Высшая математика

определим параметры эллипса а и b. Обозначив

1

= m ,

1

= n , сведем данную

a2

b2

45

систему к следующей линейной системе уравнений 4m + 9n = 1,

m +

n = 1 .

4

Рекомендуем читателю решить эту систему и убедиться, что m =

1

16

, n = 1

12

,

откуда a2 = 16 , b2 = 12 . Следовательно, искомое уравнение эллипса будет

x 2

+

y 2

= 1 .

16

12

3

7. Дано уравнение линии в полярных координатах r =

. Привести

1 − 2cosϕ

его к каноническому уравнению в прямоугольных координатах.

• Рассмотрим прямоугольную систему координат, центр О которой совпадает с полюсом, а ось OX совпадает с полярной осью. Согласно (2) x = r cosϕ, y = r sinϕ . Данное уравнение запишем в виде

r ( 1 − 2cosϕ ) = 3 r − 2r cosϕ = 3 x2 + y2 − 2 x = 3 .

Преобразуем это уравнение:

x2 + y2 = 2x + 3 x2 + y2 = 4 x2 + 12x + 9 3x2 − y2 + 12x + 9 = 0 .

Получили алгебраическое уравнение 2-ой степени. Приведем его к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по х:

3( x2 + 4 x + 4 − 4 ) − y2 + 9 = 0 3( x + 2 )2			− y2 = 3		( x + 2 )2		y2
						−		= 1 .
					1		3
Используя параллельный перенос x + 2 = x1 ,				y = y1 системы координат
	x2		y2
OXY в новый центр O ( −2; 0 ) , получим	1	−	1	= 1 – каноническое уравнение
1	1		3

гиперболы в системе O1 X1Y1 . •

8. Составить уравнение сферы, которая проходит через точку А(2; –1; –3) и имеет центром точку С(3; –2; 1).

• Воспользуемся уравнением сферы (32): (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 . Здесь x0 = 3, y0 = –2, z0 = 1 – координаты центра сферы. Найдём радиус сферы R из условия того, что точка А лежит на сфере, поэтому её координаты удовлетворя-

ют уравнению сферы: (2 – 3)2 + (–1–(–2))2 + (–3 –1)2 = R2 R2 = 18 R =

32 .

Таким образом, искомое уравнение (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 18 . •

129

9. Даны точки M1(3; –1; 2) и M2(1; 3; 5). Составить уравнение плоскости, uuuuuuur

проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору M1 M2 .

• Используем уравнение (36) – уравнение плоскости, проходящей через точку М1(x1 , y1 , z1) и имеющей вектор нормали nr ={A,B,C}:

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 . uuuuuuur

Так как x1 = 3, y1 = –1, z1 = 2, nr = M1 M2 ={1 − 3, 3 −( −1 ), 5 − 2} ={–2; 4; 3},

поэтому А = –2, В = 4, С = 3. Получаем искомое уравнение плоскости:

–2(x – 3) + 4(y – (–1)) + 3(z – 2) = 0 или –2x + 4y + 3z + 4 = 0. •

10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1; 1; 1) и M2(2; 3; –1), параллельно вектору ar ={1; 0; 2}.

• Возьмем произвольную (текущую) точку M(x, y, z) этой плоскости. Векторы

uuuuur

uuuuuuur

M1 M ,

M1 M2 ,

a будут компланарными. Согласно критерию компланарности

векторов их смешанное произведение должно быть равно нулю:

uuuuuur

uuuuuuur

( M1 M , M1 M2 , a ) = 0 , поэтому

x − 1 y − 1 z − 1

x − 1 y − 1 z − 1

2 − 1 3 − 1 −1 − 1

= 0

1

2

− 2

= 0

1

0

2

1

0

2

4(x–1)–4(y–1)–2(z–1)=0 2x – 2y – z + 1 = 0 – уравнение плоскости. •

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

M1(1; 1; –1),

M2(1; –1; 0),

М3(–1; 2; 3).

uuuuuur

• Возьмем произвольную точку M(x, y, z) этой плоскости. Векторы M1 M ,

uuuuuuur

uuuuuuur

будут лежать в рассматриваемой плоскости, а, значит, компла-

M1 M2 ,

M1 M3

uuuuur

uuuuuuur

uuuuuuur

нарные. По критерию компланарности ( M1 M , M1 M2 , M1 M3 ) = 0 следует

x − 1

y − 1 z + 1

x − 1 y − 1 z + 1

1 − 1 −1 − 1 0 + 1

= 0

0

−2

1

= 0

−1 − 1 2 − 1 3 + 1

−2

1

4

–9(x–1) – 2(y–1) – 4(z+1) = 0 9x + 2y + 4z – 7 = 0 . •

12. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку M1(1; –1; 2) параллельно плоскости P1 : x + y – 2z + 1 = 0. Вычислить расстояние r(P, P1) между этими плоскостями.

• Вектор нормали nr ={1; 1; − 2}плоскости P1 также будет вектором нормали

и для плоскости P, так как P || P1. Уравнение плоскости P по точке M1 и вектору нормали n (формула 36): (x – 1) + (y + 1) – 2(z – 2) = 0 x + y – 2z + 4 = 0 .

130

Расстояние между параллельными плоскостями P и P1 равно расстоянию от точки M1 Р до плоскости P1. Воспользуемся формулой (38):

r( P ,P ) =

| 1 − 1 − 2 2 + 1 |

=

3

=

3

. •

1

12 + 12 + ( −2 )2

6

2

13. Составить канонические уравнения прямой L, проходящей через точку

M1(1; 2; 0), если:

а)

вектор ar ={1; −1; 3} || L ;

б)

плоскость P : 2x – y + z – 1 = 0 перпендикулярна L;

в)

прямая L

x + 3 y − 2z − 3 = 0

параллельна

L;

:

+ 2z −7

= 0

1

3x − y

г)

точка М2(–2; 1; 3) L;

д)

L параллельна оси OX .

• а) Вектор a – направляющий вектор прямой L. Воспользуемся канонически-

ми уравнениями прямой (42) при x1 = 1, y1 = 2,

z1 = 0, sx = 1,

sy = –1,

sz = 3:

x − 1

=

y − 2

=

z

.

−1

r

1

3

r

б) Вектор n

={2; − 1; 1} P . Так как P L n || L , поэтому n – направ-

ляющий вектор прямой L. Аналогично только что рассмотренной задачи а) полу-

чим канонические уравнения прямой:

x − 1

=

y − 2

=

z

.

1

2

−1

в) В качестве направляющего вектора прямой L1, а, значит, и искомой прямой

L,

можно взять вектор

r

r

,

где

r

={1; 3; − 2}

r

a = n1 ×n2

n1

и n2 ={3; − 1; 2} –

нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является L1. Вы-

числим

r

ir rj

kr

r

3 −2

r

1 −2

r

1 3

r

r

r

={4; −8; −10}.

a

=

1

3

−2

=i

−1

2

− j

3

2

+k

3

−1

=4i −8 j −10k

3

−1

2

x − 1

y − 2

z

Таким образом, канонические уравнения прямой L:

=

=

.

uuuuuuur

4

−8

−10

г) Вектор M1 M2 = {–2–1; 1–2; 3–0} = {–3; –1; 3} – направляющий вектор

прямой L, поэтому её канонические уравнения имеют вид:

x − 1

=

y − 2

=

z

.

−3

−1

3

131

f ( y,z ) = 0

с уравнениями

x = 0

д) Так как L || OX, то вектор i ={1; 0; 0}

– направляющий вектор прямой L,

поэтому

x − 1

=

y − 2

=

z

. Заметим, что прямую L можно получить пересечени-

1

0

0

ем двух плоскостей: y = 2 и

z = 0. •

14. Заданы уравнение плоскости P :

αx – 2y + z + 1 = 0 и параметрические

уравнения прямой L :

x = 3t, y = 2t + 1, z = – t + 1. При каком значении α бу-

дут выполняться условия: а)

P || L;

б) P L?

r

r

{α; − 2; 1} P и вектор

|| L .

• Рассмотрим вектор n =

S ={3; 2; −1}

а) P || L nr Sr nr urS = 0 α 3 − 2 2 + 1 ( −1 ) = 0 α = 5

3

.

ur

α

−2

1

r

б) P L n || S

3

=

2

=

α = −3 . •

−1

15. Написать уравнение плоскости P, проходящей через точку M1(2; –3; 4)

параллельно прямым L :

x

=

y −1

=

z − 3

и L :

x + 1

=

y −1

=

z + 5

.

1

1

2

8

2

4

ur

0

2

=

• Возьмём произвольную точку M(x, y, z) P. Вектор

S

{1; 2; 8} || L и

uur

|| L2 . Так как L1 || P и L2 || P,

ur

1

uur

1

вектор

S2 ={4; 0; 2}

то S1

|| P

и S2

|| P. По-

uuuuuuur

uur

uur

этому векторы M1 M2 , S1 , S2

компланарные, а, значит, их смешанное произве-

дение равно нулю:

x −2

y +3

z −4

1

2

8

=0 4( x −2 ) +30( y +3 ) −8( z −4 ) =0 2x +15 y −4z +57 =0

4

0

2

Итак,

2 x + 15 y − 4z + 57 = 0 – общее уравнение плоскости Р. •

16. Найти уравнение поверхности, полученной при вращении прямой

2 y + z − 2 = 0

вокруг оси OZ.

x = 0

• Прямая линия лежит в плоскости OYZ. Если лежащая в плоскости OYZ линия вращается вокруг оси OZ, то уравнение образуемой

ею поверхности вращения имеет вид f ( ±	x2 + y2 ,z ) = 0 .
В нашем случае уравнение искомой	поверхности ±2 x2 + y2 + z − 2 = 0 .

Преобразуем его: 4x2 + 4y2 – (z – 2)2 = 0 – уравнение конуса с вершиной в точке

(0; 0; 2). •

132

17. Найти уравнение эллиптического параболоида, имеющего вершину в начале координат, осью которого является ось OZ, если на его поверхности заданы две точки M1(–1; –2; 2) и M2(1; 1; 1).

• Уравнение эллиптического параболоида, имеющего вершину в начале коор-

динат и осью которого является ось OZ, имеет вид:

x2

+

y2

= z ,

где p q > 0. Так

2 p

2q

как точки M1 и M2 лежат на параболоиде, то их координаты должны удовлетворять

( −1 )2

+

(

−2 )2

= 2

2 p

2 q

его уравнению:

.

1

2

1 2

+

= 1

2 p

2 q

Решаем эту систему и находим 2p и 2q. Для этого обозначим

1

= u,

1

= v .

2 p

2q

u + 4v = 2

u = 2

3

3

2 p =

2 . Итак,

уравнение эллиптиче-

Тогда

= 1

u + v = 1

v

3

2q

= 3

ского параболоида:

x2

+

y2

= z

3z = 2x2 + y2

. •

3

2

3

18. Найти координаты точки В, симметричной точке A(1; –1; –2) относительно плоскости P : x + y – z + 1 = 0.

• Вначале найдём уравнения прямой L, проходящей через точку A и перпендикулярной плоскости P. Так как вектор nr ={1; 1; −1} P , то nr || L . Канониче-

ские уравнения прямой L: x 1− 1 = y 1+ 1 = z−+12 .

Найдём точку С – точку пересечения прямой L и плоскости P. Для этого от канонических уравнений прямой перейдём к параметрическим:

x −1 = t

1

y + 1 = t

1

z + 2 = t

−1

x = t + 1

y = t −1 .z = −t − 2

Подставим x, y, z в уравнение плоскости P:

t + 1 + t – 1 – (– t–2) + 1 = 0 t = – 1 C(0; – 2; – 1).

Точка C является серединной точкой на отрезке AB, поэтому

133

x	=	xA + xB	, y	=	yA + yB	, z	C	=	zA + zB
C	2		C	2				2

xB = 2 xC − xA , yB = 2 yC − yA , zB = 2zC − zA .

Подставляя известные координаты точек A и C, получим:

xB = –1, yB = – 3, zB = 0 B(–1; –3; 0). •

3.2Задачи для самостоятельного решения

1.Даны точка A (–1; 2) и прямая с уравнением 2 x − 3 y + 5 = 0. Написать

уравнение прямой, проходящей через точку A:

а) параллельно; б) перпендикулярно данной прямой.

2.Какой угол образует с осью OX прямая, проходящая через точки M(0; 2) и

N(–2; 4)?

