j) =

R

Операции над

V3

2

M(x,y,z)

k =(0,0,1)

a + b = (α1 + β1, α 2 + β2 ,..., α n + βn );

R

R

R

10 векторами

π

j

(i

, k ) =

R

y

пространства Ln

λ

= (λα

, λα

,..., λα

)

2

i

a

1

2

n

R R

( j , k ) = π

→

R

R

R

2 x OM

= xi

+ y j

+ zk

17

14. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Понятие

Определение

Примеры: Свойства. Теоремы

Линейным операторов в линейном пространстве L наз.

1.A:R

2

R

2

отображение А:

L

L, если

(

,

)

( ,

)

Линейный оператор

1.

x1, x2

L: A ( x1

x2 )

Ax1

Ax2

2.

x L,

R : A( x)

( Ax)

2. A :R

R

Ax - образ оператора, х - прообраз

x

y

sin x

A - Линейный оператор в L, dim L=n

x

(x , x

2

,,..., x

n

)в базисе В

12 ...

1

B

e1 , e2 ,..., en

- базис в L.

11

1n

y=Ax, то Y=AX, где

Матрица

A e1

11e1

21e2 ...

n1en

22 ...

А - матрица оператора А

21

2n

относительно базиса В.

A e2

12e1

22e2 ...

n2en

, A

линейного

……………….

x1

y

координаты

……………………………………..

оператора

1

A en1

1ne1

2ne2 ...

nnen

x2

y2

- векторов

n2 ...

X

,Y

n1

nn

...

...

x,y в

Матрица оператора А относительно базиса В

xn

yn

базисе В.

dim L

n ,

x

(x1, x2,,..., xn )

в базисе В

B

(e1,e2 ,..., en ) и B'

(e' ,e' ,...,e'

) - два базиса в L,

x’

(x1', x2',,..., xn'

)

в базисе В’

1

2

n

тогда X=TX’, где

e1'

11e1

21e2

...

n1en

12...

- матрица

Матрица

11

1n

Т - матрица перехода от

перехода

e2'

12e1

22e2

...

n2en

T

22...

перехода

базиса В к базису В’.

21

2n

от базиса В

x1

x’1

к базису В’

………………………………….

n1

n2 ...

nn

X

x2

, X’

x’2

e

'

e

e

...

e

n

2n

2

nn

n

...

...

1n 1

xn

x’n

dim L

n , x

L

Действия над операторами

1. Равенство А=В : Ах=Вх.

сводятся к действиям над их

2. Сложение С=А+В : Сх=Ах+Вх.

матрицами:

Действия над

3. Умножение оператора на число

1. A

B

C

A:Cx

( Ax )

2. C

A

B

линейными

операторами

4. Умножение операторов

3. C

B

C A B:Cx A( Bx)

4. C A B

5. Обратный к оператору А оператор А-1

A 1y

5. A A 1

A 1A

E, где

A A 1

A 1

A

:если y

Ax,то x

A

- невырождена

Собственные числа

A:L

L

и Ax

x, где

R, x

L, x

OL

В матричном виде AX

X

- собственное число оператора;

( A

E)

X

0, X

0

и собственные

x

- собственный вектор оператора А,

векторы

соответствующий числу

линейного

собственное

A

E

оператора

корень

число оператораА

характеристического

уравнения

1. Найти корни характеристического уравнения

A E

0

Правило

1,

2 ,...,

n

2. Каждое из собственных чисел

(i

1,2,..., n )

нахождения

i

подставить вместо

в систему

собственных

(

n

) x1

12x2 ...

1nxn

0

значений и

21x1

(

)x2 ...

2n xn

0

или ( A

E)X

0

собственных

21

векторов линейного

n1x1

n2x2

...

( nn

)xn

0

оператора

и найти решения системы, которые определяют координаты

собственных векторов с точностью до произвольного множителя

Преобразование

A, A' - матрицы оператора А

относительно базисов Ви В'

'

1

матрицы линейного

T

AT

Т - матрица перехода от базиса В к базису В’

A

оператора

18

λ2 0 ... 0

15. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Понятие

Определение

Примеры.Теоремы

ДействительноелинейноепространствоЕназ.евклидовым,

1. R3 : (x, y) = x

y cos α;

если:

1. Указано правило, по которому

{x, y} E

2. Rn : x = (x , x

2

,...,

x );

поставленовсоответствиедействительноечисло(x,y),

1

n

y = ( y1, y2 ,...,

называемоескалярнымпроизведениемэтихэлементов.

yn );

Евклидово

2. {x, y, z} E и

α R:

(x, y) = x1y1 + x2 y2 + ... + xn yn ;

пространство

30 (x + y,z) = (x, z) + ( y,z);

10 (x, y) = (y,x);

20 (λx, y) = λ(y,x);

40 (x,x) ≥ 0 , причем

3.C [a,b]: x = x(t ), y = y(t)

(x, x) = 0 x = O

- непрерывныена [a, b]

b

(x, y )= ∫ х(t) y(t) dt

a

Длина

x

=

(x, x)

