VII Кратные интегралы
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Задача 15. Найти объем тела, заданного неравенствами.
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y 0, y |
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y 2 |
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64, |
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x 2 |
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y 2 |
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15.15. 0 |
z |
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, |
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3x, |
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y |
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3 |
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x2 |
y 2 |
z 2 |
81, |
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x2 |
y 2 |
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x2 |
y 2 |
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15.17. |
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z |
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, |
|
3 |
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35 |
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0 |
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y |
x. |
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36 |
x 2 |
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y 2 |
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z 2 |
144, |
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15.19. |
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x |
2 |
y |
2 |
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x |
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z |
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, |
3x y |
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. |
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3 |
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3 |
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36 |
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x2 |
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y 2 |
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z 2 |
121, |
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15.14. |
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x |
2 |
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y |
2 |
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, |
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y |
0, |
||||||||||
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99 |
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36 |
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x 2 |
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y 2 |
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z 2 |
144, |
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15.16. |
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x 2 |
y 2 |
z |
0, |
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24 |
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x |
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. |
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y |
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3x, |
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y |
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3 |
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36 |
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x 2 |
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y 2 |
z 2 |
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15.18. |
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x 2 |
y 2 |
z |
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3 |
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0 |
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y |
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3x. |
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36 |
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x 2 |
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y 2 |
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z 2 |
100, |
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15.20. z |
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x 2 |
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y |
2 |
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, |
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63 |
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x |
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y |
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3x. |
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3 |
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y 3x.
144,
x 2 y 2 , 35
9 |
x 2 |
y 2 |
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z 2 |
64, |
49 |
x 2 |
y 2 |
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z 2 |
144, |
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|
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x 2 |
y 2 |
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x 2 |
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y 2 |
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||||||
15.21. z |
|
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, |
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15.22. z |
|
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|
, |
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99 |
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|
99 |
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||||||||||||
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y |
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x |
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y |
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x |
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y |
x |
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, |
y |
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x |
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. |
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3 |
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|
3 |
3 |
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|
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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32
9 |
x 2 |
y 2 |
z 2 |
81, |
||
|
|
|
|
|
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15.23. 0 |
z |
|
x 2 |
y 2 |
, |
|
|
|
|
24
y 0, y x . 3
16 |
|
x2 |
|
y 2 |
|
|
z 2 |
|
|
100, |
|
|
|
||||||
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
x2 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
y 2 |
|||||||
15.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
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|
|
, |
||
3 |
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35 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
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||||||
0 |
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y |
|
x. |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||
64 |
|
x 2 |
y 2 |
|
z 2 |
|
|
196, |
|
|
|
||||||||
15.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
z |
|
|
|
, |
|
|
|
y |
0. |
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||
16 |
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
z 2 |
|
|
81, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15.29. z |
