- •8 Сентября 1966 г.
- •6Polya (1945), в особенности стр. 102 и также (1954), (1902а);Bernays (1947), в особенности стр. 187.
- •6Popper (1934), затем (1945), в особенности стр. 90 в четвертом издании (1962, стр. 97), а также (1957), стр. 147 и сл.
- •10По поводу дискуссии относительно роли математики в дог- матико-скоптпческом споре см. Мою работу (1962).
- •1. Задача и догадка
- •2. Доказательство
- •6Этот класс, по-видпмому, очень передовой. Для Кошп, Пуан- со и многих других прекрасных математиков XIX в. Эти вопросы пе существовали.
- •7Мысленный эксперимент(deiknymi) был наиболее древним образом математического доказательства. Он преобладал в доев- клидовой греческой математике [см. Шабо(a. Szab6, 1958)].
- •3. Критика доказательства при помощи коптрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными
- •4. Критика догадки
- •25Парафраз из Данжуа(Denjoy, 1919, стр. 21).
- •3' И. Ньютон (1717, стр. 380).
- •82Абель (1826). Его критика, по-видимому, направлена против эйлерова индуктивизма.
- •40Это часть стоической теории ошибок, приписываемой Хрисип- пу [см. Аэций (ок. 150, IV, 12, 4); также Секст Эмпирик (ок. 190, I, 249)].
- •4Это точное изложение взглядов Кеплера.
- •54Эта последняя фраза взята из интересной работы Алисы Ам- броз(Alipe Ambrose, 1959, стр. 438).
- •5, Критика анализа доказательства коншрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости.
- •4 И. Лакатос
- •6 И. Лакатос
- •1Подробности и аналогичные ссылки см. В библиографическом списке в конце статыг.
- •13Определение 5 было выставлено неутомимым устранителем монстров Жонкьером, чтобы убрать с дороги мпогограшшк Люильо с туннелем (картинная рама): «и этот ыногограппый комплекс не
- •19L. Matthiesseii (1863).
- •21Харди, Литтльвуд, Уайльдер, Полья, по-видимому, упустили это из вида (см. Примечание 35 на стр. 43).
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
И. Лакатос
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ОПРОВЕРЖЕНИЯ
Как доказываются теоремы
Перевод с английского И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» Москва 1967
Эта книга, посвященная проблемам математической логики, написана легко, увлекательно и остроумно в виде разговора учителя с учениками, разбирающими доказательства знаменитой теоремы Эйлера о многогранниках и получающихся при этом парадоксах. Ошибки, которые делают ученики, в действительности были допущены различными м.ате' матиками XIX в., что раскрывается в подстрочных примечаниях, дающих полную историю вопроса. Книга может быть прочитана не только математиками, она вполне доступна школьникам старших классов.
Ответственный редактор И.Б.П ОГРЕБЫССИИВ
2-2-1 6-67
От переводчика
Автор этой книги И. Лакатос, профессор Лондонского экономического училища, является одним из видных деятелей в области математической логики — части математики, особенно быстро развивающейся в наше время. На первой странице английского издания Лакатоса есть посвящение: «К 75-летию Георга Полья и 60-летию Карла Поппера». Первый из этих двух ученых хорошо известен в нашей математической литературе книгой «Задачи и теоремы из анализа», составленной им совместно с Г. Cere и переведенной в 30-е годы на русский язык профессором Б. А. Райковым.
Книга И. Лакатоса является как бы продолжением другой книги Г. Полья — «Математика и допустимые рассуждения» (Лондон, 1954). Разобрав вопросы, касающиеся возникновения догадкии ее проверки, Полья в своей книге остановился нафазе доказательства; исследованию этой фазы и посвящена предлагаемая вниманию читателей книга Лакатоса. Конечно, автор преследовал и другие цели, о которых он говорит во введении, но широкому кругу читателей интересно не столько введение, имеющее существенное значение для специалистов, сколько основной текст, понимание которого доступно даже школьникам старших классов. Берется простая стереометрическая теорема, касающаяся соотношения между числами сторон, вершин и граней многогранника, и разбираются ее возможные доказательства. Изложение ведется в двух планах: один из них — это рассказ о разговорах, возникших среди учеников в связи с обсуждением правильности рассматриваемых доказательств, другой план составляют подстрочные примечания, дающие действительную историю этих доказательств и вскрывающие
ошибки, которые делались при этом математиками XIX в. Диалоги учеников — это по существу и есть наглядное отражение этой истории. Таким образом, читатель вводится в рабочую мастерскую математиков, знакомится с созданием доказательств, а не только с окончательными результатами, излагаемыми в учебниках.
