VII Кратные интегралы
.pdfx dx dy dz;
V |
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5.1. V : y |
10 x, |
y |
0, |
x 1, |
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z |
xy, |
z |
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0. |
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15 |
y 2 |
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z 2 |
dx dy dz; |
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V |
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5.3. V : z |
x |
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y, |
x |
y |
1, |
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x |
0, y |
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0, z |
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0. |
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1 |
2 x3 |
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dx dy dz; |
||||
V |
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5.5. V : y |
9 x, |
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y |
0, |
x |
1, |
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z |
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xy , |
z |
0. |
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y dx dy dz;
V |
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5.7. V : y |
15 x, |
y |
0, |
x 1, |
||||
z |
xy, |
z |
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0. |
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3x 2 |
y 2 |
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dx dy dz; |
|||||
V |
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5.9. V : z |
10 y, |
x |
y |
1, |
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x |
0, y |
0, z |
|
0. |
||||
4 |
8 z 3 |
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dx dy dz; |
|||||
V |
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5.11. V : y |
x, y |
|
0, |
x |
1, |
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z |
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xy , |
z |
0. |
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dx dy dz |
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; |
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x |
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y |
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z |
4 |
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V |
1 |
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3 |
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4 |
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8 |
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5.2. V : 1 |
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x |
y |
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z |
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1, |
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3 |
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4 |
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8 |
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x |
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0, y |
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0, z 0. |
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3x |
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4 y |
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dx dy dz; |
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V |
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5.4. V : y |
x, |
y |
0, |
x |
1, |
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||||||||||||||||||
|
z |
5 x2 |
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y 2 |
, z |
0. |
|||||||||||||||||
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27 |
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54 y 3 |
dx dy dz; |
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V |
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5.6. V : y |
x, |
y |
0, |
x |
1, |
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z |
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xy , z |
0. |
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dx dy dz |
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; |
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x |
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y |
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z |
5 |
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V |
1 |
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16 |
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8 |
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3 |
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5.8. V : |
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x |
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y |
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z |
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1, |
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16 |
