- •Лекции №26-27 Векторное (линейное) пространство над полем к
- •Линейные оболочки
- •Подпространства
- •Линейная зависимость векторов
- •Размерность векторного пространства и его базис.
- •Переход от одного базиса к другому
- •Координаты вектора
- •Изоморфизм пространств
- •Пересечение и сумма подпространств
- •Прямая сумма
- •1)Внешняя прямая сумма
- •2) Внутренняя прямая сумма
- •Фактор пространства
- •Линейные функции
- •Двойственное пространство и двойственный базис
- •Рефлексивность
- •Критерий линейной независимости
Пересечение и сумма подпространств
Пусть U и W — подпространства векторного пространства V над полем F.
Предположим, пересечение подпространств U и W является векторным пространством.
Замечание.Объединение пространств U и W не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере.
Пример. Пусть , то есть множество векторов вида , где . Базисом этого пространства служат вектора e1=(1,0) и e2=(0,1). Положим U1=и U2=– линейные оболочки векторов и, соответственно. Сумма векторовне содержится в
Определение. Суммой подпространств U и W называется наименьшее подпространство в V, содержащее U и W, то есть
.
Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:
Сумма подпространства U1, U2, …, Un в V - это наименьшее подпространство, содержащее все Ui , то есть
Пусть U и W – подпространства конечномерного векторного пространства V. Тогда
Прямая сумма
1)Внешняя прямая сумма
Пусть U и W — векторные пространства над полем F.
Определение. Прямой суммой векторных пространств U и W называется декартово произведение V=U×W с операциями сложения векторов и умножения их на скаляр, определенными следующей формулой:
Замечание. Определенная таким образом прямая сумма называется внешней. Непосредственной проверкой можно убедиться, что внешняя прямая сумма векторных пространств является векторным пространством.
Предположим, внешняя прямая сумма пространствU и W обладает следующим свойством: если и— линейные отображения, определенные условиямитоявляется внутренней прямой суммой подпространств. Таким образом,
2) Внутренняя прямая сумма
Определение. Пространство V называется прямой суммой своих векторных подпространств U1, U2, …, Un , если каждый векторможет быть представлен одним и только одним способом в виде суммы
, где
Прямая сумма векторных пространств обозначается через V =.
Определенная таким образом прямая сумма называется внутренней.
Пример. Пусть и подпространства U1 и U2 определены так же, как в примере 1. Тогда сумма является прямой, то есть V =.
Сумма V =является прямой тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий:
1);
2) dim V = dim + dim + …+ dim.
Следствие. Если n=2, то сумма V =является прямой тогда и только тогда, когда=0.
Для любого m-мерного подпространства U векторного пространства V размера n найдется такое n – m – мерное пространство W, такое что V =.
Фактор пространства
Пусть L – линейное пространство. - его подпространство. Определим на L отношение эквивалентности следующим образом: x~y ↔ x-yM, а- вектор. Различные вопросы приводят к рассмотрению множеств вида:
,
“сдвигов” линейного пространства M на вектор l. Такие сдвиги не обязаны быть линейными подпространствами в L; их называют линейными подмногообразиями.
Лемма. тогда и только тогда, когда и . Таким образом, всякое линейное подмногообразие однозначно определяет линейное подпространство M, сдвигом которого оно является. Вектор же сдвига определяется с точностью до элемента из этого подпространства.
Определение. Фактором пространства L/M линейного пространства L по M называется множество всех линейных подмногообразий в L, являющихся сдвигами подпространства M, со следующими операциями:
а)
б)для любых.
Эти операции определены корректно и превращают L/M в линейное пространство над полем .
Замечание.
а) Из определения видно, что аддитивная группа L/M совпадает с факторгруппой аддитивной группы L по аддитивной группе M. В частности, подмногообразие является нулем вL/M.
б) Имеется каноническое отображение Оно сюръективно, а его слои – прообразы элементов – суть как раз подмногообразия, отвечающие этим элементам.
Следствие. Если L конечномерно, то dim L/M = dim L - dim M.