Карл Поппер — один из видных представителей неопозитивизма, примыкавший в 30-е годы к «венскому кружку» (Карнап, Рейхенбах и др.). В послевоенные годы он осел в Англии. Поппер если и эволюционировал, то в сторону скептицизма, а в вопросах обоснования математики — в сторону конвенционализма, т. е. утверждения чисто условного характера научных положений. Влияние Поппера на И. Лакатоса несомпенпо. Однако наш читатель не сделает тех скептических выводов, к которым пытается подвести его автор, а найдет в этом насыщенном историческим материалом произведении немало ярких доказательств того, что математика в познании действительности идет по тому же диалектическому пути, что и другие науки.
Нужно отметить особый характер ссылок: цитируемые книга обозначены именем автора и временем издания; по этим данным в библиографии, помещенной в конце книги, читатель может найти точное название источника.
8 Сентября 1966 г.
Профессор И. It. В е с ел о в ский
Введение
В истории мысли часто случается, что при появлении нового мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть решены, в то время как все остальное игнорируется, даже забывается, а изучением его пренебрегают.
Именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате стремительного развития метаматематики.
Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения — «сокращенными выражениями», которые «теоретически необязательны, но зато типографически удобны»
Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методологии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержательной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной* логики и решения математических задач.
Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с ее метаматематической абстракцией (а философию математики — с метаматематй- кой), я буду называть «формалистской» школой. Одна из самых отчетливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа (1937)1. Кариап требует, чтобы (а) философия была заменена логикой науки..., но (в) «логика науки представляет не что иное, как логический синтаксис языка науки»..., (с) «метаматематика же является синтаксисом математического языка» (стр. XIII и9). Итак, философию математики следует заменить метаматематикой.
Формализм отделяет историю математики от философии математики, так как согласно формалистскому пониманию математики, собственно говоря, истории математики не существует. Любой формалист целиком будет согласен с замечанием Рассела, высказанным «романтически», но сделанным вполне серьезно, что «Законы мысли» Буля (Boole, 1854) были «первой книгой когда-либо написанной по математике»2. Формализм отрицает статус математики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее «развитии». Ни один из «творческих» периодов и вряд ли один из «критических» периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где математические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формалисты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь «смесей математики и чего-то другого» окажется возможным построить формальные системы, «которые в некотором смысле включают их», то они могут быть тогда допущены. При таких условиях Ньютону пришлось прождать четыре века, пока Пеано, Рассел и Куайн(Quine) помогли ему влезть на небо, формализовав его исчисление бесконечно малых. Дирак оказался более счастливым: Шварц спас его душу еще при его жизни. Может быть, мы должны упомянуть здесь парадоксальное затруднение метаматематика: по формалистским или даже по дедуктивистским стандартам он не является честным математиком. Дьёдонпе говорит об «абсолютной необходимости для каждого математика,который заботится об интеллектуальнойчестности (разрядка моя.— Авт.), представлять свои рассуждения в аксиоматической форме» (1939, стр. 225).
При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сделалась слепой,тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделаласьпустой.
«Формализм» представляет крепость логической позитивистской философии. Если следовать логическому позитивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является «тавтологическим» или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни «тавтологической», ни эмпирической, то она должна быть бессмысленной, она — чистый вздор4. Догматы логического позитивизма гибельны для и с т о р и и ифилософии математики.
Целью этих статей является подход к некоторым проблемам методологии математики.Я употребляю слово «методология» в смысле, близком к «эвристике»5Полья и Бернайса и к «логике открытия» или «ситуационной логике» Поипера6. Недавняя экспроприация термина «методология математики» для использования в качестве синонима «метаматематики» имеет несомненно
и метафизика». В издании «Пингвина» (1953) цитату можно найти на стр. 74. В предисловии к труду (1918) Рассел говорит об этой работе: «Тон этого очерка отчасти объясняется тем, что издатель просил меня сделать его „сколь возможно романтическим"».
4Согласно Тюркетту(Turquette), положения Геделя не имеют смысла (1950), стр. 129. Тюркетт спорит с Копи(Copi), который считает, что, поскольку эти положения являются «априорными истинами», но не аналитическими, то они опровергают аналитическую теорию априорности (1949) и (1950). Никто из них пе замечает, что особый статус положений Геделя с этой точки зрения состоит в том, что эти теоремы являются теоремами неформальной содержательной математики и что в действительности они оба обсуждают статус неформальной математики в частном случае. Они также не замечают, что теории неформальной математики определенно являются догадками, которые с точки зрения догмати- ста вряд ли возможно разделить на догадкиa priori иa posteriori.