5 |
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3 |
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||||||||||||
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x |
0, y |
0, |
|
z |
0. |
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|||||||||||||||||
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15 x |
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30 z |
dx dy dz; |
|||||||||||||||||
V |
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5.10. V : z |
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x2 |
3 y 2 , z |
0, |
||||||||||||||||||||
|
|
y |
x, |
y |
0, |
z |
0. |
|||||||||||||||||
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1 |
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2 x3 |
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dx dy dz; |
||||||||||||||||||
V |
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5.12. V : y |
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36 x, |
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y |
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0, |
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x 1, |
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|
z |
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xy , |
|
z |
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0. |
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11
21xz dx dy dz;
V |
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5.13. V : y |
|
|
x, y |
|
0, x |
2, |
||||
z |
|
xy, |
z |
|
0. |
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||||
x 2 |
|
|
3 y 2 |
|
dx dy dz; |
|||||
V |
|
|
|
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5.15. V : z |
|
|
10 x, |
x |
y |
1, |
||||
x |
|
0, y |
|
|
0, z |
0. |
||||
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10 |
x |
5 |
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dx dy dz; |
|||||
|
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|||||||
V |
3 |
|
|
|
3 |
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||
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5.17. V : y |
|
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9 x, |
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y |
0, x |
1, |
|||
|
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|
|
|
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||
z |
|
|
|
xy , |
z |
0. |
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3 y 2 |
dx dy dz; |
||
V |
|
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5.19. V : y |
2 x, |
y |
0, x 2, |
z |
xy, |
z |
0. |
x 2 dx dy dz;
V |
|
|
|
5.21. V : z |
10 x |
3 y |
, x y 1, |
x |
0, y |
0, z |
0. |
63 1 |
|
2 |
y |
dx dy dz; |
||
V |
|
|
|
|
|
|
5.23. V : y |
x, |
y |
0, |
x 1, |
||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
xy , |
z |
0. |
|
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dx dy dz |
|
; |
||||||||||
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x |
|
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y |
|
z |
6 |
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V |
1 |
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||||||||
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10 |
8 |
|
3 |
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||||||||||
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|
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||||||||||
5.14. |
V : |
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
1, |
|
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|||||
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10 |
8 |
|
3 |
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||||||||||
|
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|
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|||||||||
|
|
x |
0, y |
0, z |
|
|
0. |
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60 y |
90 z |
|
dx dy dz; |
||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
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|
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5.16. V : y |
|
|
x, |
y |
0, |
x |
|
|
1, |
||||||||||||
z |
|
|
x2 |
|
y 2 , |
z |
0. |
|
|||||||||||||
9 |
|
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18 z |
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dx dy dz; |
||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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||
5.18. V : y |
|
|
4 x, y |
0, |
|
x |
1, |
||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
z |
|
|
|
|
xy , |
z |
|
0. |
|
|
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|||||||||
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|
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|
dx dy dz |
|
|
|
; |
|||||||||||
|
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|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
6 |
|||||
V |
1 |
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|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
||
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|
|
2 |
|
|
4 |
|
6 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
5.20. V : |
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
|
1, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||
2 |
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
0, y |
|
0, z |
|
|
0. |
|||||||||||||
8y |
|
|
12z |
|
|
dx dy dz; |
|||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
5.22. V : y |
|
|
x, |
y |
0, |
x |
|
|
1, |
||||||||||||
z |
|
|
3x2 |
|
|
2 y 2 , z |
0. |
||||||||||||||
|
x |
|
|
y |
|
dx dy dz; |
|||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.24. V : y |
|
|
x, |
y |
0, |
x |
|
|
1, |
||||||||||||
z |
|
|
30 x2 |
|
|
60 y 2 , z 0. |
12
|
|
|
|
|
|
|
dx dy dz |
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
z |
6 |
|||||
|
V |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6 |
|
4 |
|
|
16 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.25. |
V : |
x |
|
|
y |
|
|
z |
1, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6 |
|
4 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
0, y |
|
|
0, z |
|
0. |
|
y 2 dx dy dz;
V |
|
|
|
5.27. V : z |
10 3x |
y |
, x y 1, |
x |
0, y |
0, z |
0. |
x 2 |
4 y 2 |
dx dy dz; |
||
V |
|
|
|
|
5.29. V : z |
20 2 x |
y |
, x y 1, |
|
x |
0, y |
0, |
z |
0. |
x 2 z dx dy dz;
V
xyz dx dy dz;
V |
|
|
|
5.26. V : y |
x, |
y |
0, x 2, |
z |
xy, |
z |
0. |
|
|
|
5 x |
|
|
|
3z |
|
|
|
dx dy dz; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.28. V : y |
|
|
|
x, |
y |
0, |
x |
2, |
||||||||||||||
|
z |
|
|
|
x2 |
15 y 2 , z |
0. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx dy dz |
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
z |
6 |
||||||
|
V |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
8 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.30. |
V : |
x |
|
|
|
|
y |
|
|
z |
1, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8 |
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
0, y |
|
|
0, z |
0. |
5.31. V : y |
3x, |
y |
0, x 2, |
z |
xy, |
z |
0. |
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
6.1. |
y |
3 |
|
x, |
y |
|
4e x , |
y |
3, |
|
y |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2. |
x |
|
36 |
|
y 2 , x |
6 |
|
36 |
y 2 . |
|||||
6.3. |
x2 |
y 2 |
72, 6 y |
|
x2 |
|
y |
0 . |
||||||
6.4. |
x |
8 |
|
y 2 , |
x |
|
2 y. |
|
|
|
|
|
13
6.5. y |
3 |
, y 8e x , y 3, y 8. |
|
||
|
x |
6.6. y |
|
|
|
x |
, y |
|
|
1 |
|
, x |
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.7. x |
5 |
|
|
|
|
y 2 , |
x |
|
|
|
|
4 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6.8. x2 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
12, |
|
- |
|
6 y |
|
|
|
|
y |
0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
6.9. y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 , y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 , x |
|
x |
|
|||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
12 |
0 |
0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.10. y |
|
|
|
|
|
|
x , y |
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 , 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 , x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6.11. y |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
3 y |
|
|
|
0 x |
0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||
6.12. y |
|
sin x, y |
|
|
cos x, x |
0, |
|
x |
0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6.13. y |
20 |
|
|
|
|
x 2 , y |
|
|
|
8 x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 , y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 . |
|
|
|
||||||||||||||
6.14. y |
|
|
|
|
18 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6.15. y |
32 |
|
|
|
|
|
x 2 , y |
|
|
|
4 x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6.16. y |
2 |
|
|
x, y |
|
5e x , y |
2, |
|
y |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6.17. x2 |
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
36, 3 |
|
|
2 y |
|
|
|
|
y |
0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6.18. y |
3 |
|
|
|
|
x , y |
|
|
3 x , x |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6.19. y |
6 |
|
|
|
|
36 |
|
|
|
x2 , y |
36 |
|
x2 , x |
0 |
x |
0 . |
||||||||||||||||||||||||||
6.20. y |
25 |
|
4 |
x 2 , y |
|
|
|
|
x |
5 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6.21. y |
|
|
|
|
|
x , y |
1 x , x |
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
6.22. y |
2 x, y |
7e x , y |
2, y |
7. |
|
|
||||||||||||||||||
6.23. x |
27 |
|
|
|
|
y 2 , x |
|
|
6 y. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.24. x |
72 |
|
y2 , 6x |
|
|
|
y2 , y |
0 |
|
y 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 , y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 . |
||||||
6.25. y |
6 |
|
|
|
|
6 |
|
6 |
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.26. y |
|
|
|
|
x , y |
|
|
|
, x |
4. |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.27. y |
sin x, y |
|
cos x, x |
0, x |
0 . |
|||||||||||||||||||
6.28. y |
|
1 |
, |
|
y |
6e x , |
y |
1, |
y |
6. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6.29. y |
3 |
|
|
|
x , y |
3 |
x , x |
9. |
|
|
|
|||||||||||||
6.30. y |
11 |
|
|
|
x 2 , y |
|
10 x. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
6.31. x2 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
12, |
|
|
x |
6 |
|
|
x |
0 . |
Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y 2 |
2 y |
|
x 2 |
0, |
|
|
7.1. y 2 |
4 y |
|
x 2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
3 , y |
3x. |
|||
y 2 |
6 y |
|
x 2 |
0, |
|
|
7.3. y 2 |
8 y |
|
x 2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
3 , y |
3x. |
x 2 |
4 x |
y 2 |
0, |
||
7.2. x 2 |
8 x |
y 2 |
0, |
||
|
|
|
|
|
|
y |
0, y |
x |
3 . |
||
x2 |
2 x |
y 2 |
0, |
||
7.4. x2 |
4 x |
y 2 |
0, |
||
y |
0, y |
x. |
|
|
|
15
y 2 |
8 y |
|
|
x 2 |
0, |
|
|
7.5. y 2 |
10 y |
x 2 |
0, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
3 , y |
3x. |
|||
y 2 |
4 y |
|
|
x 2 |
0, |
|
|
7.7. y 2 |
6 y |
|
|
x 2 |
0, |
|
|
y |
x, |
x |
0. |
|
|
|
|
y 2 |
6 y |
|
|
x 2 |
0, |
|
|
7.9. y 2 |
10 y |
x 2 |
0, |
|
|||
y |
x, |
x |
0. |
|
|
|
y 2 |
2 y |
x 2 |
0, |
|||
7.11. y |
2 |
4 y |
x 2 |
0, |
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
3x, |
x |
0. |
y 2 |
4 y |
|
|
x 2 |
0, |
|
|
|||
7.13. y 2 |
6 y |
|
|
x 2 |
0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
3x, |
x |
0. |
|
|
||||
y 2 |
2 y |
|
|
x 2 |
0, |
|
|
|||
7.15. y 2 |
6 y |
|
|
x 2 |
0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
x |
3 , y |
0. |
|
||||||
y 2 |
2 y |
|
|
x 2 |
0, |
|
|
|||
7.17. y 2 |
10 y |
x 2 |
0, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
x |
3 , |
y |
3x. |
||||||
y 2 |
4 y |
|
|
x 2 |
0, |
|
|
|||
7.19. y 2 |
10 y |
x 2 |
0, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
x |
3 , |
y |
3x. |
x2 |
4 x |
y 2 |
0, |
7.6. x2 |
8 x |
y 2 |
0, |
y |
0, y |
x. |
|
x 2 |
2 x |
|
y 2 |
0, |
|
|
|
|||||
7.8. x 2 |
10 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0, y |
|
|
|
3x. |
|||||||
x 2 |
2 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
7.10. x 2 |
4 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
3 , |
|
y |
|
|
3x. |
|||||
x 2 |
2 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
7.12. x 2 |
6 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
3 , |
|
y |
|
|
3x. |
|||||
x 2 |
2 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
7.14. x 2 |
8 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
3 , |
|
y |
|
|
3x. |
|||||
x 2 |
2 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
7.16. x 2 |
4 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
0, y |
|
|
|
x |
3 . |
|
|||||
x 2 |
2 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
7.18. x 2 |
6 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
0, y |
|
|
|
x |
3 . |
|
|||||
x2 |
2 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
7.20. x2 |
6 x |
|
|
y 2 |
0, |
|
|
|||||
y |
0, y |
|
x. |
|
|
|
|
|
16
y 2 |
2 y |
|
x 2 |
0, |
7.21. y 2 |
4 y |
|
x 2 |
0, |
y |
x, |
x |
0. |
|
y 2 |
6 y |
|
x 2 |
0, |
7.23. y 2 |
8 y |
|
x 2 |
0, |
y |
x, |
x |
0. |
|
y 2 |
4 y |
|
x 2 |
0, |
7.25. y 2 |
8 y |
|
x 2 |
0, |
y |
x, |
x |
0. |
|
y 2 |
4 y |
|
|
|
|
x 2 |
0, |
|||
7.27. y 2 |
8 y |
|
|
|
|
x 2 |
0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
3x, |
x |
0. |
||||||
y 2 |
2 y |
|
|
|
|
x 2 |
0, |
|||
7.29. y 2 |
10 y |
x 2 |
0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
x |
3 , |
x |
0. |
||||||
y 2 |
4 y |
|
|
|
|
x 2 |
0, |
|||
7.31. y 2 |
8 y |
|
|
|
|
x 2 |
0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
x |
3 , |
x |
0. |
x2 |
2 x |
|
|
y 2 |
|
0, |
|
|
|
7.22. x2 |
4 x |
|
|
y 2 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0, |
y |
|
3x. |
|||||
x2 |
4 x |
|
|
y 2 |
|
0, |
|
|
|
7.24. x2 |
8x |
|
|
y 2 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0, |
y |
|
3x. |
|||||
x 2 |
4 x |
|
|
y 2 |
|
0, |
|
|
|
7.26. x 2 |
8 x |
|
|
y 2 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
3 , |
y |
|
3x. |
||||
x 2 |
4 x |
|
|
y 2 |
|
0, |
|
|
|
7.28. x 2 |
6 x |
|
|
y 2 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
3 , |
y |
|
3x. |
||||
x 2 |
6 x |
|
|
y 2 |
|
0, |
|
|
|
7.30. x 2 |
10 x |
y 2 |
0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
3 , |
y |
|
3x. |
Задача 8. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, |
|
- поверхностная |
|||||||
плотность. Найти массу пластинки. |
|
|
|
|
|
|
|||
D : x 1, y 0, y 2 |
4 x y 0 ; |
D : x2 |
y 2 |
1, x 2 |
y 2 |
4, |
|||
x |
0, y |
0 |
x |
0, y |
0 ; |
||||
8.1. |
|
8.2. |
|||||||
7 x2 |
y. |
|
|
|
|
x 2 |
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
17
D : x 1, y 0, y 2 4 x y 0 ;
8.3.
7 x2 2 5 y.
D : x 2, y 0, y 2 2 x y 0 ;
8.5.
7 x2 8 2 y.
D : x 2, y 0, y 2 x 2 y 0 ;
8.7.