3.Найти угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси ординат прямой,

	заданной уравнением: a) 2 x − y + 3 = 0;		б) 3 x + 8 y +16 = 0.
4.	Записать уравнение прямой L, проходящей через точку M0(3, 5) и точку пере-
	сечения прямых L1 : x + y − 3 = 0 и L2 : 2 x − y + 5 = 0 .
5.	При каком значении параметра	λ	прямые L1 : 3λx − 8 y + 13 = 0		и
	L2 : ( λ + 1 )x − 2λ y − 21 = 0 будут: а) параллельны; б) перпендикулярны?
6.	Найти угол между прямыми L1 : 5 x − y + 5 = 0 и L2 : 2x − 3 y + 12 = 0 .
7.	Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма L1 : x − y − 1 = 0				и
	L2 : x − 2 y = 0 и точка пересечения его диагоналей			M0 ( 3; − 1 ) . Написать
	уравнения двух других сторон параллелограмма.
8.	Составить уравнения прямых, параллельных прямой			L : 3x − 2 y + 9 = 0	и
	находящихся от неё на расстоянии	13 .

9.Абсцисса точки С равна 5. Найти ее ординату, если известно, что она лежит на одной прямой с точками А(–8; –6) и В(–3; –1).

10.Доказать, что прямые 2 x − y + 3 = 0, y = 2 x + 7 параллельны. Найти рас-

стояние между ними. Составить уравнение прямой, параллельной данным прямым и проходящей посередине между ними.

11.Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон:

2 x − y + 3 = 0, x + 5 y − 7 = 0, 3 x − 2 y + 6 = 0.

134

12.Составить уравнения сторон квадрата, если дана одна из его вершин A(2; –4) и точка пересечения диагоналей О(5; 2).

13.Проверить, проходят ли через одну и ту же точку следующие прямые:

а) 3 x − y −1 = 0, 2 x − y + 3 = 0, x − y + 7 = 0;

б) 3x − y + 6 = 0, 4x − 3 y − 5 = 0, 2x − y + 5 = 0.

14.Написать каноническое уравнение гиперболы с действительной осью ОХ, если:

	а)	a = 2, b = 3;	б) b = 4, c = 5;	в) c = 3, ε = 1,5;
	г)	c = 10 и уравнения асимптот y = ±		4	x .
				3
	15. Дано уравнение эллипса 4 x2 + 9 y2 = 36 . Найти
	а)	полуоси a и b ;	б) координаты фокусов F1 и F2 ; в) эксцентриситет ε.

16.Составить каноническое уравнение параболы, зная, что: а) парабола симметрична относительно оси OX, вершина совпадает с началом координат, рас-

стояние фокуса от вершины равно 3; б) фокус имеет координаты (5; 0), а ось ординат служит директрисой; в) парабола симметрична относительно оси OX, проходит через начало координат и через точку (–1; 4); г) парабола симметрична относительно оси OY, фокус находится в точке (0; 2), а вершина совпадает с началом координат; д) парабола симметрична относительно оси OY, проходит через начало координат и через точку (6; –2).

	17.	Найти точки пересечения эллипса	x2		+	y2		= 1 с прямой 2 x − y −9 = 0.
			36			12
	18.	Найти точки пересечения гиперболы		x2		−	y2		= 1 со следующими прямыми:
				90			36
		а) x −5 y = 0; б)			10 x −5 y + 15 = 0.

19.Каждая точка линии Г находится вдвое дальше от точки С(4; 0), чем от точки D(1; 0). Прямая L проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину.

Известно, что A(–2; 2), B(0; 4). Требуется: а) составить уравнение линии Г; б) привести его к каноническому виду и определить тип этой линии; в) составить уравнение прямой L; г) найти точки пересечения линии Г с прямой L.

20.Привести уравнения линий к каноническому виду, определить их тип и сделать рисунки:

1) x2 + y2 −6 x + 8 y = 0,	2) x2 + y2 +6 y + 8 = 0 ,
3) x2 + 4 y2 + 4 x −8 y −8 = 0,	4) x2 + 2 y2 + 8 x − 4 = 0,

5) 5 x2 −6 y2 + 10 x −12 y − 31 = 0, 6) x2 − 4 y2 +6 x + 5 = 0,

7) y2 −10 x − 2 y −19 = 0, 8) x2 −6 x − 4 y + 29 = 0.

135

21. Получить каноническое уравнение в декартовых координатах и определить

тип линии, если она задана уравнением r =	9	, где r и ϕ – полярные
	5 − 4 cosϕ

координаты.

22.Проходит ли плоскость с уравнением 4 x − y + 3z + 1 = 0 через одну из сле-

дующих точек:

A(–1; 6; 3), B(3; 2; –5), C(0; 4; 1), D(2; 0; 5)?

23.Написать уравнение плоскости:

1)параллельной плоскости XOZ и проходящей через точку (2; –5; 3);

2)проходящей через ось OZ и через точку (3; 1; –2);

3)параллельной оси OX и проходящей через две точки (4; 0; –2) и (5; 1; 7).

24.Составить уравнение плоскости:

1)проходящей через точку (–2; 7; 3) параллельно плоско-

сти x − 4 y + 5z −1 = 0 ;

2)	проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям:
	2 x − y + 5 z − 3 = 0 и x + 3 y − z −7 = 0 ;
3)	проходящей через точки L(0; 0; 1) и N(3; 0; 0) и образующей угол π 3 с

плоскостью XOY.

25. Составить уравнение плоскости P, проходящей через линию пересечения плоскостей P1 : x + y + 5z –1 = 0 и P2 : 2x + 3y – z + 2 = 0 и через точку M1(3; 2; 1).

26.Найти уравнение плоскости P, проходящей через точки M1(2; 0; –1) и M2(1; –1; 3) и перпендикулярной плоскости P1 : 3x + 2y – z + 5 = 0.

27.Вычислить угол между плоскостями, проходящими через точку

M1(1; –1; –1), причём одна плоскость содержит ось OX, а другая – ось OZ.

28.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(0; 2; 1) параллельно векторам ar1 ={1; 1; 1} и ar2 ={1; 1; − 1}.

29.Какой угол образует плоскость P : x – y + 1 = 0 с осью OX ?

30.При каком значении параметра α расстояние от точки M1(α; 5; –8) до плоскости 6x – 3y + 2z – 28 = 0 будет равно 417 ?

31.Написать уравнение плоскости, зная, что точки A(4; 0; –3) и B(1; –5; 2) симметричны относительно этой плоскости.

32.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M1(5; 3; 4) и парал- uuuuuuur

лельной вектору M2 M3 , где M2(–1; 1; 5), M3(1; 6; –3).

33. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (2; –5; 3)

136

1) параллельно оси OZ;

2) параллельно прямой x 4−1 = y−−62 = z +9 3 ;

2 x − y +3 z −1 = 0,

3) параллельно прямой

5 x + 4 y − z −7 = 0.

34.	Даны точки A(1; 1; 1), B(2; 3; 3) и C(3; 3; 2). Составить уравнения прямой,
	uur uuuur
	проходящей через точку A и перпендикулярной к векторам AB и AC .
35.	Составить уравнения прямой L, лежащей в плоскости OYZ, проходящей через
	начало координат и перпендикулярной прямой L1 : 2 x − y = 2 .
	y + 2z = −2

36.Найти точку A пересечения прямой L, проходящей через точки

M1(–3; –9; –6) и M2(1; –1; –2), с плоскостью P : 4x – 3z – 5 = 0.

37.Записать уравнение плоскости Р, проходящей через параллельные прямые

L :

x = z −1 и

L :

x

=

y − 2

=

z + 1

.

1

y = 3z − 2

2

1

3

1

38.

Найти синус угла α между прямой

L :

y = 3x −1

и плоскостью

2z = −3x + 2

Р : 2x + y + z – 4 = 0.

39.

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

x − 2

=

y + 1

=

z

и

3

4

2

x −7

=

y −1

=

z − 3

.

3

4

2

40.

Найти

расстояние

между

двумя

скрещивающимися

прямыми

x −9

=

y + 2

=

z

и

x

=

y +7

=

z − 2

.

4

−3

−2

1

9

2

41. Какие поверхности определяются следующими уравнениями:

137

1)

x2 + y2

−

z2

= 0 ; 2)

x2

− y2 +

z2

= 0 ; 3) −

x2

+

y2 + z2

= 0 ;

2

4

16

a

b

2

4

9

x2

y2 + z2

4)

x2

− y2

+

z2

= 1 ; 5) −

+

= 1 ; 6)

x2

− y2 +

z2

= −1 ;

4

4

4

9

16

4

7)

−

x2

+

y2 + z2

= −1 ;

8)

x = −y2 −

z2

; 9)

y = x2 +

z2

; 10) y = x

2 −

z2

9

16

4

4

4

и какое геометрическое значение имеют параметры a и b в уравнении 1)?

138