Пример 4

2. К грузу 1 массы m₁=20 кг и цилиндрическому катку 3 радиуса ₃=0,2 м массы m₃=10 кг прикреплена нить, переброшенная через блок 2 массы m₂=2,5 кг (рис. 5). Даны значения углов: ,. Определить ускорение груза 1, его скорость в зависимости от пройденного им по наклонной плоскости путиs и условие того, чтобы груз опускался, если в начальный момент МС находилась в покое. Блок 2 и каток 3 считать однородными круглыми цилиндрами, массой нити пренебречь. Коэффициент трения скольжения груза f_c=0,1, а коэффициент трения качения катка f_к=0,01 Н/м.

3 Рассматриваемый объект принимается за МС, состоящую из од - ной МТ – груз 1 и двух АТТ: блок 2 и каток 3.

Рис. 5

2. Связи стационарные, удерживающие и неидеальные, так как работы силы трения скольжения – F_тр и момента трения качения – M_тр на виртуальных перемещениях не равны нулю.

Силовая схема, состоящая из сил и моментов: ,,,, представлена на рис. 5. Реакции связейне войдут в общее уравнение динамики, так как их работы на виртуальных перемещениях равны нулю. Сила трения скольжения и момент трения качения условно принимаются за активные силы:

, (Ч.2 Статика).

Д54 ПДС

5 7,,

С учетом формул для моментов инерции:

и ,

получим следующие выражения моментов сил инерции:

, .

4 Векторная форма: да.

5б Равновесие: нет, движение.

6б Д49 КЭС

3 –6

7б Виртуальные перемещения изображены на рис. 5.

8б Соотношения между виртуальными перемещениями выражаются через (=1). Эти соотношения устанавливаются аналогично тому, как это было сделано для перемещений в примере 1 главы 4, п. 4.9. Ч.3 Динамика (рис. 38).

Груз 1 принимается за МТ и совершает прямолинейное движение. Блок 2 совершает вращательное движение относительно неподвижной точки, каток 3 совершает плоско-параллельное движение:

, ,.

Все ускорения выражаются через ускорение груза. Эти соотношения устанавливаются аналогично тому, как это было сделано для перемещений и скоростей в примере 1 главы 4, Ч.3 Динамика (рис. 38) или используются по аналогии соотношения, полученные ранее для виртуальных перемещений:

, ,.

9 Подставив в выражения для силы трения скольжения, момента трения качения, сил и моментов сил инерции (уровень3), а также соотношения между виртуальными перемещениями и ускорениями (уровень 8б), получим:

Так как r₁ – независимая вариация, то:

10 Ответ:

.

Скорость груза 1 с учетом нулевых начальных условий можно найти путем искусственного преобразования и интегрирования методом разделения переменных:

, так как , то, разделив переменные, получим:

, ,,

.

Условия того, чтобы груз 1 опускался W₁>0 или V₁>0, т. е.

.

Таким образом, условие того, чтобы груз 1 опускался, выполняется.

Пример 5

2. Объект состоит из: неподвижного и подвижного блоков 1, 2 масс m₁=40 кг и m₂=20 кг соответственно, тележки массы m₃=10 кг, находящейся на наклонной плоскости (), катка 4 массыm₄=20 кг, прикрепленного к тележке пружиной жесткости с=0,02 Н/м, которая в начальный момент времени не деформирована, и груза 5, массы m₅=40 кг (рис. 6). На блок 1 действует пара сил с моментом =250 Нм, а на каток 3 силаF = 50 Н. Внешний радиус неподвижного блока ₁=0,4 м, а внутренний . Его масса и масса катка равномерно распределена по блоку и катку. Масса подвижного блока равномерно распределена по ободу. Массами колес тележки, пружины, тросов, соединяющих подвижные и неподвижные блоки, тележку и груз, пренебречь.

Рис. 6

Составить систему дифференциальных уравнений движения МС, используя общее уравнение динамики.

МС состоит из четырех АТТ: блоки 1, 2, тележка 3, каток 4 и МТ – груз 5.

2. Связи стационарные, удерживающие и идеальные. Силовая схема, состоящая из сил и моментов: ,,, представлена на рис. 7. Реакции идеальных связей не изображены на рис. 7.

Рис. 7.

5 , 7 ,,,

Д54 ПДС

,,,.

С учетом формул для моментов инерции:

, ,,

получим следующие выражения для моментов сил инерции:

, ,.

Неподвижный блок совершает вращательное движение, подвижный блок – плоско-параллельное движение, тележка – поступательное движение. Каток совершает сложное движение, в котором переносное движение – это движение вместе с тележкой, а относительное – это плоско-параллельное движение относительно тележки. Груз 5 совершает прямолинейное движение МТ.

4 Векторная форма: да.

5б Равновесие: нет, движение.

6б Д49 КЭС 3 – 6

7б Виртуальные перемещения (абсолютное виртуальное перемещение центра масс катка), (относительное виртуальное перемещение центра масс катка С₄, модуль которого примем за х), изображены на рис. 7.

8б Соотношения между виртуальными перемещениями выражаются через и, так как степень свободы МС:=2. Эти соотношения устанавливаются аналогично тому, как это было сделано ранее в этом же примере для линейных и угловых ускорений: ,,

, ,

, .

Здесь переносное виртуальное перемещение центра масс С₄ катка.

Используя соответствующие разделы Ч. 1 Кинематика или, по аналогии, соотношения, полученные ранее для виртуальных перемещений, получим следующие выражения линейных и угловых ускорений через угловое ускорение неподвижного блока ₁ и относительное ускорение центра масс катка :

, ,,

,

(так как ),.

9 Подставив в выражения для силы упругости, сил и моментов сил инерции (уровень3), а также соотношения между виртуальными перемещениями и ускорениями (уровень 8б), получим:

Так как инезависимые вариации, то:

Приняв , получим систему дифференциальных уравнений движения МС:

10 Ответ: