Фарковка
.pdf
|
b |
b |
|
|
|
2) |
kf (x)dx k f (x)dx; |
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
b |
b |
b |
|
|
3) |
( f1 (x) f2 (x))dx f1 (x)dx f2 (x)dx |
|
|||
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
b |
b |
4) |
Если f(x) (x) на отрезке [a, b] |
то f (x)dx (x)dx |
|||
|
|
|
|
a |
a |
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции
|
|
|
b |
|
||
|
f(x) на отрезке [a, b], то: |
m(b a) f (x)dx M (b a) ; |
||||
|
|
|
a |
|
||
6) |
Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на |
|||||
|
|
|
b |
|
||
|
этом отрезке существует точка c такая, что f (x)dx (b a) f (c) . |
|||||
|
|
|
a |
|
||
|
Формула Ньютона – Лейбница: Если функция F(x) – какаялибо перво- |
|||||
|
|
|
b |
|
||
образная от непрерывной функции f(x), то |
f (x)dx F (b) F (a) . |
|||||
|
|
|
a |
|
||
|
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной): |
|||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = а, |
( ) = b. |
|
||
f (x)dx f [ (t)] (t)dt , здесь |
|
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
b |
Метод интегрирования по частям: udv uv |
|
vdu. |
||||
|
||||||
|
||||||
|
|
a |
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
Задания к расчетно-графической работе
Задание 5.1. Найдите неопределенные интегралы.
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e x dx |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
а) |
|
arcsin x |
|
|
|
||||||
|
а) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
dx ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|||||||
|
1 e x |
|
|
|
|||||||||||
|
б) |
x ln x 1 dx ; |
|
б) 4x cos xdx ; |
|
||||||||||
|
в) |
(x 18)dx |
; |
|
в) |
(x 4)dx |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 2x 8 |
|||||||||
|
x2 4x 12 |
|
41
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
г) |
|
|
|
|
x 2dx |
; |
|
|
|
|
г) |
|
|
|
xdx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
д) |
sin 4 x cos xdx . |
|
д) |
sin x cos 4 xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
а) |
|
e x dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
а) |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
e x 1 |
|
|
|
|
|
|
x 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
|
|
xdx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x |
2 |
e |
x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
(x 12)dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x 23)dx |
|
|
|
|
в) |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
x 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
sin 5x cos 3xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) sin x cos 3xdx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
а) |
|
|
x3 dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
а) |
|
|
xdx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 x8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
|
2xe |
x |
dx ; |
|
|
|
|
б) |
|
|
arctgx |
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x 19)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
5xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
2x 15 |
|
|
в) |
x2 |
|
x |
6 |
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
г) |
|
|
|
|
x 2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
г) |
|
|
|
x 3dx |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
д) |
sin3 x cos xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
д) |
sin x cos |
5 |
|
xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
а) |
|
|
|
|
x 2 dx |
|
; |
|
|
|
9 |
а) |
e x2 1 xdx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x6 |
1 |
|
|
|
|
б) |
4x sin xdx ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
xarctgxdx ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
|
|
(2x 9)dx |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(5x 2)dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
; |
|
|
|
x |
2 |
|
5x |
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
2x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
г) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (x 1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
sin x cos 7xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
sin 7x cos xdx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5 |
а) |
x sin 1 x2 dx ; |
10 |
а) |
|
|
x 2 dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) 5x cos xdx ; |
|
|
|
|
1 |
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
2x 3 sin xdx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
(11x 2)dx |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x 13)dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
x 2 |
|
|
в) |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
2x |
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
д) sin x sin 3xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
д) |
cos x cos 7xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
Задание 5.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
Вариант |
|
Задание |
|
Вариант |
Задание |
|
|||
1 |
y ex , |
y e x , |
x 1 |
6 |
y x2 3x, |
y x2 3x |
|||
2 |
3x2 4y 0, 2x 4y 1 0 |
7 |
y ex , |
y e x , |
x 2 |
||||
3 |
y x2 1, |
y x 1 |
8 |
y x 1, |
y x2 2x 1 |
||||
4 |
y x2 4x, |
y x 4 |
9 |
y ex , |
y e x , |
x 2 |
|||
5 |
y2 x 1, |
y x2 2x 1 |
10 |
y x2 3, |
y 2x |
Пример выполнения заданий по теме 5
Задание 5.1. Найдите неопределенные интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
|
|
|
|
sin x cos xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) x(x2 1)3 / 2 dx. ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
в) |
|
ln |
x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
x2 sin xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
д) |
|
(2x 5)dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
2x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
е) |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ж) sin 7x sin 2xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) |
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt. Тогда: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos xdx = |
|
|
dt t1/ 2 dt |
2 |
t 3 / 2 |
C |
2 |
sin 3 / 2 x C. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
sin x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) Выполним замену: |
|
t x2 |
1; dt 2xdx; |
xdx |
dt |
|
; Получаем: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
t |
3 / 2 |
dt |
|
1 |
|
t 3 / 2 dt |
1 |
|
2 |
t 5 / 2 |
C |
t 5 / 2 |
C |
(x2 1)5 / 2 |
C; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
в) Воспользуемся методом интегрирования по частям:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
u ln x; |
dv |
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ln x |
|
|
|
x3 |
|
ln x |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
ln x |
|
1 |
|
dx |
|
ln x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2x 2 |
|
2x |
2 |
x |
2x 2 |
2 |
x3 |
2x 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
du |
dx; |
v |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
x 2 |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2x2 |
4x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
г) Применим метод интегрирования по частям дважды:
|
2 |
; dv sin xdx; |
|
x2 cos x ( cos x) 2xdx |
|
x2 sin xdx u x |
|
|
|||
du 2xdx; |
v cos x |
|
x2 cos x cos x 2xdx
|
u 2x; |
|
|
dv cos xdx; |
x2 cos x 2x sin x 2sin xdx x2 cos x 2xsin x 2cos x C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2dx; |
|
v sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
д) |
|
Представим дробь |
|
|
|
2x 5 |
|
в виде суммы простейших дробей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Так как |
x2 2x 3 (x 3) (x 1), |
|
то |
|
|
|
2x 5 |
|
= |
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 2x 3 |
|
|
x 3 |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
A(x 1) B(x 3) |
. |
Откуда |
следует, что 2x + 5 = A(x – 1) + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 2x 3 |
|
|
|
|
|
x2 2x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ B(x + 3). Положим x = -3, тогда -1 = -4A, то есть A = |
1 |
|
|
; Положим x = 1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
тогда 7 = 4B, то есть B = |
|
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
x2 2x 3 |
|
x 3 |
|
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2x |
5)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
1 |
ln |
|
x |
3 |
|
|
|
7 |
ln |
|
x |
1 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
е) Для нахождения данного интеграла воспользуемся подстановкой t = |
|
x 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
t 2 x 1 , откуда x t 2 |
1 и dx 2tdt . Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2tdt |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 1 |
|
|
|
t 1 |
|||||||||||||||
Так как под знаком интеграла получилась неправильная дробь |
|
2t |
|
|
, |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разложим неправильную дробь на сумму правильной дроби и многочлена. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выполнив деление числителя на знаменатель, получим: |
|
|
2t |
|
= 2 - |
|
2 |
|
|
|
|
. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t 1 |
|
t 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
dt 2t 2 ln |
t 1 |
C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сделав обратную замену t = |
|
x 1 , получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 = 2 |
|
|
x 1 2ln |
|
|
|
x 1 1 |
C 2 x 1 2ln( |
|
|
x 1 1) C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) Для нахождения данного интеграла воспользуемся формулой:
44
|
|
|
|
|
|
|
|
sin sin |
= |
1 |
(cos( ) cos( )) . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin 7x sin 2xdx |
= = |
1 |
(cos 5x cos 9x)dx = |
1 |
cos 5xdx |
1 |
cos 9xdx |
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
sin 5x |
|
|
|
sin 9x C |
|
|
sin 5x |
|
sin 9x C. |
|
|
|
||||||
2 |
5 |
2 |
9 |
|
|
|
||||||||||||||||
10 |
18 |
|
|
|
Задание 5.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
Решение.
Построим графики функций: y = x, y = x2, x = 2.
График функции y = x – прямая, являющаяся осью симметрии первого и третьего координатных углов, график функции y = x2 - парабола с вершиной в точке (0;0), а графиком линии x = 2 является прямая, перпендикулярная оси абсцисс и проходящая через точку (2; 0). Искомая площадь фигуры заштрихована на рисунке:
|
6 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
- 1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
- 1 |
|
|
|
Тогда
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
x |
3 |
2 |
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S ô |
= (x |
2 |
x)dx x |
2 |
dx xdx |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||
|
8 |
|
1 |
|
|
(2 |
1 |
) |
7 |
|
3 |
|
|
5 |
(ед2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
3 |
2 |
3 |
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
7. Тема 6. Дифференциальные уравнения.
Краткие теоретические сведения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные (или дифференциалы) различных порядков этой функции.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка называется такое его решение y = f(x, c1 , c 2 , …,c n ), которое является
функцией переменной x и n произвольных независимых постоянных c1 , c 2 , …,
c n .
Частным решением обыкновенного дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего решения при некоторых конкретных значениях постоянных c1 , c 2 , …,c n .
Задачей Коши называется нахождение частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым начальным условиям.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
F(x, y, y / ) 0 .
Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно
преобразовать к виду P (x) Q (x)dx P (x) Q (x)dy 0 , называется уравнением |
||||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
с разделяющимися переменными. |
|
|
|
|
Дифференциальное уравнение y / |
f (x, y) |
называется однородным уравне- |
||
нием первого порядка, если функцию |
f (x, y) |
|
можно представить как функцию |
|
y |
||
отношения своих аргументов, то есть |
f (x, y) |
|
. |
|
|||
|
x |
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно преобразовать к виду: y/ p(x) y g(x) .
Дифференциальное уравнение вида y// p y/ qy f (x) называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
46
Задания к расчетно-графической работе
Задание 6.1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка.
1. |
а) |
4xdx 3ydy 3x2 ydy 2xy 2 dx ; |
6. |
а) |
x |
|
5 y 2 dx y 4 x2 dy 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
б) |
y |
|
|
|
x ; |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
x |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
в) x 2y dx xdy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
в) |
xdy 2y x dx 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
а) |
y 4 ex dy ex dx 0 ; |
||||||||||||||||
а) |
|
4 y 2 dx ydy x2 ydy ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
б) y 2xy 2x3 ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) |
y |
2x |
x ; |
|
в) y |
x y |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx 2xydy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
в) |
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3. |
а) 6xdx 6ydy 2x2 ydy 3xy 2 dx ; |
8. |
а) |
2xdx 2ydy x2 ydy 2xy 2 dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
б) |
y |
x y |
x ; |
|
б) |
y |
x |
|
x2 ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
x2 |
3y2 dx 2xydy 0 . |
|
в) x y dx xdy 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) x 3 y 2 dx y 2 x2 dy 0 ; |
а) x 4 y 2 dx y 1 x2 dy 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
б) |
y |
x |
x3 ; |
|
б) |
y |
2 x 2x ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
x2 |
2xy dx xydy 0 . |
|
в) y x dx y x dy 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
а) |
e2 x 5 dy ye2x dx 0 ; |
10. |
а) |
ex 8 dy ye x dx 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) |
y |
x 3x ; |
|
б) |
y |
x |
|
x2 ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) x y dx y x dy 0 . |
|
в) |
xdy |
x 2y dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 6.2. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
1. |
y 8y / 17 y 10e2x |
6. |
y 3y 2y (34 12x) e x |
2. |
y y 6y (6x 1) e3x |
7. |
y 6y 10y 51e x |
3. |
y 2y / 8y 12sin 2x 36cos 2x |
8. |
y y 2cos x (4x 4) sin x |
4. |
y 7 y / 12y 3e4 x |
9. |
y 6y 10y 74e3x |
5. |
y 2y 6 12x 24x2 |
10. |
y 3y 2y 3cos x 19sin x |
47
Пример выполнения заданий по теме 6
Задание 6.1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка.
а) 20xdx 3ydy 3x2 ydy 5xy 2 dx ; б) xy y x 1;
y |
|
в) xy y ln |
. |
x
Решение.
а) Уравнение 20xdx 3ydy 3x2 ydy 5xy 2 dx является уравнением с разделяющимися переменными.
1. Разделим переменные. Перенесем слагаемые с dx в левую часть, а слагаемые с dy в правую: 20xdx 5xy2dx 3x2 ydy 3ydy . Вынесем за скобки общие
множители: |
|
5x(4 y2 )dx 3y(x2 1)dy . Разделим обе части на (4 + y 2 )·(x 2 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1): |
|
5x |
|
|
dx |
|
|
3y |
|
|
dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. Возьмем интегралы от правой и левой частей уравнения, применив метод |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
подстановки: |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dy , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x2 1 |
y 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
5x |
|
dx |
t x2 1, dt 2xdx,5xdx |
5 |
dt |
|
|
|
2 |
dt |
5 |
ln |
|
t |
|
|
1 |
ln |
|
C |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. Аналогично |
|
3y |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
ln |
x2 1 |
|
|
|
ln |
|
C1 |
|
|
dy |
|
|
ln |
y2 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
y 2 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Тогда: |
|
|
ln |
y 2 |
= |
|
|
ln |
x2 |
|
ln |
C1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Выразим y из данного равенства. Для этого умножим данное равенство на 2 и |
|||||||||||||||||||
применив свойства логарифмов, |
получим: ln y 2 |
4 3 ln C2 (x2 |
1)5 . |
Откуда |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( y2 4)3 |
C2 (x2 1)5 ; |
y2 4 C 3 (x2 1)5 ; y2 |
C(x2 1) 3 4. |
Таким |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образом, |
y = |
|
C(x2 1) 3 |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Уравнение |
xy y x 1 является линейным уравнением. |
Разделим обе |
|||||||||||||||||
части на x. Тогда получим: y' + |
y |
|
= 1 + |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Решим данное уравнение методом Бернулли.
Решение уравнения ищем в виде y = uv, тогда y' = u'v + uv'. Подставим y' и y в
уравнение y' + xy = 1 + 1x y' + xy = 1 + 1x . Тогда получим:
48
u'v + uv' + |
vu |
= 1 + |
|
|
|
|
|
1 |
|
. Сгруппируем второе и третье слагаемое левой части |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
уравнения и вынесем за скобки u, тогда получим u'v + u(v' + |
|
v |
) = 1 + |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Найдем |
частное |
|
|
|
|
|
решение |
|
уравнения |
v' |
+ |
|
|
|
v |
= |
0. |
|
|
|
Это |
|
уравнение с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
разделяющимися переменными. Заменим v' |
|
на |
|
dv |
|
|
и разделим переменные |
v и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x: |
dv |
|
|
v |
|
dv |
|
dx |
|
. |
Тогда |
|
|
dv |
|
|
|
dx |
|
и |
|
ln |
|
v |
|
ln |
|
x |
|
ln |
|
C1 |
|
. Откуда по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
свойствам логарифмов получаем v = |
|
. Возьмем C1 = 1 и получим искомое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частное решение: v = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Подставим данное частное решение в уравнение u'v + u(v' + |
|
|
v |
) = 1 + |
|
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
Тогда получим u'· |
1 |
|
= 1 + |
1 |
, которое является уравнением с разделяющимися |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
переменными. Найдем общее решение данного уравнения. Так как u' = |
|
du |
|
|
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеем |
|
|
du |
|
|
x 1 |
. Умножим обе части данного уравнения на dx·x, получим du |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= (x + 1)dx. Взяв |
|
|
интегралы от обеих |
|
|
частей |
|
|
уравнения: du (x 1)dx , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим u = |