|
x 2 |
y 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
||||
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0, y 3x.
16 |
x 2 |
|
y 2 |
|
z 2 |
100, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.31. 0 |
z |
|
x 2 |
|
y 2 |
, |
|||
|
|
24 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
0, |
y |
x |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
x 2 |
|
|
y 2 |
z 2 |
81, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15.24. |
|
x 2 |
y 2 |
z 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||
y |
0, |
y |
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
x 2 |
|
|
y 2 |
z 2 |
196, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 |
|
|
x 2 |
y 2 |
|||||||||
15.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
, |
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
15 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 y 3x.
64 |
x 2 |
|
y 2 |
|
|
|
|
z 2 |
144, |
|
|
|
|
|
15.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
||
z |
|
|
|
|
, |
0 y |
|
. |
||||||
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
64 |
x 2 |
|
y 2 |
|
|
|
|
z 2 |
169, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.30. z |
|
|
x 2 |
y |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0, y 3x.
33
Задача 16. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, - плотность.
Найти массу тела.
64 x 2 |
y 2 |
|
z 2 , x 2 |
y 2 |
4, |
16.1. y 0, |
z |
0 |
y 0, z |
0 |
, |
5 |
x 2 |
y 2 |
4. |
|
|
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
z 2 |
4, x 2 |
y 2 |
|
1, |
|
|
|||||||
16.2. |
x2 |
|
|
y 2 |
1 , |
x |
0 |
x |
|
0 |
; |
|
|
||||||
|
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
1, x 2 |
y 2 |
2 z, |
|
|
|
|
|
|
|||||
16.3. x |
0, |
|
y |
0, |
z |
0 |
x |
0, |
|
y |
0 |
; |
|||||||
|
|
10 x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
|
16 |
z 2 , x 2 |
y 2 |
|
|
4 |
z, |
|
|
||||
|
|
|
49 |
|
7 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16.4. x |
0, |
|
y |
0, |
x |
0, |
y |
|
0 |
|
; |
|
|
||||||
|
|
80 yz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
z 2 |
1, x 2 |
y 2 |
|
4 z 2 , |
|
|
|||||||
16.5. x |
0, |
|
y |
0, |
x |
0, |
y |
|
0, |
|
z |
0 |
; |
||||||
|
|
20 z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
36 x2 |
|
y 2 |
z 2 , x 2 |
y 2 |
|
|
1, |
|
|
|||||||||
16.6. x |
0, |
|
|
z |
0 |
x |
0, |
z |
0 |
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
5 |
|
x 2 |
|
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
z 2 |
16, |
x 2 |
y 2 |
|
|
4, |
|
|
|||||
16.7. |
x 2 |
|
|
y 2 |
4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
x 2 |
y 2 |
|
4, x 2 |
y 2 |
8 z, |
|
|
|
|||
16.8. x |
0, |
y |
0, z |
0 |
x |
0, |
y |
0 ; |
|||
|
5 x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 |
|
4 |
z 2 , x 2 |
y 2 |
2 |
z, |
|
|||
|
25 |
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.9. x |
0, |
y |
0, |
x |
0, |
y |
0 |
; |
|
||
|
28 xz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 |
z 2 |
4, x 2 |
|
y 2 |
|
z 2 , |
|
|||
16.10. x |
0, |
y |
0, |
x |
0, |
y |
0, z |
0 ; |
|||
|
6 z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 x2 |
y 2 |
z 2 , x 2 |
y 2 |
|
|
4, |
|||||||||
x |
0, |
|
|
y |
0, |
z |
0 |
|
|
|
|
|
|||
16.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0, |
y |
0, |
z |
0 , |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
x2 |
|
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
|
y 2 |
z 2 |
9, x 2 |
y 2 |
4, |
|||||||||
16.12. x2 |
|
y 2 |
4 , |
y |
0 |
y |
0 |
; |
|||||||
|
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 2 |
|
y 2 |
1, x 2 |
y 2 |
6 z, |
|
|
|
|
||||||
16.13. x |
0, |
|
|
y |
0, |
z |
0 |
x 0, |
y 0 ; |
||||||
|
90 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2 |
|
y 2 |
|
1 |
z 2 , x 2 |
y 2 |
|
1 |
z, |
||||||
|
25 |
5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16.14. x |
0, |
|
|
y |
0, |
x |
0, |
y |
0 |
|
; |
||||
|
14 yz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
x 2 |
y 2 |
z 2 |
4, x 2 |
y 2 |
9 z 2 , |
16.15. x |
0, y |
0, |
x 0, |
y |
0, z 0 ; |
|
10 z. |
|
|
|
|
9 x 2 |
y 2 |
|
|
z 2 , x 2 |
y 2 |
4, |
|
|
|||||||||
x |
0, |
|
|
y |
0, |
z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
16.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0, |
y |
0, |
z |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
|
x 2 |
|
y 2 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
|
y 2 |
z 2 |
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16.17. x2 |
|
y 2 |
1, |
|
x 2 |
y 2 |
1 |
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 2 |
|
y 2 |
1, x 2 |
y 2 |
z, |
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
0, |
|
|
y |
0, |
z |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
16.18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0, |
y |
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
10 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2 |
|
y 2 |
|
1 |
z 2 , x 2 |
y 2 |
|
1 |
z, |
|
|
||||||
|
49 |
7 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16.19. x |
0, |
|
|
y |
0, |
x |
0, |
y |
0 |
|
; |
|
|
||||
|
10 xz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2 |
|
y 2 |
z 2 |
4, x 2 |
y 2 |
|
4 z 2 , |
|
|
||||||||
16.20. x |
0, |
|
|
y |
0, |
x |
0, |
y |
0, |
|
z |
0 |
; |
||||
|
10 z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16 x 2 |
y 2 |
z 2 , x 2 |
y 2 |
|
|
1, |
|
|
|||||||||
16.21. x |
0, |
|
|
y |
0, |
z |
0 |
x |
0, |
|
y |
0, |
z 0 , |
||||
|
5 |
|
|
x 2 |
|
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
36
|
x 2 |
|
y 2 |
z 2 |
16, |
|
|
|
|
|
|
|||
16.22. x 2 |
|
y 2 |
4 |
x 2 |
y 2 |
4 |
; |
|
|
|
||||
|
|
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 2 |
|
y 2 |
4, x 2 |
y 2 |
4 z, |
|
|
|
|||||
16.23. x |
0, |
|
|
y |
0, |
z |
0 |
x |
0, |
y |
0 |
; |
||
|
|
5 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 2 |
|
y 2 |
z 2 , |
x 2 |
y 2 |
z, |
|
|
|
||||
16.24. x |
0, |
|
|
y |
0, |
x |
0, |
y |
0 |
; |
|
|
||
|
|
35 yz. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 2 |
|
y 2 |
z 2 |
1, |
x 2 |
y 2 |
z 2 , |
|
|
||||
16.25. x |
0, |
|
|
y |
0, |
x |
0, |
y |
0, |
z |
0 |
; |
||
|
|
32 z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 2 |
|
y 2 |
z 2 , x 2 |
y 2 |
4, |
|
|
|
|||||
|
x |
0, |
|
|
y |
0, |
z |
0 |
|
|
|
|
|
|
16.26. |
x |
0, |
y |
0, |
z |
0 , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5 |
|
|
x 2 |
y 2 |
2. |
|
|
|
|
|
||
|
x 2 |
|
y 2 |
z 2 |
9, x 2 |
y 2 |
4, |
|
|
|||||
16.27. x 2 |
|
y 2 |
4 , |
z |
0 |
z |
0 |
; |
|
|
||||
|
|
2 z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 2 |
|
y 2 |
1, x 2 |
y 2 |
3z, |
|
|
|
|
||||
16.28. |
x |
0, |
|
|
y |
0, |
z |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
0, |
y |
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
15 x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
37
x 2 |
y 2 |
|
4 |
z 2 , x 2 |
y 2 |
|
2 |
z, |
|||
|
49 |
7 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16.29. x |
0, |
y |
0, |
x |
0, |
y |
0 |
|
; |
||
|
20 xz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 |
z 2 |
16, |
x 2 |
y 2 |
|
|
9 z 2 , |
|||
16.30. x |
0, |
y |
0, |
x |
0, |
y |
0, |
|
z 0 ; |
||
|
5 z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x 2 |
y 2 |
|
|
z 2 , x 2 |
y 2 |
1, |
|||||
16.31. y |
0, |
z |
0 |
y |
0, |
z |
0 |
|
, |
||
|
10 |
x 2 |
|
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
38