7 x2 2 6 y.
D : x 1, y 0, y 2 |
4 x y 0 ; |
8.9.
x 3 y 2 .
D : x 1, y 0, y 2 x y 0 ;
8.11.
3x 6 y 2 .
D : x 2, y 0, y 2 x 2 y 0 ;
8.13.
2 x 3 y 2 .
D : x |
1 |
, y 0, y 2 |
8 x y 0 ; |
|
|||
8.15. |
2 |
|
|
|
7 x 3 y 2 . |
|
D : x 1, y 0, y 2 |
4 x y 0 ; |
|
8.17. |
|
|
7 x2 |
2 y. |
|
D : |
x2 |
y 2 |
9, |
x 2 |
y 2 |
16, |
||
8.4. |
x |
0, y |
0 |
x |
0, y |
0 |
; |
|
|
|
2 x |
5 y |
x 2 |
y 2 . |
|
||
D : x2 |
y 2 |
1, |
x 2 |
y 2 |
16, |
|
||
8.6. |
x |
0, y |
0 |
x |
0, y |
0 |
; |
|
|
|
x |
y |
x 2 |
y 2 . |
|
|
|
D : x2 |
y 2 |
4, |
x 2 |
y 2 |
25, |
|||
8.8. |
x |
0, y |
0 |
x |
0, y |
0 |
; |
|
|
|
2 x |
3 y |
x2 |
y 2 . |
|
||
D : x2 |
y 2 |
1, x 2 |
|
y 2 |
9, |
|
||
8.10. |
x |
0, y |
0 |
x |
0, y |
0 |
; |
|
|
|
x |
y |
x2 |
|
y 2 . |
|
|
D : x2 |
y 2 |
9, |
x 2 |
|
y 2 |
25, |
||
8.12. |
x |
0, y |
0 |
x |
0, y |
0 |
; |
|
|
|
2 y |
x |
x 2 |
y 2 . |
|
||
D : x2 |
y 2 |
4, |
x 2 |
|
y 2 |
16, |
||
8.14. |
x |
0, y |
0 |
x |
0, y |
0 |
; |
|
|
|
2 y |
3x |
x 2 |
y 2 . |
|
||
D : x2 |
y 2 |
9, |
x 2 |
|
y 2 |
16, |
||
8.16. |
x |
0, y |
0 |
x |
0, y |
0 |
; |
|
|
|
2 y |
5 x |
x 2 |
y 2 . |
|
||
D : x2 |
y 2 |
1, |
x 2 |
|
y 2 |
16, |
||
8.18. |
x |
0, y |
0 |
x |
0, y |
0 |
; |
|
|
|
x |
3 y |
x 2 |
y 2 . |
|
18
D : x 2, y 2 |
|
2 x, y 0 |
y 0 ; |
D : x2 |
y 2 |
1, x 2 |
|
y 2 |
|
4, |
|
||||||
|
x |
0, y |
0 |
x |
|
0, y |
|
0 |
; |
||||||||
8.19. |
|
7 x2 |
|
|
|
8.20. |
|
|
|||||||||
|
|
4 |
y 2. |
|
|
|
|
|
x2 |
y 2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 y |
|
|||||
D : x 2, y 0, y 2 |
2 x y 0 ; |
D : x2 |
y 2 |
1, x 2 |
|
y 2 |
|
9, |
|
||||||||
x |
0, y |
0 |
x |
|
0, y |
|
0 |
; |
|||||||||
8.21. |
|
7 x2 |
|
|
|
8.22. |
|
|
|||||||||
|
|
4 |
y. |
|
|
|
|
|
x2 |
y 2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
y |
|
|||||
D : x 2, y 0, y 2 |
x 2 |
y 0 ; |
D : x2 |
y 2 |
1, |
x 2 |
|
y 2 |
|
25, |
|
||||||
x |
0, y |
0 |
x |
|
0, y |
|
0 |
; |
|||||||||
8.23. |
|
7 x2 |
|
|
|
8.24. |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
8 y. |
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 y |
|
|||||
D : x 1, y 0, y 2 |
4 x y 0 ; |
D : x2 |
y 2 |
4, |
x 2 |
|
y 2 |
|
16, |
||||||||
x |
0, y |
0 |
x |
|
0, y |
|
0 |
; |
|||||||||
8.25. |
|
|
|
|
3 y 2 . |
|
8.26. |
|
|
||||||||
|
|
6 x |
|
|
|
|
|
x2 |
y 2 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
y |
|
|||||
D : x 2, y 0, y 2 |
