Коршикова_Калиниченко_УМК

2. Определение кривой (линии) в Rn, линейно связного множества. Теорема

Больцано-Коши о промежуточном значении.

3. Является ли замкнутым в R2 множество G = {(x, y) R2 : x = 2, y [1, 5)}. Почему?

2

Доказать:

1.Критерий Коши сходимости последовательности в Rn.

2.Теорема о непрерывности сложной функции многих переменных.

Сформулировать:

1.Локальные свойства непрерывной в точке функции многих переменных.

2.Понятия ограниченной и сходящейся в Rn последовательности. Свойства схо-

дящейся в Rn последовательности.

3. Является ли открытым множество G Rn, если оно содержит в себе все свои внутренние точки? Почему?

Экзаменационная программа 1-го семестра

Основные понятия и факты без доказательств.

Объединение, пересечение, разность множеств; упорядоченная пара, декартово произведение. Функция, область определения, множество значений; сюръективное, инъективное, биективное отображение; обратная функция. Ограни- ченное сверху (снизу), ограниченное числовое множество; верхняя (нижняя) граница; максимальный (минимальный) элемент множества. Точная верхняя (нижняя) граница числового множества, характеристические свойства sup X

(inf X); связь между sup X и max X.

Числовая последовательность; ε-окрестность точки a R; предел число-

вой последовательности в терминах окрестностей, внешностей окрестностей, "ε−N". Сходящаяся (расходящаяся) последовательность; ограниченная после-

довательность, бесконечно малая, бесконечно большая последовательности, отграниченная от нуля последовательность. Система вложенных отрезков. Подпоследовательность последовательности. Фундаментальная последовательность в

R.

Предельная точка числового множества. Предел функции в точке в терминах окрестностей и "ε − δ". Свойства функций, имеющих в точке конечный

предел. Бесконечно малые и бесконечно большие в точке функции. Локально отграниченная от нуля в точке функция. Односторонние пределы функции в

41

точке. Классы функций O(ϕ(x)), o(ϕ(x)), эквивалентные функции при x → a.

Критерий Коши существования конечного предела функции в точке. Непрерывная в точке (на множестве) функция в терминах окрестностей, " ε−

δ", последовательностей. Точки разрыва функции; точки разрыва 1-го, 2-го

рода, устранимого разрыва. Равномерно непрерывная функция. Дифференцируемая в точке функция; производная и дифференциал функ-

ции в точке; касательная к графику функции в точке. Параматрически заданная функция. Производная и дифференциал k-го порядка функции в точке и

на множестве; непрерывно дифференцируемая k раз функция.

Факты, которые надо уметь доказывать.

1.Теорема о существовании функции, обратной к монотонной.

2.Теорема существования точных границ числового множества.

3.Теорема единственности предела числовой последовательности.

4.Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

5.Теорема об оценке членов сходящейся последовательности, если lim xn < b;

следствие о знаке членов сходящейся последовательности.

6. Теорема о переходе к пределу в неравенстве и о трех последовательностях. 7. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. 8. Теорема об арифметических операциях со сходящимися последовательно-

стями.

9. Теорема о системе вложенных отрезков.

10. Теорема Вейерштрасса о сходимости монотонной последовательности, ее обобщение на случай неограниченной последовательности.

11. Число e как предел последовательности.

12. Свойство подпоследовательности последовательности, имеющей предел. 13. Лемма Больцано-Вейерштрасса, ее обобщение на случай неограниченной

последовательности.

14. Теорема об ограниченности фундаментальной последовательности.

15. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

16. Критерий предельной точки числового множества.

17. Теорема Гейне о пределе функции в точке.

18. Локальные свойства функции, имеющей в точке конечный предел.

19. Теорема о пределе сложной функции.

20. Теорема о пределе монотонной на промежутке функции.

21. Теорема о пределе lim sin x.

x→0 x

22. Число e как предел функции.

42

23.Непрерывность элементарных функций.

24.Теорема о пределе сложной функции f ◦ ϕ, если f непрерывна; следствие

îнепрерывности сложной функции.

25.Лемма о характере точек разрыва монотонной функции.

26.Необходимое условие и критерий дифференцируемости функции.

27.Теорема об арифметических операциях с дифференцируемыми функци-

ÿìè.

28.Теорема о дифференцируемости сложной функции.

29.Теорема о дифференцируемости функции, обратной к монотонной.

30.Свойство инвариантности формы дифференциала 1-го порядка.

31.Теорема о дифференцируемости параметрически заданной функции.

32.Нарушение свойства инвариантности формы дифференциалами высших порядков (на примере дифференциала 2-го порядка).

