Uchebnye_karty_Chast1

17. ПЛОСКОСТЬ

Виды уравнений

Данные

Геометрическая

Векторные

Уравнения

плоскости

условия

иллюстрация

соотношения

вкоординатах

Общее

nR = {A, B,C}

z

Ax + By + Cz + D = 0

уравнение

плоскости

-нормальныйвектор

c

R

n

OA = a;

A(a,0,0)

0

b

y

Уравнение

= b;

B (0,b,0)

x + y + z =1

плоскости

OB

a

вотрезках

OC = c; C (0,0, c)

a

b

c

на осях

x

→

→

→

AM ,AB, AC

Уравнение

A (x , y , z )

A

-компланарны.

x − x1

y − y1

z − z1

1

1 1

B

→

→

→

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0

плоскости

)AM × AB).

AC = 0

B (x2 , y2 , z2 )

проведенной

α

M(x,y,z)

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

черезтриточки

C

C (x3, y3, z3 )

R

Уравнение

n

→

R

плоскости

A (x0, y0 , z0 )

AM

n

проведенной

→

R

черезточку

R

A

AM n

= 0

A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0) = 0

n = {A, B,C}

перпендикулярно

заданномувектору

M(x,y,z)

Простейшиезадачинаплоскости

Задачи

Дано

Геометрическая

Указания к решению

иллюстрация

α

1

:

R

ϕ = (n1 , n2).

A1x + B1y +C1z + D =0

α1

R R

Угол

R

=

{A1, B1,C1}

cos ϕ = n1 n2

=

A1 A2 +B1 B2 + C1C2

.

между

n1

n1 n2

A2

+ B2

+ C 2 A2 + B

2 + C 2

двумя

α2 :

R

1

1

1

2

2

2

плоскостями

ϕ

n1

Частные случаи:

B

C

α2

α1 || α2

A

A x+B y+C z + D= 0

R

1 =

1

=

1 ;

2

2

2

n2

A2

B2

C2

R

{A2 , B2, C2 }

=

α1 α2 A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0

n2

α :

P

Расстояние

Ax + By + Cz + D = 0

d

d =

Ax

0

+ By0 + Cz0 + D

отточки

A2 + B2 + C2

доплоскости

P(x0 , y0 , z0 )

α

P’

21

18. Прямая линия в пространстве

Виды уравнений

Данныеусловия

Геометрическая

Векторные

Уравнение

прямой

иллюстрация

соотношения

вкоординатах

α

:A x + B y + C z + D = 0

α2

направляю-

→

l :

1 →1

1

1

1

щий вектор

S :

Общее

n1 = (A1, B1, C1).

→

→

→

A1x + B1y + C1z + D1= 0

=

уравнение

α2 :A2x + B2y + C2z + D2 = 0

S

α

S = n х

n

2

1

→

1

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

прямой

→

→

→

(A2 , B2 ,C2 ).

→

i

j

k

=

n

2

→

n2

= A1 B1 C1

n1

A2 B2 C2

Уравненияпрямой,

A(x0 , y0 , z0 )

→

→

AM || S

x−x0 = y−y0 =z−z0

проведеннойчерез

→

→

→

точкупараллельно

→

S

вектору(канонические

S =(m,n, p)

l

AM = t

S

m

n

p

уравнения)

M(x,y,z)

A(x0 , y0 , z0 )

x = mt + x ,

0

Параметрические

→

S = (m,n, p)

A

y = nt + y0 ,

уравненияпрямой

= pt

+ z0

z

A(x1, y1, z1)

→

→

l

AM || AB

Уравненияпрямой,

B(x2 , y2 , z2 )

B

→

→

x−x1 = y−y1 = z−z1

AM = t AB

проведеннойчерез

x2 −x1

y2−y1

z2−z1

дветочки

→

=(x2 − x1, y2 − y1,z2 − z1)

M(x,y,z)

