Высшая математика

	42. Установить, что плоскость z + 1 = 0							пересекает однополостный гиперболоид
		x2	−	y2	+	z2	= 1 по гиперболе. Найти её полуоси a, b и вершины О1, О2.
	32			18		2
	Сделать рисунок.
	43. Составить уравнение поверхности, образованной вращением прямой
	x − 2 y + 1 = 0							б) вокруг оси OY.
							: а) вокруг оси OX;
	z = 0

ОТВЕТЫ к задачам для самостоятельного решения

	Глава 1
	54			58		−2		51							−8	24
1.		15		18		34	18					.					3. –1.	4. –10.				5. –2.
															2.	.
		27		3		21	32								−4	19
			25			−1	2
6. D =				5		3	0				,		D		=0 . 7. 6.	8. – 3. 9. α = −1 . 10. А								= 14 , А			= 6 .
																						32			24
				−5		5
							−1
																								1	−12		5
11. 335. 12. –9.							13. | A |= 15 , | B |= 58 , | C |= −1 .											14.		A	−1	=		−1	17		−7		,
																								0	−2		1
			−4			3	−2										0 −3							4 5 3
B	−1	=		−8		6	−5					15. λ = 1 .				16.			,		Y =
									.								Χ =							6 7 5		.
				−7		5	−4										2	−1
17. r( A ) = 2 , r(B) = 4,															r(C) = 2.	18. λ = 5 . 19. а)				x1 = 2 , x2 =0 ;
б) x1 =				19		, x2 =		11		;			в) x1 = 2 , x2 = 1 , x3 = 1 ; г)							x1 = 1 , x2 = 0 , x3 = 2 .
				7
							7
20.		а)		x1 = 1 , x2 = 5 , x3 = −1 ;												б) система несовместная;

138

в) x =11 − x

, x

=0 , x

= −2 + x

;

г) x =

1

x

+

1

, x

= x

+ x

−

5

x +

1

;

3

3

3

1

2

3

4

2

1

3

5

2

3

4

5

д) x1 = 3 x2 , x3 = −4 x2 ; е) x1 = x2 = x3 = 0 .

21.

x1 = 3 ,

x2 = 4 ,

x3 = 5 .

22.

λ = −1 , x1

= −

5

x3 , x2 =

1

x3 .

3

3

Глава 2

uuur

r

r

uuuur

1 r

r

uuur

1 r

r

uuur

1

r

r

2. BC

= c

− b , BM

=

c

− b , CP

=

b

− c , AN

=

( b

+ c ) .

3.

uur

r

uuur

= −3

2 r

uuur

r

2 uuur

= 3

r

2r

AB

= 8m , DA

2n, CD

= −2m, BC

2n − 6m,

uur

r

r

uuur

r

r

uuuur

b + λ cr

5. B(–2; 13; 1).

AC = 3

2n

+ 2m, BD

= 3

2n

−

8m .

4. AM

=

.

1 + λ

6.

y = ±2

5 .

7.

M(4; 4

2 ; 4).

8.

λ = 3 .

→

10

3

10

→

→

9.

| AB |= 4

10 ;

cosα =

;

cos β =

.

10.

| AB+ BC |= 2 .

10

10

ПРOZ ar = −8 ;

11. a) нет;

б) да.

12. а)

ПРOX a = 1;

ПРOY ar

= 6;

б) br = { ±2

7 ; ± 3

7 ; m

7 } ;

в)

ar20 = { 1 /

5 ; 0; 2 /

5 } .

13. а)

λ =

5

;

2

→

→

б) λ = 1 .

14. Длина CD в два раза больше длины AB ; одинаково направлены.

15. xr

= 2ar + 3b .

16. a = 24,5 p + 21,5q + 10r .

17. а) 13; б) –105.

18.

а)

3

5 − 2

2 ;

б)

3

7

;

в)

9

21 .

19. а) –6;

б) –20;

в)

43

;

г)

3

14 .

14

7

14

49

20.

λ = −

9

.

21.

–21.

22. а) –28;

б)

31

69

; в)

31 4071 .

4

69

4071

23.

m = { 6; 2; − 2 } . 24.

x = { 4; 2 } .

25. а) 15;

б) 12.

26.

4.

27.

(–27; –9; –18).

28.

74 . 29. а)

AB = 3

2 ;

AC = 3

5 ; BC = 3 ;

б) B = 1350 ;

S = 4 ,5

h =

3

5

5

1

7

в)

;

г)

5

;

д)

O

;−

;

.

3

3

3

→

→

37

27

30.

M B = { 7 ; −7 ; −7 } . 31. | MO | =

6454 ;

cosα

=

; cosβ =−

;

6454

6454

66

174

r

11

11

3

11

34. 8.

cos γ =

.

32.

.

33. a0

=

±

;

±

;

±

.

30

11

11

11

6454

139

35.

а) правая; б) правая. 36. а)

λ =

1

; б) λ =

19

.

37.

λ = −3 .

38. нет.

12

26

39.

V = 8 . 40.

V = 4 .

41. h =

5

.

1091

Глава 3

1. а) 2x – 3y + 8 = 0; б) 3x + 2y – 1 = 0.

2.

1350. 3. а) k = 2,

b = 3;

б)k = – 2,5,

b = 4.

4. 4x – 11y + 43 = 0.

5. а)

λ = 2 , λ = −2 / 3 ;

б) λ = 0 , λ = −19 / 3 . 6. 45o . 7. x – y – 7 = 0 и x – 2y – 10 = 0 .

8. 3x + 2 y − 4 = 0

и 3x + 2 y + 22 = 0 . 9.

y = 7. 10.

4 5

; 2x − y + 5 = 0 .

5

11.

22x + 33y – 35 = 0;

5 x – y + 3 = 0;

17x + 34y – 38 = 0.

12.

3x + y – 2 = 0;

x – 3y – 14 = 0;

x – 3y +16 = 0;

3 x + y – 32 = 0.

13.

б) нет. 14. а)

x2

y

2

= 1;

x2

y2

= 1 ; в)

x2

y2

= 1 ;

а)

да;

−

б)

−

−

4

9

9

16

4

5

x2

2

г)

−

y

= 1 . 15. а) a = 3, b = 2; б) F ( −

5 ; 0 ), F ( 5 ; 0 );

в) ε =

5

.

36

64

1

2

3

16.

а) y2 = ±12x ; б) y2 = 10 x − 25 ; в) y2 = −16 x ; г) x2 = 8 y ; д) x2 = −18 y .

M1 ( 3;−3 ),

M

69

;

21

18. а) (2; –6), (0,5; 3);

2

;2

17.

2

.

б)

– точка каса-

13

13

9

ния; в) нет пересечения. 19.

а)

2

( x −1 )2 + y2

=

( x − 4 )2 + y2 ;

б) x2 + y2 = 4 – окружность; в) x + y – 2 = 0;

г)

M1 ( 2; 0 ) , M2 ( 0 ; 2 ) .

20.

1) ( x −3 )2 +( y +4 )2 = 25

– окружность; 2) x2 +( y +3 )2 =1

– окружность;

3)

( x +2 )2

+

( y −1)2

=1

– эллипс;

4)

( x + 4 )2

+

y2

= 1

– эллипс;

16

4

20

10

5)

( x +1 )2

−

( y +1 )2

= 1

– гипербола;

6)

( x + 3 )2

−

y2

= 1

– гипербола;

6

5

4

1

7) ( y −1 )2 = 10( x + 2 ) – парабола; 8) ( x − 3 )2 = 4( y −5 ) – парабола.

( x −4 )2

y2

x2

y2

21.

+

= 1

или

1

+

1

= 1

– эллипс.

25

9

25

9

22.

Плоскость проходит через точки А, В, С.

23.

1)

y + 5 = 0;

2) x –3y = 0;

3) 9y – z – 2 = 0.

24. 1)

x – 4y + 5z +15 = 0;

140

2) 2x – y – z = 0; 3) x ±

26 y + 3z – 3 = 0.

25.

5x + 14y – 74z + 31 = 0.

26.

7x – 11y – z – 15 = 0.

27. 60°.

28. x – y + 2 = 0.

29.

45°.

30. α = 3

и α = 50

3

. 31.

6x + 10y – 10z +5 = 0.

32.

x −5

=

y − 3

=

z −4

.

2

5

−8

33.

1)

x − 2 = 0

; 2)

x − 2

=

y + 5

=

z − 3

;

3)

x − 2

=

y + 5

=

z − 3

.

+ 5 = 0

4

−6

9

−11

17

13

y

34.

x −1

=

y −1

=

z −1

.

35.

x

=

y

=

z

.

36.

A(–4; –11; –7).

−3

0

1

2

2

2

37.

7x – 2y – z + 3 = 0.

38. sinα = 1

6 . 39.

3.

40.

7.

41.

1) конус вращения вокруг оси OZ;

а – радиус поперечного сечения, проведён-

ного на расстоянии b от вершины; 2) конус вращения вокруг оси OY;

3) конус вращения вокруг оси OX;

4) однополостный гиперболоид вращения во-

круг оси OY; 5) однополостный гиперболоид вращения вокруг оси OХ;

6) двупо-

лостный гиперболоид вращения вокруг оси OY; 7) двуполостный гиперболоид

вращения вокруг оси OХ; 8) эллиптический параболоид с осью симметрии OХ

(x≤ 0);

9) эллиптический параболоид с осью симметрии OY (y ≥ 0); 10)

гипербо-

лический параболоид.