x 2 |
y 0 ; |
D : x2 |
y 2 |
4, x 2 |
|
y 2 |
|
9, |
|
|||||||
x |
0, y |
0 |
x |
|
0, y |
|
0 |
; |
|||||||||
8.27. |
|
|
|
|
6 y 2 . |
|
8.28. |
|
|
||||||||
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
4 x |
|
|||||
D : x |
|
1 |
|
, y 0, y 2 |
2 x y 0 ; |
D : x2 |
y 2 |
4, x 2 |
|
y 2 |
|
9, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
0, y |
0 |
x |
|
0, y |
|
0 |
; |
||||||
8.29. |
2 |
|
|
|
|
|
8.30. |
|
|
||||||||
|
|
4 x |
9 y 2 . |
|
|
|
y |
2 x |
x |
2 |
y |
2 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D : x |
|
1 |
, y 0, y 2 |
16 x y 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8.31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
16 x |
|
9 y 2 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9. Пластинка D задана неравенствами, - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
19
D : x 2 |
y 2 4 1; |
9.1. |
y 2 . |
|
D : x 2 9 |
y 2 |
25 |
1; |
|
||
9.3. |
y |
0; |
|
|
|
|
|
|
x 2 y. |
|
|
|
|
D : |
1 |
x 2 |
9 |
y 2 |
4 |
4; |
9.5. |
y |
0, |
y |
x 2; |
|
|
|
|
8 y |
x3 . |
|
|
|
D : |
x 2 |
4 |
y 2 |
1; |
|
|
9.7. |
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
4 y |
|
|
|
|
D : 1 |
x2 |
16 |
y 2 |
4 |
4; |
|
9.9. |
x |
0, |
y |
x 2; |
|
x y .
D : x 2 4 y 2 |
1; |
9.11. x 0, y 0; 6 x3 y 3 .
D : x 2 |
9 y 2 |
4 1; |
9.13. |
x 2 y 2 . |
|
|
|
D : x 2 4 y 2 |
1; |
9.15. x 0, y 0; 30 x3 y 7 .
D : |
1 |
x 2 |
9 |
y 2 |
4 |
2; |
||||
9.2. |
y |
|
0, |
y |
2 |
x; |
|
|||
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y x . |
|
|
|
|
|
|
|
D : x 2 9 |
y 2 |
25 |
|
1; |
||||||
9.4. |
y |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 x 2 y 18. |
|
|
|||||
|
|
D : x 2 9 |
|
|
y 2 |
1; |
||||
9.6. |
|
x |
0; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
7 xy 6 . |
|
|||||
D : |
1 |
x2 |
4 |
y 2 |
9 |
4; |
||||
9.8. |
x |
0, |
y |
3x 2; |
||||||
|
|
|
x y . |
|
|
|
|
|
|
|
D : x 2 4 |
y 2 9 |
|
1; |
|||||||
9.10. |
|
x |
0, |
y |
0; |
|
|
|||
|
|
|
x3 y. |
|
|
|
|
|
|
|
D : |
1 |
x 2 |
4 |
|
y 2 |
|
25; |
|||
9.12. |
|
x |
0, |
y |
|
x 2 ; |
||||
|
|
|
x |
y 3 . |
|
|
|
|
|
|
D : |
x 2 16 y 2 |
1; |
||||||||
9.14. |
|
x |
0, |
y |
0; |
|
|
|||
|
|
|
5 xy 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
D : |
1 |
x 2 |
9 |
|
y 2 |
|
4 3; |
|||
9.16. |
|
y |
0, |
y |
|
2 |
x; |
|||
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
x . |
|
|
|
|
|
|
20