6.1. Производная, её геометрический и физический смысл
Дифференцирование функции – вычисление производной.
Дифференцируемая функция – функция, у которой есть производная.
Определение производной. – непрерывная функция. – приращением аргумента. Разность – приращение функции. Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: (6.1) |
|
|
Геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной к графику функции в точке . |
|
|
Уравнение касательной к графику функции в точке : (6.2) Уравнение нормали к графику функции в точке : (6.3) Нормаль касательной в точке Угол между кривыми и в точке пересечения : . |
||
|
в точке касательная к графику функции в точке . в точке касательная параллельна оси Ох. В т. функция достигает максимума: непрерывна в точке , но в точке нет касательной в точке при и при (функция возрастает) при (функция убывает) |
|
Физический смысл производной: – путь, – скорость, – ускорение. |
|
6.2 Вычисление производной. Дифференциал
I. Правила дифференцирования. – дифференцируемые функции
-
Константа: ;
-
;
-
Сумма (разность): ;
-
Произведение:
-
Константа умножить на функцию: ;
-
Частное: ;
-
Константа разделить на функцию: .
II. Таблица производных |
||||||
Степенные функции
Показательные функции
Логарифмические функции
|
Тригонометрические функции
Гиперболические функции
|
Обратные тригонометрические функции
|
||||
Производные высших порядков |
||||||
Вторая производная – это производная от первой производной: . n-ая производная – это производная от (n-1)-ой производной: . |
||||||
Производные параметрически заданной функции , |
||||||
Дифференциал |
||||||
– дифференцируемые функции
|
||||||
|
||||||
Погрешности вычисления Найти , если . Тогда , – абсолютная погрешность x. Тогда . – абсолютная погрешность функции – относительная погрешность y. |
||||||
6.3 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя |
||||||
Теорема Ролля. Функция
Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что . Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна оси Ox. |
|
|||||
Теорема Лагранжа. Функция
Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что . Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна секущей АВ. |
|
|||||
Теорема Коши. Функции и
Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что . |
|
|||||
Раскрытие неопределённостей в пределах |
|
|||||
Правило Лопиталя. Функции и
|
|
|||||
Раскрытие других видов неопределенностей |
|
|||||
|
||||||
|
||||||
|
||||||
Формула Тейлора. Функция определена в точке и её окрестности и имеет в ней производные до порядка (n+1) включительно. Тогда , (6.5) где – остаточный член в форме Лагранжа. Формула Маклорена: . (6.6) |
|