4Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

4.1Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

Теорема 4.1 (Теорема об оптимальном интерполяционном пространстве для весовых банаховых пар.) Пусть a(x); b(x); d(x)

дифференцируемые монотонно убывающие на [0; +1) функции такие, что

lim a(x) = 0;	lim b(x) = 0;	lim d(x) = 0
x! +1	x!+1	x!+1

a(0) = 1; b(0) = 1; d(0) = 1

и 8x > 0 b(x) 6 d(x) 6 1: Обозначим c(x) = d(b 1(a(x))): При p > 1 тройка пространств

(Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1)); Lp(d(x); (0; +1)))

является интерполяционной относительно тройки

(Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1)); F )

тогда и только тогда, когда

Lp(c(x); (0; +1)) F;

69

4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

где F банахово пространство. Т. е. пространство Lp(c(x); (0; +1))

является оптимальным интерполяционным пространством.

Доказательство.

Согласно лемме 3.3, оптимальное интерполяционное пространство можно рассматривать как сумму орбит

Orb(g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); L1(a(x); (0; +1))))

элементов g(x) пространства E = Lp(d(x); (0; +1)); которое для

S

краткости обозначим Orb(g(x)) с нормой k kSOrb(g(x)):

g(x)2E

Возьмём f(x) 2 Lp(c(x); (0; +1)) и покажем, что существует g~(x) 2 Lp(d(x); (0; +1)) такой, что f(x) принадлежит орбите

Orb(~g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))))

1

В качестве такого g~(x) положим g~(x) = f(a 1(b(x))) (a 1(b(x)))0 p ;

тогда, так как lim a 1(b(x)) = +1 и lim a 1(b(x)) = 0; то

x!+1

x!+0

g~(x)

Lp(d(x);(0;+1)) =

1

=

0 +1 g~(x) p dp(x)dx1p

k

k

@

Z

j

j

A

=

0 +1 f(a 1(b(x))) p

0

1

=

(a 1(b(x)))0

dp(x) dx1p

@

Z

j

j

j

j

A

=

0

1

=

f(x)

0 +1 f(t) pdp(b 1

(a(t))) dt1p

Lp(c(x);(0;+1));

Z

j

j

A

k

k

то есть

@

0

g~(x) 2 Lp(d(x); (0; +1)):

70

4.1 Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

Рассмотрим предел

+1

jf(x)jpap(x) dx

R

lim

a 1(b(v))

=

v

+1

!1

Rv

jg~(x)jpbp(x) dx

+1 f

a

1(b(t))) pbp(t)(a

1(b(t)))

dt

Rv

j

(

j

0

= lim

= 1

+

1

v

!1

Rv

jg~(x)jpbp(x) dx

А для предела

a 1(b(v))

a 1(b(v))

Rjf(x)jp dx

0

lim v

v!1 R

jg~(x)jp dx

0

			R	jf(x)jp dx
			0
= lim					= 1
v!1 a 1(b(v))
			R0	jf(t)jp dt

Согласно следствию 3.1

K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))

lim

=

t!+1 K(p;p)(t; g~(x); Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))

a 1(

1

)

+1

= lim

R0

1 j

j

a 1R(t1p )

j

j

=

f(x) pdx + t

f(x) pap(x)dx

v!1 b 1(

)

+1

tp

j

j

j

R0

j

b 1R(t1p )

g~(x) p dx + t

g~(x) pbp(x) dx

a 1(b(v))

+1

R0

1

a 1(Rb(v))

jf(x)jp dx +

pp

jf(x)jpap(x) dx

:

b(v)

= lim

v

!1

v

jg~(x)jp dx + pp

b(v)

+1

jg~(x)jpbp(x) dx

R0

Rv

1

71

4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

Далее, используя неравенство леммы 3.6

;

min ;

6

+ 6 max

;

+

получаем

pp b(v) a 1(b(v)) jf(x)jpap(x) dx1

0

0

jf(x)jp dx

a 1(b(v))

1

+1

R

C

6

1 = min lim

; lim

v

Bv!1

R

p

v!1

1

+1

p p

B

j

g~(x)

dx

g~(x)

j

b

(x) dx

C

B

0

j

pb(v) v

j

C

B

R

R

C

@

A

a 1(b(v))

+1

R0

1

a 1(Rb(v)) jf(x)jpap(x) dx

jf(x)jp dx +

pp

6

b(v)

6

lim

v

!1

v

jg~(x)jp dx + pp b(v)

+1

R0

Rv

jg~(x)jpbp(x) dx

1

0

a 0

jf(x)jp dx

1(b(v))

Bv

!1

v!1

6 max

B

lim

Rv

g~(x)

dx

B

j

j

; lim

0

B

R

@

pp b(v) a 1

(b(v)) jf(x)jpap(x) dx1

+1

1

R

C

= 1;