33.Теоремы Вейерштрасса теории непрерывных функций.

34.Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции; следствие о нулях функции.

35.Теорема Дарбу об образе отрезка при непрерывном отображении.

36.Критерий непрерывности монотонной на промежутке функции.

37.Теорема о непрерывности обратной функции к монотонной.

38.Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции.

39.Теорема Ферма, ее геометрический смысл.

40.Теорема Ролля, ее геометрический смысл, существенность условий.

41.Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл, формула конечных прира-

щений.

42.Теорема Дарбу о нулях функции f0(x), следствие о промежуточном зна- чении функции f0(x).

43.Критерий постоянства функции на промежутке.

44.Критерий монотонности функции на промежутке.

45.Теорема Коши о конечных приращениях.

46.Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.

47.Формула Тейлора для многочлена.

48.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

49.Теорема единственности представления функции в виде

n
f(x) = Xak(x − a)k +
		(x − a)n	, x → a .
	o
k=0

50. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано функций ex, sin x, cos x, (1 + x)α (α 6= 0), ln(1 + x) ïðè x → 0.

43

51. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Лагранжа и Коши.

Примеры экзаменационных билетов 1-го семестра.

1

Доказать:

1.Лемма об ограниченности фундаментальной последовательности.

2.Критерий дифференцируемости функции в точке.

3.Теорема Дарбу об образе отрезка при непрерывном отображении.

	Сформулировать:
1.	Определение предела функции в точке в терминах " ε − δ", теорема Гейне.
2.	Определение точки разрыва функции.					0		.
3.	Правило Лопиталя раскрытия неопределенности типа
						0
4. С помощью теоремы Лагранжа показать, что для любых								x1, x2 (0, +∞),
x1 < x2, выполняется неравенство
	ln x2 − ln x1 < x2 − x1 .
5.	С помощью формулы Тейлора найти
	lim	ex − √		.
			1 + 2x
	x→0	ln(1 + x2)
	2
	Доказать:

1.Теорема о произведении бесконечно большой и отграниченной от нуля последовательностей.

2.Теорема о пределе суперпозиции функций.

3.Теорема единственности представления функции в виде

n
Xk
f(x) =	ak(x − a)k +	o	(x − a)n	, x → a .
=0

Сформулировать:

1.Определение непрерывной в точке функции.

2.Определение параметрически заданной функции, теорема о ее дифференцировании.

3.Теорема Коши о конечных приращениях.

44

4. Применима ли на отрезке [−2, 2] теорема Ролля к функции f(x) = |x|? Ответ

обоснуйте.

x2 − 1

5. Найти f(10)(x), åñëè f(x) = √ .

3 1 − 3x

Экзаменационная программа 2-го семестра

Основные понятия и факты без доказательств.

Первообразные функции на промежутке, их свойства; неопределенный интеграл, его свойства. Теоремы о замене переменной и интегрировании по частям. Класс K, интегрирование функций в элементарных. Методы интегрирования

рациональных, иррациональных, тригонометрических функций.

Пространство Rn; открытые (замкнутые) шары и параллелепипеды в Rn; окрестности точки в Rn. Последовательность точек в Rn, ее координатные по-

следовательности. Сходимость по метрике и покоординатная; фундаментальная последовательность. Внутренняя точка множества, открытое множество. Пре-

дельная точка, замыкание, замкнутое множество; граничная точка, граница множества; компакт в Rn.

Функция многих переменных, ее предел в точке. Повторные пределы функции двух переменных. Непрерывная функция многих переменных в точке (на множестве); непрерывность по одной из переменных; раздельная непрерыв-

ность функции многих переменных в точке. Раномерная непрерывность функции многих переменных на множестве. Отображение из Rn â Rm, его коорди-

натные функции; непрерывность в точке и на множестве. Непрерывная кривая (линия), отрезок в Rn, линейно связное множество.

Частная производная функции многих переменных в точке; дифференцируемая, непрерывно дифференцируемая функция (отображение из Rn â Rm)

в точке; дифференциал функции многих переменных в точке, матрица Якоби отображения. Производная функции многих переменных по направлению, градиент. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) в точке, критерий

ее наличия. Частные производные и дифференциалы высших порядков, класс

Cp(G).

Точка локального максимума (минимума), экстремума функции многих переменных; стационарные, критические точки. Квадратичная форма в Rn; положи-

тельно (отрицательно) определенная, знакопеременная квадратичная форма. Матрица квадратичной формы, критерий Сильвестра. Направление выпуклости графика функции одной переменной на интервале, точка перегиба. Асимптоты графика функции, критерий наклонной асимптоты.