1.НеравенствоКоши-Буняковского

вектора

(x, y) E : (x, y) ≤ x y

Нормированный

x

=1

2.Неравенствотреугольника

x − y ≤ x + y ≤ x + y

вектор

3. Угол между векторами

Ортогональные

(x, y) = 0,

где x ≠ 0, y ≠ 0

cos ϕ = (x, y)

векторы

, где

x ≠ 0, y ≠ 0

x y

e1 , e2 ,..., en

-ортонормированныйбазисn-мерного

x = (x1, x2 ,..., xn )

Евклидова пространства Е, если

вортонормированномбазисе

Ортонормиро-

0,

i ≠ j

e1,e2 ,..., en

ванный базис в Е

(ei , ej ) = δij

=

- символКронекера

i = j

1,

n

x = ∑ (x, ei ) ei

i=1

Самосопряженный

{x, y} E :( Ax, y) = (x, Ay )

ОператорА

Матрица А

операторА

самосопряженный

симметричная

относительно

произвольногоортоно сдействитель-

α11

α12 ...α1n

α11

α21...α n1

рмированного

ными

коэффициен-

базиса

Симметричная м

A = AТ , т.е.

α

α

...α

=

α

α

...α

тами

21

22

2n

12

22

n 2

атрица А

α n1

αn2 ...α nn

α1n

α2 n ...αnn

ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ

Пусть А - матрица самосопряженного оператора А при некоторомортонормированном базисе, тогда существует ортонормированныйбазисизсобственныхвекторов оператораА,относительнокоторогооператорА задаетсядиагональнойматрицей

B = 0 λ2 ... 0

0 0 ... λn , где В=T-1AT

T - матрица перехода к новому базису;

λi , i {1,2,..., n} -собственные значенияоператораА.

19

16. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Некоторыевиды	Данные	Геометрическая	Векторные	Уравнения
уравненийпрямых	условия	иллюстрация	соотношения	вкоординатах

R

Общее

n = {A, B}

- нормальный вектор, y

Ax + By + C = 0

уравнение

K = −

A

= tg α

R

B

n

Уравнение

K = tg α

В

y = kx + b

прямой

b=ОВ - началь-

сугловым

b

A

C

наяордината

k = −

b = −

коэффициентом

α

,

B

B

Уравнениепрямой

x

x

y

А(а,0)

0

a

А

+

= 1

в отрезках на осях

В (0,b)

a

b

Уравнениепрямой,

A(x0, y0 )

y

проведеннойчерез

А

α

( y − y0 ) = k (x − x0 )

точкусугловым

K = tg α

коэффициентом

0

x

Уравнениепрямой,

M(x,y)

l

→

→

x − x1

y − y1

проведеннойчерез

A(x1, y1 )

AM || AB

=

B

→

→

x2 − x1

y2 − y1

дветочки

B(x2 , y2 )

A

AM

=t AB

Уравнениепрямой,

A(x0, y0)

R

проведеннойчерез

x − x0

y − y0

R

S

точкупараллельно

=

S = {m,n}

→

→

направляющему

l

m

n

вектору

AM || S

M(x,y)

→

→

Параметрическое

A(x0, y0)

AM =t S

x = mt + x0

уравнениепрямой

R

= {m,n}

y = nt + y

S

A

0

Уравнениепрямой,

A(x0 , y0 )

→

→

проведеннойчерез

R

AM n

R

{

}

n

A(x− x0) + B(y − y0) =0

точкуперпендикулярно

n =

A, B

AM n =0

вектору

A

M(x,y)

Простейшиезадачинапрямую

Типовые

Геометрическая

Указания к решению

задачи

иллюстрация

l : A x + B y + C = 0

ϕ = α2 − α1, tgϕ =

K2 − K1

y

1 +

1

1

1

1

или

K1RK

l

: A x + B y + C

= 0

R

2

n2

R

R

n

n

2

Угол

2

2

2

2

l

ϕ = (n1

, n2 ), cos

ϕ =

1

=

n1 n2

между

R

R

2

l1

n1={A1, B1}, n2 = {A2,B2}

ϕ

=

A1 A2

+ B1 B2

прямыми

.

R

A12 + B12

A22 + B22

K = −

A

= −

A

n1

ϕ

Частные случаи:

1

, K

2

P

ϕ = 0

K1 =

A1

=

B1

1

B1

2

B2

K 2

или

A2

B

2

;

α

α

π

1 K2 = − 1 или

ϕ =

K

A1 A2

+ B1 B2

=

0

1

2

2

Точка пересечения

l

: A x + B y + C = 0

т.Р = l1 ∩ l2

0

x

двухпрямых

1

1

1

1

A1x + B1 y + C1 = 0

l2

: A2x + B2 y + C2 = 0

+ B2 y + C2

= 0

A2 y

Расстояниеот

l : Ax + By + C = 0

P

l

PP’ =

Ax0 + By0 + C

точки до прямой

P(x0 , y0 )

P’

A2 + B2

20