S

A

Простейшиезадачинапрямуювпространстве

Типовая задача

Дано

Геометрическая

Указания к решению

иллюстрация

→ →

l1 :

x − x

=

y − y

=

z − z

→

ϕ = (S1 , S2)

m1

1

n1

1

p1

1

S2

→

→

→

l2

S

S

2

m m + n n + p p

→

ϕ

cos ϕ =

1

=

1 2

1 2

1 2

S2

= (m ,n , p ), A (x , y , z )

S1 S2

m 2 + n2 + p2

2

+ n 2 + p

2

S

m

1

1

1

1

1

1

1

1

→

1

1

1

2

2

2

Частные случаи:

Угол между

l

x − x

=

y − y

=

z − z

ϕ S1

→

→

m1

=

n1

=

p1

;

двумяпрямыми

2

:

2

2

2

→

l 1 ||

l 2

m

n

p

S1

m2

n2

p2

2

2

2

→

→

→

→

→

=

(m

, n

, p

),

l

l1 l 2 S1 S2 = 0

S

2

2

2

2

1

A2 (x2 , y2 , z2 )

m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0

→

→

→

α

A1

l

(A A × S

S

2

= 0

2

1

2

1

(

Условие

S2

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

m1

n1

p1

= 0

пересечения

A2

двухпрямых

S1

l1

m2

n2

p2

l

α

l12

α

22

19. Прямая линия и плоскость в пространстве

	Задача	Исходные	Геометрическая	Указания к решению задач
		данные	иллюстрация

l:

x x2 y y0 z z0

(n , S )

2

m

n

p

n

S

n

S

Am

Bm

Cp

sin

1. Угол между

S

m,n, p

l

n

S

A

2

B

2

C

2

m

2

n

2

p

2

прямой

Частные случаи:

и плоскостью

: Ax

By

Cz

D

0

0,l ||

n2

S, Am

Bn

Cp

0

n

A, B,C

, l

n || S,

A

B

C

2

m

n

p

l:

x x0

y y0

z z0

n

l

M0

,n

S

0

2. Условие

m

n

p

M 0 (x0 , y0 , z0 )

l

В координатной форме:

расположения

S

m,n, p

данной прямой

Ax0

By0

Cz0

D

, 0

в данной

плоскости

: Ax

By

Cz

D

0

М0

S

Am

Bn

Cp

0

n

A, B,C

l1:

x x1

y y1

z z1

m1

n1

p1

l

S1 S2 A1 A2 0

S1

l2

A (x , y , z )

A2

3. Условие

1

1

1

1

В координатной форме:

S1

m1,n1, p1

l1

расположения

двух прямых

x x2

y y2

z z2

m

n

p

в одной

l2

:

l2

1

1

1

m

n

p

m2

n2

p2

0

плоскости

2

2

2

A1

S2

A2 (x2 , y2 , z2 )

x2

x1

y2 y1 z2 z1

S2

m2,n2, p2

x mt x0 ,

S

P( x1, y1, z1)

l :

y

nt

y0 ,

P

l при t t1, P

n

z

pt

z0

l

Ax By

Cz

D

0,

x

mt

x0,

4. Точка

: Ax

By

Cz

D

0

y

nt

y0,

пересечения

прямой и

P

z

pt

z0

плоскости

A ( mt x0 )

B (nt y0 )

C ( pt z0 )

D 0

t

t

1

т. P : x1

mt1

x0 ,

y1

nt1

y0 ,

z1

pt1

z0

x x0

y y0

z z0

l

1. : M 0 , n n S

A1, B1, C1

l:

n

m

n

p

M0

S

A1

( x x0 )

B1( y y0 )

C1(z z0 )

0

M 0 (x0 , y0 , z0 )

5. Проекция

прямой на

S

m,n, p

l1

A1(x x0) B1(y y0) C1(z z0) 0

плоскость

n

2.l1 :

: Ax

By

Cz

D

0

Ax

By

Cz

D

0

- проектирующая

n

A, B,C

плоскость

(

,l

)

23

20. Кривые второго порядка

Общий вид уравнения: Ax2+2Bxy+Cy 2+2Dx+2Ey+F=0

Вид кривой

Каноническоеуравнение

Графиккривой

Параметрыкривой

Эллипс

(x − x0 )

2

( y − y0 )

2

а)y

B2

б)

y

B2

C (x0 , y0 ) -центр, F F

= 2C

+

= 1

1

2

B = 0, A C > 0

a2

b2

F

B1C = CB 2 = b; A1C =

CA2 = a;a и b- полуоси.