45

Неявная функция, определенная уравнением; неявное отображение, определяемое системой уравнений. Локальная теорема существования непрерывно дифференцируемого неявного отображения; локальная теорема существования непрерывно дифференцируемого обратного отображения. Локальный условный экстремум функции многих переменных, функция Лагранжа.

Разбиение отрезка [a, b], диаметр разбиения, выборка точек, интегральная сумма, предел интегральных сумм при d(τ) → 0, определенный интеграл, интегрируемая на [a, b] функция, класс R[a, b]. Суммы Дарбу, интегралы Дарбу. Кусочно-непрерывная функция. Интеграл с переменным верхним пределом.

Факты, которые надо уметь доказывать.

1.Теорема о связи сходимости и покоординатной сходимости последовательности в Rn.

2.Теоремы о единственности предела и об ограниченности сходящейся в Rn

последовательности.

3.Лемма Больцано-Вейерштрасса в Rn.

4.Критерий Коши сходимости последовательности в Rn.

5.Свойства открытых (замкнутых) множеств.

6.Критерий замкнутости множества в Rn.

7.Теорема о связи предела и повторных пределов функции двух переменных; следствие об отсутствии предела.

8.Теоремы Вейерштрасса и Кантора для функции многих переменных.

9.Теорема о непрерывности сложной функции многих переменных.

10.Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции многих переменных.

11.Теорема о связи непрерывности и раздельной непрерывности функции

многих переменных в точке.

∂f

12. Необходимое условие существования частной производной ∂xk (a).

13. Необходимые условия дифференцируемости функции многих переменных в точке; формула вычисления дифференциала функции многих переменных в точке.

14. Достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных в точке.

15. Теорема о дифференцируемости сложной функции; формула вычисления

∂(f ◦ ϕ)(t0). ∂tk

16. Свойство инвариантности формы дифференциала 1-го порядка функции многих переменных.

46

17.Правила дифференцирования функции многих переменных.

18.Теорема о связи свойства дифференцируемости функции многих переменных в точке и существования производных по направлению; формула вы- ичсления производной по направлению.

19.Теорема Шварца о смешанных частных производных функции двух переменных в точке.

20.Теорема p раз непрерывной дифференцируемости функции F = f ◦ ϕ,

если ϕ(t) линейное на интервале (α, β) отображение; формула вычисления dkFt(dt), k ≤ p.

21.Формула Тейлора с остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано функции многих переменных.

22.Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.

23.Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной

âкритической точке.

24.Необходимые условия локального экстремума функции многих перемен-

íûõ.

25.Достаточные условия локального экстремума функции многих переменных в стационарной точке в терминах d2fa(Δx) и матрицы квадратичной фор-

ìû d2fa(Δx); следствие для функции одной переменной.

26.Достаточные условия локального экстремума функции двух переменных.

27.Достаточное условие выпуклости вверх (вниз) графика функции одной переменной на интервале.

28.Необходимое и достаточное условие точки перегиба графика функции одной переменной.

29.Теорема о существовании непрерывной неявной функции, определяемой уравнением.

30.Теорема о существовании непрерывно дифференцируемой неявной функции, определяемой уравнением; формула вычисления ее частных производных.

31.Локальная теорема существования непрерывно дифференцируемой обратной функции к данной функции одной переменной.

32.Лемма о связи условного экстремума функции многих переменных f и

локального экстремума порожденной функции ψ(x) = f(x, ϕ(x)), где ϕ(x) неявное отображение, определяемой системой уравнений связи.

33.Теорема Лагранжа о необходимых условиях локального условного экстре-

ìóìà.

34.Достаточные условия локального условного экстремума в стационарной точке, найденной методом Лагранжа.

47

35.Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке.

36.Свойства сумм Дарбу: сравнение сумм Дарбу и интегральных сумм, составленных для одного разбиения; изменение сумм Дарбу при добавлении то- чек разбиения; сравнение сумм Дарбу, составленных для различных разбиений; сравнение интегралов и сумм Дарбу.

37.Критерий Дарбу интегрируемости функции.

38.Теоремы об интегрируемости монотонной и непрерывной функций.

39.Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями: линейность класса R[a, b]; интегрируемость произведения функций, част-

ного функций и модуля функции.

40.Свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирова-

íèÿ.

41.Свойства определенного интеграла, связанные с неравенствами.

42.Теорема об интегрировании измененной функции, интегрируемость кусочнонепрерывной функции.

43.Первая теорема о среднем.