1

+1

p p

j

g~(x)

j

b

(x) dx

C

p

v

pb(v)

C

R

C

A

следовательно,

K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))

lim

= 1:

t!+1 K(p;p)(t; g~(x); Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))

Если же t стремится к нулю, то

K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))

lim

=

K(p;p)(t; g~(x); Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))

t!0

=

tkfkLp p(a(x);(0;+1))

=

kfkLp p(a(x);(0;+1))

lim

t!0 t g~ Lp p(b(x);(0;+

1

))

g~ Lp p(b(x);(0;+

1

))

k k

k k

72

4.1 Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

Тогда, согласно следствию ??,

sup K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1)) < +1; t>0 K(p;p)(t; g~(x); Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))

а по лемме 3.5

sup K(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1)) < +1: t>0 K(t; g~(x); Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))

Это означает, что f(x) является элементом K орбиты g~(x); а по теореме 3.2 и элементом орбиты g~(x):

S

Покажем теперь, что норма пространства Orb(g(x)) мажо-

g(x)2E

рируется нормой пространства Lp(c(x); (0; +1)):

Возьмём произвольный элемент
	f~(x) 2			[
					Orb(g(x))
и				g(x)2E
	f~ a 1				a 1				0	p1 :
g x			(	b x		(	b	x
~( ) =	(			(	))) ((		(		))) )
	~	g(x)			! f(x); где f(x) такая функция,
Рассмотрим оператор T :

что

g(x) = f(a 1(b(x))) ((a 1(b(x)))0)p1 :

Так как для норм выполняются следующие равенства:

	+1
	kT~g(x)kLp p(0;+1) = Z0	jf(x)jp dx =
+1
= Z0	jf(a 1(b(x)))jp (a 1(b(x)))0 dx = kg(x)kLp p(0;+1)

73

4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

и

+1

Z

k ~ kp j jp p

T g(x) Lp(a(x);(0;+1)) = f(x) a (x) dx =

0

+1

Z

=jf(a 1(b(x)))jp (a 1(b(x)))0 bp(x) dx = kg(x)kpLp(b(x);(0;+1));

0

~

то оператор T является непрерывным как действующий из банахо-

вой пары Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1)) в банахову пару Lp(0; +1); Lp(a(x); (

~

~

с нормой равной единице. Так как T g~(x) = f(x); то g~(x) 2 E:

Тогда

~

kf~(x)kSOrb(g(x)) 6 kf~(x)kOrb(~g(x))

6

6 kT

kg~(x)kEkL((Lp(0;+1);Lp(b(x);(0;+1)));(Lp(0;+1);Lp(a(x);(0;+1)))) =

=

g~(x)

E =

0 +1 f~(a 1(b(x))) p

(a 1(b(x)))0

1

=

k

k

dp(x) dx1p

Z j

j

A

@

0

= kf~(x)kLp(c(x);(0;+1)):

Тем самым, доказано вложение Lp(c(x); (0; +1)) в оптимальное интерполяционное пространство.

Покажем теперь, что сумма орбит

Orb(g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))))

по всем g(x) 2 Lp(d(x); (0; +1)) вложена в пространство Lp(c(x); (0; +1)). Покажем, что для любой функции

g(x) 2 Lp(d(x); (0; +1))

орбита

Orb(g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))))

74

4.1 Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

вложена в Lp(c(x); (0; +1)). Возьмём функцию f(x); принадлежащую орбите

Orb(g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))));

и сначала докажем, что f(x) 2 Lp(c(x); (0; +1)):

Так как

sup K(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1)) < +1; t>0 K(t; g(x); Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))

то

				K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))
	lim						=
				1	1
	t!1 K(p;p)(t; g(x); Lp(0; +				); Lp(b(x); (0; + ))

= lim

v!1

a 1(b(v))								+1
R0	1						a 1(Rb(v)) jf(x)jpap(x) dx
	jf(x)jp dx +		pp
					b(v)				< +
v							+1			1
R0	1						Rv
	jg(x)jp dx +	pp						jg(x)jpbp(x) dx
				b(v)

Далее, используя, как и выше, неравенство
min	;		6	+	6 max		;		;
				+

справедливое для положительных чисел, приходим к выводу, что сходится, по крайней мере, один из двух пределов

a 1(b(v))

Rjf(x)jpdx

0

lim v

v!1 R

jg(x)jp dx

0

и

+1

Rjf(x)jpap(x)dx

				a 1(b(v))
	lim						:
					+1
	v
		!1			Rv	jg(x)jpbp(x) dx

75

4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

В первом случае получаем 9D1 > 0; 9v0 > 0 8v > v0 :

v	v
Z0	jf(a 1(b(x)))jp(a 1(b(x)))0 dx 6 D1 Z0	jg(x)jp dx:

Увеличив константу D1; можно добиться чтобы неравенство было верно для любого положительного v. Тогда, так как d(x) монотонно убывает и положительна, то согласно лемме 3.8 получаем 8v > 0

v	v
Z0	jf(a 1(b(x)))jp(a 1(b(x)))0dp(x) dx 6 D1 Z0	jg(x)jpdp(x) dx

или, переходя к пределу при v ! 1;

kf(x)kpLp(c(x);(0;+1)) 6 D1 kg(x)kpLp(d(x);(0;+1)):

Во втором случае

a 1(b(u))

Rjf(x)jpap(x)dx

					a 1(b(v))
	lim			lim				:
						u
	v!1 u!1					Rv	jg(x)jpbp(x) dx
Следовательно, 9D2				9u0 8u > v > u0 :
u								u
Zv	jf(a 1(b(x)))jpbp(x)(a 1(b(x)))0bp(x) dx 6 D2 Zv								jg(x)jpbp(x) dx:

Тогда, для любого измеримого множества A (u0; +1) полу-

чаем
Z	jf(a 1(b(x)))jpbp(x)(a 1(b(x)))0bp(x) dx 6 D2 Z	jg(x)jpbp(x) dx:
A	A

76

4.1 Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

Следовательно, почти всюду на интервале (u0; +1) выполняется

jf(a 1(b(x)))jpbp(x)(a 1(b(x)))0bp(x) 6 D2 jg(x)jpbp(x) )

jf(a 1(b(x)))jpbp(x)(a 1(b(x)))0 6 D2 jg(x)jp ) jf(a 1(b(x)))jp(a 1(b(x)))0dp(x) 6 D2 jg(x)jpdp(x):

Из этого следует, что

u				u
Z	jf(a 1(b(v)))jp(a 1(b(v)))0dp(v) dv 6 D2 Z				jg(v)jpdp(v) dv
u0				u0
	a 1(b(u))		u
	Z	jf(x)jpcp(x) dx 6 D2	Z	jg(v)jpdp(v) dv;
	v0		u0

где v0 = a 1(b(u0)) и, переходя к пределу при u ! 1; получим

+1	+1
Z	Z

jf(x)jpcp(x) dx 6 D2 jg(v)jpdp(v) dv 6 D2 kgkLp(d(x);(0;+1)) < +1:

v0					u0
А для интеграла
			v0				v0
		Z0		jf(x)jpcp(x) dx 6 Z0				jf(x)jp dx =
		v0							v0
=	1	Z0	jf(x)jpap(v0) dx 6				1		Z0	jf(x)jpap(x) dx 6
	ap(v0)						ap(v0)
				1
			6			kfkLp(a(x);(0;+1)) < +1:
					ap(v0)

Это означает, что

f(x) 2 Lp(c(x); (0; +1)):

77

4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

Покажем теперь, что норма орбиты g(x) мажорируется нормой пространства Lp(c(x); (0; +1)); т. е.

9C > 0 : k kOrb(g(x)) 6 Ck kLp(c(x);(0;+1)):

Предположим, что это не так, тогда существует последовательность fyng1n=1 элементов пространства Lp(c(x); (0; +1)) такая, что

1

kynkOrb(g(x)) 6 2n kynkLp(c(x);(0;+1)):

Обозначим

1

f =

X jynj

n=1 kynkLp(c(x);(0;+1))

и проверим, что f является элементом орбиты

1

kynkOrb(g(x))

1

1

kfkOrb(g(x)) 6

X

X

k

yn

k

Lp(c(x);(0;+

1

))

2n = 1:

n=1

6

n=1

При этом,

+1

p

p

Z

1

yn(x)

! cp(x) dx >

kfkLp(c(x);(0;+1))

=

yn

k

j j

;+1))

n=1

Lp(c(x);(0

0

X k

1	+1				p
> n=1	Z		yn Lp p(c(x);(0;+ ))
X				jyn(x)j
	0	k	k			1

cp(x) dx =	1	kynkLp p(c(x);(0;+1))
	X k		yn	k	p	1
	n=1				Lp(c(x);(0;+ ))

1

X

=1 = +1;

n=1

т.е. f не является элементом пространства Lp(c(x); (0; +1)): Что противоречит доказанному выше. Следовательно,

9C > 0 : k kOrb(g(x)) 6 Ck kLp(c(x);(0;+1)):

Поэтому справедливо вложение орбиты элемента g(x) в пространство

78

4.1 Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

Lp(c(x); (0; +1)): Тогда, согласно [1] (см. стр. 29–31), сумма ор-

бит

Orb(g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))));

по всем g(x) 2 Lp(d(x); (0; +1)) вложена в пространство Lp(c(x); (0; +1)). Теорема доказана.

79