42.

а =4, b = 3,

O1(4; 0; –1),

O2(–4; 0; –1).

43.

а)

y2 + z2 =

1

( x + 1 )2 – конус с вершиной О1(–1; 0; 0);

4

б)

x2 + z2 = 4( y −0,5 )2 – конус с вершиной О2(0; 0,5; 0).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Глава 1

1.Определить правила сложения матриц, умножения матрицы на число, умножения двух матриц.

2.Записать правила вычисления определителей второго и третьего порядков.

3.Что называется дополнительным минором и алгебраическим дополнением элемента определителя?

4.Написать формулу разложения определителя n - го порядка по какой-либо строке или столбцу.

5.Что такое ранг матрицы?

6.Отыскание ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матри-

цы.

7.Перечислить свойства определителей и проверить их для случая определителя третьего порядка.

141

8.Определение и вычисление обратной матрицы. Обосновать единственность

исуществование обратной матрицы.

9.Дать определение совместной, определенной и неопределенной системы линейных уравнений.

10.Сформулировать теорему Кронекера – Капелли.

11.Сформулировать теорему о числе решений совместной системы линейных уравнений.

12.Вывести формулы Крамера решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

13.Описать последовательность действий при решении системы линейных уравнений методом Гаусса.

14.Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

15.Сформулировать и обосновать признак существования нулевого решения однородной системы линейных уравнений.

16.Что такое общее решение неопределенной системы линейных уравнений? Как его получить методом Гаусса?

Глава 2

1.Какие векторы называются коллинеарными, компланарными? В каком случае векторы считаются равными?

2.Что называется суммой векторов и произведением вектора на число?

3.Обосновать необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

4.Проекция вектора на ось или на другой вектор, её основные свойства.

5.Дать понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

6.Что называется базисом на прямой, на плоскости, в пространстве?

7.Сформулировать и доказать теорему о разложении вектора по базису на плоскости и в пространстве.

8.Что такое прямоугольные координаты вектора и точки?

9.Как вычислить координаты вектора по известным координатам его конца и начала?

10.Вывести формулы деления отрезка в заданном отношении.

11.Как найти расстояние между двумя точкам с известными координатами?

12.Скалярное произведение векторов и его свойства.

13.Вывести формулу для вычисления скалярного произведения в координатной форме.

14.Приложения скалярного произведения.

15.Векторное произведение векторов и его свойства.

16.Вывести формулу для вычисления векторного произведения в координатной форме.

17.Приложения векторного произведения.

18.Смешанное произведение векторов и его свойства.

19.Вывести формулу для вычисления смешанного произведения в координатной форме.

20.Приложения смешанного произведения.

142

Глава 3

1.Уравнение линии на плоскости в декартовой системе координат. Параметрические уравнения.

2.Полярная система координат, её связь с декартовой. Уравнение линии в полярной системе. Привести пример.

3.Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

4.Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, параллельно заданному вектору.

5.Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

6.Вывести формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости.

7.Эллипс: определение, вывод канонического уравнения, построение.

8.Гипербола: определение, вывод канонического уравнения, построение.

9.Парабола: определение, вывод канонического уравнения, построение.

10.Как преобразуются координаты точек на плоскости при параллельном переносе и повороте декартовой системы координат?

11.Как привести к каноническому виду уравнение 2-й степени

Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0?

12.Дать определение уравнения поверхности и уравнений линии в пространст-

ве.

13.Вывести уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

14.Вывести уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

15.Вывести формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.

16.Вывести уравнения прямой в пространстве, проходящей через заданную точку, параллельно заданному вектору.

17.Вывести уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

18.Какая поверхность определяется уравнением f(x, y) = 0 в пространстве? Обосновать ответ. Привести пример.

19.Какой вид имеет уравнение поверхности вращения, получаемой при враще-

нии линии f(x, y) = 0, z = 0 вокруг оси ОХ? Обосновать ответ. Привести пример.

143

CПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Учебники и учебные пособия

1.Фролов С. В., Шостак Р. Я. Курс высшей математики: Учеб. пособие для втузов. В 2 т. Т.1,– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1973. – 480с.

2.Мантуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики: В З т. Т.1. – М.:

Высш. шк., 1986. – 480с.

3.Шипачев В. С. Высшая математика: Учеб. для вузов.– 4-е изд. – М.: Высш.

шк., 1998. – 479с.

Задачники

1.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражне-

ниях и задачах: В 2 т. Т.1, – 4-е изд.,– М.: Высш. шк., 1986. – 304с.

2.Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича: В 3 т. Т.1.– М.:

Наука, 1981.– 484с.

3.Шипачев В. С. Задачи по высшей математике: – М: Высш. шк., 1997. – 304 с.

144