A1

C

A2

A

C

2

A2

a) a > b

б) b > a

В частности:

y0

F2

y0

1

2

= a

2

− b

2

c

2

= b

2

− a

2

Окружность

F1

c

B = 0, A = C

a = b= R (x − x0) + (y − y0) = R2:

B1

0

x

0

F

F1(−c + x0, y0 ), F2 (c + x0 , y0) F1(x0,−c + y0 ), F2(x0,c + y0 )

уравнение окружности

0

x0

x

1

ε = c

< 1

ε = c

<1

B

1

a

b

a) (x − x0)

2

2

а

б y

C(x0, y0)-центр,

F1F2

= 2c, c2 = a2 + b2

− (y − y0)

=1

y

l1

l1

l1,l2 -асимптоты:

y − y0

= ± b (x − x0 )

a2

b2

B2

F

2

a) A C = CA

2

= a; -действительнаяaполуось;

Гипербола

(y − y0 )

2

(x − x0 )

2

1

−

= 1

y0

F1

A1 c

A2

F2

A1

A2

B C = CB

= b - мнимая полуось;

y0

c B2

c

B = 0, AC < 0

б)

a2

x

1

2

b2

0

0

x

0

B1

F1(−c + x0 , y0 ); F2 (c + x

0 , y0 ); ε > a > 1

B = 0, A=C = 0

B1

x

б ) A C = CA

2

= a

- мнимая полуось;

l2

F1

l2

1

B C = CB

2

= b -действительнаяполуось;

1

F1(x0 ,−c0 + y0 ); F2 (x0 ,c + y0 ); ε > c > 1

b

24

а

y

б

y

C(x0 , y0 ) -центр.

Гипербола:

K

K>0

K<0

у =

ax + b

y − y0

=

C

x − x0

y0

cx + d

C

y0

Асимптотыгиперболы:

x0

x = x0 , y = y0

0

x0

x

0

x

A=0,

a)(y − y )2=+2p(x− x )

а

y

б

y

c(x0 , y0 ) - вершина;

y = y0 - осьсимметрии.

C≠0

0

0

y0

p

y

p

p

+ x0 , y0 )

Парабола

б) (y − y )2

= −2p(x − x )

0

a) F ( 2

C

F

F

C

l -директриса:

x = − p + x0 ;

B≠0,AC=0

0

0

0

x

x

б) F (− p

2

0 x0

x

0

+ x0 , y0 )

l

p

l

l

2

x =

+ x

-директриса:

2

0

y

а

y

б

l

c(x0 , y0 )- вершина;

x = x

- осьсимметрии.

a) (x − x )2

= 2p(y − y )

p C

a) F (x0 , + p

+ y0 )

0

C=0,

y0

p

0

0

F

F

l

2

x = −

+ y0;

A≠0 б) (x − x )2=−2p(y − y )

-директриса:

2

y0

l

0

x

0

x

б) F (x

,−

p

+

y )

0

0

0

C

p

2

0

p

l

y =

+ y0

0

x0

x

-директриса:

2

21. Классификация

поверхностей 2го порядка. Канонические уравнения

поверхностей

Эллипсоид

Конус

Гиперболоиды

Параболоиды

Цилиндры

Трехосный

2

2

2

Однополостный

Эллиптический

Эллиптический

x2

y2

z2

x

2 +

y2

− z

2 = 1

x2

+ y2

− z2

= 1

x2

+

y2 = z (a,b > 0)

x2

+ y2

= 1 (a,b > 0)

a2 + b2 + c2 = 1

a

b

c

a2

b2

c2

a

2

b

2

a2

b2

z

(a, b, c > 0)

z

a ≠ b ≠ c (a, b, c > 0)

z

z

b

z

0

y

c

a

b

x

0

y

a

x

Гиперболический

b

0

y

0

y

x2

y2

(a, b > 0)

a

x

a2

− b2

= 1

0

z

25

x

Двуполостный

Гиперболический

y

В частности,если

x

x

2

−

y

2

−

z

2

= 1

x 2

−

y

2

= z

(a,b > 0)

a 2

b 2

a2

b2

c2

a = b = c = R

0

x

x2 + y2 + z2 = R2

(a,b,c > 0)

x

уравнение сферы

z

y

z

R

Параболический

y2 = 2px

( p > 0)

R

0

y

z

y

0

y

0

x

R

z

x

y

0

x

22. Системы

координат

Полярныекоординаты

Цилиндрические координаты

Сферические

Декартовыкоординаты

координаты и их связь с

и их связь с декартовыми

и их связь с декартовыми

декартовыми

z

z

z

Mz

y

M(x,y,z)

M(ρ,ϕ, z)

ρ

M (ρ,ϕ)

θ M(ρ, ϕ, z)

→

ϕ

k

γ

x

0

β

M

0

ρ

y

ϕ N

0

y

0

α

→

y

ϕ

x

j

y

→

Mx

i

x

N

x

26

→

→

→

→

ρ = OM ;0 ≤ ρ ≤ ∞

→

ρ = ON

= пр пл xoy OM ,

x = прox OM ;

r = OM , 0 ≤ r < +∞

→

→ →

0 ≤ ρ < +∞

→ →

y = прoy OM ;

ϕ = (Oρ , OM );0 < ϕ ≤ 2π

ϕ =

→ →

< ϕ ≤

2π (−π < ϕ ≤ π)

ϕ = ( OX , ON ), 0 < ϕ ≤ 2π

→

или

(Oρ , ON ); 0

z = прoz OM

→

(−π < ϕ ≤ π)

(−π < ϕ ≤ π)

→

→ → →

z

= прOZ− OM ;− ∞ < z < +∞

→ →

OM = xi

+

yj

+ zk = (x, y, z )

θ = (OZ , OM ); 0 ≤ θ ≤ π

- радиус - вектор точки М(x,y,z).

x = ρ cos ϕ

x = r cos ϕ sin θ

y = ρ cos ϕ

→

=

x2 + y2 + z2

OM

x2 + y2 = ρ2

y = r sin ϕ sin θ

→

→

→ →

→ →

ρ =

x2 + y2

x = r cos θ

α = (OM , OX ), β = (OM , OY ); γ = (OM , OZ )

x

y

z

tg ϕ =

y

cos α =

→

; cos β = →

; cos γ =

→

x

y

r2 = x2 + y2 + z2

OM

OM

OM

sin ϕ =

x2 + y2

cos2 α + cos2 β + cos 2 γ = 1

cos ϕ =

x

x2

+ y2

23. Важнейшие

кривые

y

a

y

y

y

y

2a

a

Окружности

0

t

a

0

a

a x,

0

a

2a x,

-a

x

0

x,

-a

0

Циклоида

x

2

a

x

1) x

2

y

2

a

2

; 3)

x

a cos t

1) x2

y2

Астроида

2ax;

1) x 2

y 2

2 ay ;

2

2

2

x

a cos 3 t

x

a(t sin t),

2)

a;

y

a sin t

2)

2a cos

2 )

2 a sin

x3

y 3

a 3 ; или

y

a sin 3 t

y

a(t

cost)

a

a

2a

a(1

sin

)

y

y

Коордиаиды

a

1

0

2a

2a

0

a

a

0

x

x

a

a

0

Локон Аньези

Кривая Гаусса (вероятности)

8a3

или

x

t

x2

(1

cos

)

(1

cos

)

a(1

sin

)

y

y

8a

3

y

e

x2

4a2

t2

4a2

y

y

Спирали

a

a

0

0

x

27

0

a

0

a

x

Логарифмическая

Гиперболическая

Парабола

Петлевая парабола

Спираль Архимеда

спираль

спираль

2

x

t

a (

0)

x

y

a

y2

x(x

a) или

(

0)

e

a

(a

0,

0)

at

y

t3

2 k

T

2

4

1

2

y

3

1 3

2

2

3axy

0

3

а

4

x

y

T

или

,

x

0

0

0

k

0

3at

0

sin

Лемниската Бернулли

x

t3

1

2

3

2

a

2

2

Декартов

3at

2

Улитка Паскаля

a

cos 2

y

a sin 3

a sin 2

b

a cos

Розы

лист

t3

1

2

3

T

2

4

y

Строфоида

y

Циссоида

3

a

Диоклеса

6

4

4

T

x3

a

y2

k k

0

3

0

a

x

cos

1

0

1

-a

a

x

0

a

или

y2

x2

a

x

x

at

1

t 2

a

2

a x

at 2

2

2

a

2

sin2

y

a cos 3

1

t 2

a cos 2

24. Понятие

функции

Определение функции

Способы задания функции

D

E

1. Аналитический (формулой): а) явное задание: y=f(x);

x

y

б) неявное задание: F(x,y)=0, где y=f(x): F(x,f(x)) ≡ 0;

в)параметрическое: x = x(t )

α ≤ t ≤ β

x D → y E y = f (x)

y

,

y = y(t )

y =

{

(x,y)

y =

f (x)

}

(Функцияfотображаетмножество

2. Графический:

график

y

f (x) :

Dна множество Е)

х - аргумент функции:

3. Табличный:

0

x

x

D(f) - областьопределения функции

x1

x2

...

xn

Е(f) - областьизменения функции

y1

y2

...

yn

28

По области определения

1. Функция непрерывного аргумента

D(f) =(a,b)

2. Функция дискретного аргумента (последовательности)

D( f ) N

Классификацияфункций

По области изменения

Позаконусоответствия

1. Четная

а)Элементарныефункции

б)Неэлементарныефункции

x D, f (− x) = f (x)

Алгебраическая

Трансцендентная

где Д - симметрична относительно, х0=0

y

f1(x), x0 < x ≤ x1,

1. Рациональные

1.Тригонометрические:

а) Целая: y=Pn(x).

y=sin x;

y=cos x;

(x), x1

< x ≤ x2,

0

x

f2

2.Нечетная

Вчастности:

y = xn,n R

y=tg x;

y=ctg x.

y =

…………………..

x D, f (− x) = − f (x)

y = ax + b;

2.Обратныетригонометрические:

где Д - симметрична относительно, х 0=0

2

y=arcsin x;

y=arccos x;

(x), xk

−1 < x < x

y

y = ax

+ bx + c

y=arctg x;

y=arcctg x.

fk

б)дробно-рациональные

3.Показательные

0

x

y =

Pn (x)

y = ax (a ≠ 1,a > 0)

3. Периодическая

Qm (x)

x

T ≠ 0;1) x D (x + T ) D

Вчастности: y = e

y = ax + b

4. Логарифмические

2) x D f (x + T ) = f (x)

Вчастности

4. Монотонная

cx + d

y = log a x (a ≠ 1, a > 0, x > 0)

В частности: y=ln x, y=lg x

x1, x2 D и x1 < x2

2.Иррациональные

5.Степенные

f(x1)<f(x2) - возрастающая

y =

y = xα, α-иррациональное

x , y = 3

x

илиf(x1)>f(x2) - убывающая

6. Гиперболические:

5. Ограниченная на Д

y = sh x =

ex − e−x

; y = ch x =

ex + e−x

M > 0; x D

f (x)

≤ M

y = thx

=

sh2 x

;

y = cth x = ch x2

ch x

sh x

25. Предел

функции

Определение геометрическийсмысл

Бесконечно малые и

Сравнение бесконечномалых

Таблица эквивалентных б.м.