44.Теоремы о непрерывности и непрерывной дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом; следствие о наличии первообразной.

45.Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.

46.Теоремы о замене переменной и интегрировании по частям для определенного интеграла.

47.Вторая теорема о среднем.

Примеры экзаменационных билетов 2-го семестра.

1

Доказать:

1.Критерий Коши сходимости последовательности в Rn.

2.Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной в критической точке.

3.Интегрируемость по Риману непрерывной на отрезке функции.

Сформулировать:

1. Определение компакта в Rn. Понятие равномерно непрерывной на множестве функции, теорема Кантора.

2.Определение частной производной и дифференциала функции многих переменных в точке, формула вычисления dfa(dx).

3.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано функции многих пе-

48

ременных.

	4. Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями.
	5. Найти lim	x2 − 2y2
		x2 + y2 , если он существует.
	x→0,y→0

2

Доказать:

1.Лемма Больцано-Вейерштрасса в Rn.

2.Свойство инвариантности формы дифференциала функции многих переменных.

3.Необходимые и достаточные условия точки перегиба графика функции.

Сформулировать:

1.Свойства замкнутых в Rn множеств.

2.Определение непрерывной в точке функции многих переменных, локальные свойства.

3.Определение дифференцируемой в точке функции многих переменных, достаточные условия дифференцируемости.

4.Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.

5.Понятие квадратичной формы в Rn, понятие положительно определенной

формы. Является ли квадратичная форма f(x, y) = 2x2 − xy + y2 определен- íîé?

Глоссарий

Объединение, пересечение, разность множеств; упорядоченная пара, декартово произведение. Функция, область определения, множество значений; сюръективное, инъективное, биективное отображение; обратная функция. Ограни- ченное сверху (снизу), ограниченное числовое множество; верхняя (нижняя) граница; максимальный (минимальный) элемент множества. Точная верхняя (нижняя) граница числового множества.

Числовая последовательность; ε-окрестность точки; предел числовой после-

довательности. Сходящаяся (расходящаяся) последовательность; ограниченная последовательность, бесконечно малая, бесконечно большая последовательности, отграниченная от нуля последовательность. Система вложенных отрезков. Подпоследовательность последовательности. Фундаментальная последовательность.

Предельная точка числового множества. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие в точке функции. Локально отграниченная

49

от нуля в точке фóнкция. Односторонние пределы функции в точке. Классы функций O(ϕ(x)), o(ϕ(x)), эквивалентные функции в точке.

Непрерывная в точке (на множестве) функция. Точки разрыва функции; точки разрыва 1-го, 2-го рода, устранимого разрыва. Равномерно непрерывная функция.

Дифференцируемая в точке функция; производная и дифференциал функции в точке; касательная к графику функции в точке. Параматрически заданная функция. Производная и дифференциал k-го порядка функции в точке и

на множестве; непрерывно дифференцируемая k раз функция.

Первообразная функции на промежутке; неопределенный интеграл. замена переменной,интегрирование по частям. Интегрирование функций в элементар-

íûõ.

Пространство Rn; открытые (замкнутые) шары и параллелепипеды в Rn; окрестности точки в Rn. Последовательность точек в Rn, координатные после-

довательности. Сходимость по метрике и покоординатная; фундаментальная последовательность. Внутренняя точка множества, открытое множество. Пре-

дельная точка, замыкание, замкнутое множество; граничная точка, граница множества; компакт в Rn.

Функция многих переменных, ее предел в точке. Повторные пределы функции двух переменных. Непрерывная функция многих переменных в точке (на множестве); непрерывность по одной из переменных; раздельная непрерыв-

ность функции многих переменных в точке. Раномерная непрерывность функции многих переменных на множестве. Отображение из Rn â Rm, его коорди-

натные функции; непрерывность в точке и на множестве. Непрерывная кривая (линия), отрезок в Rn, линейно связное множество.

Частная производная функции многих переменных в точке; дифференцируемая, непрерывно дифференцируемая функция (отображение из Rn â Rm)

в точке; дифференциал функции многих переменных в точке, матрица Якоби отображения. Производная функции многих переменных по направлению, градиент. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) в точке. Частные

производные и дифференциалы высших порядков.

Точка локального максимума (минимума), экстремума функции многих переменных; стационарные, критические точки. Квадратичная форма в Rn; положи-

тельно (отрицательно) определенная, знакопеременная квадратичная форма. Матрица квадратичной формы, критерий Сильвестра. Направление выпуклости графика функции одной переменной на интервале, точка перегиба. Асимптоты графика функции, критерий наклонной асимптоты.

50