|
x 2 |
|
+ x + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1x |
= 2x 1 Cx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x + C)· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Тогда y = uv = ( x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|||||||||||
в) Разделим обе части уравнения |
xy y ln |
|
|
на y, тогда получим |
|
|
y |
|
|
|
ln |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|||||||||||
которое является |
однородным |
|
|
дифференциальным |
уравнением |
|
|
|
|
первого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
порядка, так как |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Введем новую переменную u = |
|
y |
и найдем y' = u'x + u. Подставим y' и |
y в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
, которое будет уравнением с разделяющимися |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменными: u'x + u = u·lnu . Разделим переменные u и x. Так как u' = |
|
du |
|
|
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеем |
|
du x |
u ln u u . Умножим обе части уравнения на |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. В итоге |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x u(ln u 1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
получим |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
u (ln u 1) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
Возьмем |
|
интегралы |
от |
обеих |
|
частей |
уравнения. |
|
|
|
Так |
как |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
du |
|
|
t ln u 1, dt |
du |
|
dt |
ln |
|
t |
|
ln |
|
ln u 1 |
|
, |
|
dx |
ln |
|
x |
|
ln |
|
C |
|
, |
то имеем: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
u(ln u 1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ln |
|
ln u 1 |
|
ln |
|
x |
|
ln |
|
C |
|
. Применив свойства логарифмов и учитывая, |
что |
С – |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
константа, получим lnu – 1 = Cx, откуда lnu = Cx + 1. Тогда u = e Cx 1 . Так как y = ux, то получаем: y = x·e Cx 1 .
|
5 |
|
б) y = 2x 1 Cx ; |
|
Ответ: а) y = |
C(x2 1) 3 |
4 ; |
в) y = x·e Cx 1 . |
Задание 6.2. Решить уравнения:
а) y 2y y 3ex ;
б) y y sin 2x;
в) y y/ x 2;
г) y 7 y 6y (x 2)ex .
Решение.
а) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения: yîí yîî y÷í .
1. Найдем общее решение однородного уравнения y 2y y 0. Для этого составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного дифференциального уравнения: k 2 2k 1 0.Найдем корни этого квадратного уравнения: k1 k2 k 1. Так как в случае D = 0 общее решение линейного
однородного дифференциального |
второго |
порядка с постоянными |
||||||
коэффициентами имеет вид y |
îî |
C ekx C |
2 |
xekx , |
то общее решение исходного |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
||
уравнения будет иметь вид: y |
îî |
C ex C |
xe x . |
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения
y 2y y 3ex . |
Так как f(x) = 3ex , |
то |
|
частное |
решение |
данного |
|||||||||||||
дифференциального уравнения имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y |
֒ = y = Ae |
x |
x |
2 |
|
1, |
|
0, t |
|
2, l |
|
0) . |
|
|
|
||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для нахождения A воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. |
|||||||||||||||||||
y 2Axe x Ax 2ex ; |
y 2Ae x 2Axe x 2Axe x Ax 2ex 2Ae x 4Axe x Ax 2ex . |
||||||||||||||||||
Подставляя в исходное уравнение |
y, y/ , y// , получаем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2Ae x 4Axe x Ax 2ex |
4Axe x |
2Ax 2ex Ax 2ex |
3ex . Откуда |
2A 3; |
A |
3 |
. |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Частное решение имеет вид: |
y֒ |
= y |
3 |
x2 e x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:
y C1e x C2 xe x 32 x2 e x .
50