бесконечно большие величины

α(x) → 0 при x → x0

b = lim

f (x)

α(x) - бесконечно малая при

1. lim

α1 ( x)

= 0

α1

( x) << α2 ( x)

1. sin α(x) ~ tg α (x) α (x)

x→x0

x → x0 , если

x→ x0

α 2 ( x)

2. arcsin

α (x) arc tg α (x) α(x)

(ε > 0δ > 0; x D( f ) и 0 < x − x < δ

lim α(x) = 0

2. lim

α1(x)

= ∞ α

(x) >> α

(x)

3.ln (1 + α (x)) α(x)

0

1

2

y

f (x) − b < ε);

x→x0

x→x0 α2 (x)

4. aα ( x) − 1 α ( x) ln a;

)

A ≠ 0

b + ε

x

F(x) - бесконечно большая при

α

= f

(

x0 − δ < x < x0

+ δ;

1

(x)

α ( x)

− 1 α(x).

b

y

x → x

, если

3. lim

= A

e

2

(x)

A ≠ ∞

(x)

b − ε

b − ε < f (x) < b + ε

lim

0

x→ x0 α

5.1− cos (α(x))

α

F(x) = ∞

α1(x), α

2

2

x→x0

1 ;F(x) =

1

2 (x) одного порядка.

m

α(x) =

α

(x)

6.(1+ α(x)) n − 1 m α (x)

0

x

0

− δ x x

x0 + δ

x

при

F(x)

α(x)

4. lim

1

=1 α1(x) α2(x)

1 + α(x) − 1

α(x)n

0

x → x0

x→x0 α2(x)

2

lim

f (x) = b f (x) = b + α(x), где α(x) → 0при

x → x0

x→x0

Раскрытиенеопределенностей

Неопределен.

Правило

Примечание

при x → x0

1.

0

Раскрывается:

'

1.Применяютсятождественныепреобразования:

0

а) поправилу Лопиталя

lim

f (x)

=

lim

f (x)

а)освобождениеот иррациональностивзнаменателе(числителе);

29

x → x0 ϕ(x)

x → x0

ϕ' (x)

б) разложениена множители числителяи знаменателя.

б) деление числителя и знаменателя на

2.Применяется таблицаэквивалентныхбесконечномалых.

критическиймножитель

(x − x0 )

lim

sin x

=1

в) по Iзамечательному пределу:

x→0

x

∞

Раскрывается: а) поправилу Лопиталя

a0

при n = m

2.

a xn + a xn−1

+ ...+ a

b0

∞

lim

f (x)

=

lim

f ' (x)

Используется правило: lim

0

1

n

=

при n < m

ϕ(x)

ϕ' (x)

+ ...+ b

x→ x0

x → x0

x→∞ b xm + b xm−1

0

б) делением числителя и знаменателя на старшую степень

0

1

m

∞ при n > m

∞

Раскрывается по IIзамечательному пределу:

Используетсятождество:

3. 1

ϕ(x) f (x)

f (x) → 0,

1

n

1

lim [1+ f (x)]

ϕ(x)

lim

x→ x0

x

lim

1+

= e;

lim (1+ x) = e

= e

,если при x → x0

ϕ(x) → ∞

n

n→∞

x→ 0

x→ x0

4. ∞ − ∞

Сводится к неопределенности

0

или

∞

Применяются преобразования: а) приведение к общему знаменателю;

0

∞

б)освобождениеот иррациональностивзнаменателе(числителе)

5. 0 ∞

0

∞

lim f (x) ϕ(x) = lim

f ( x )

),если при x → x

f (x) → 0,

Сводится к неопределенности

или

∞

ϕ(x) → ∞

1

0

0

x → x

0

x → x

0

ϕ ( x )

6. 0

0

,

∞

0

0 ∞

Используетсятождество: lim ϕ( x) . ln f ( x )

f (x) → 0 ( f (x) → ∞ ),

Сводитсякнеопределенности

lim f (x)ϕ(x) =ex

→ x0

,еслипри x → x0

x→x0

ϕ(x) → ∞(ϕ(x) → 0