Belousov_N_A_Logika

«Мудрая книга, оставленная человеком после его смерти, более полезна, чем дворец или часовня на кладбище».

На замечание друзей, что он слишком рискует жизнью, пообещав падишаху через десять лет научить ишака говорить, Ходжа Насреддин отвечал: «Через десять лет либо ишак сдохнет, либо падишах, либо меня аллах приберёт».

Сильная (строгая) дизъюнкция образуется логическим союзом «либо ... либо». Она отличается от простой тем, что её составляющие исключают друг друга. Она выражается теми же грамматическими союзами, что и слабая дизъюнкция, но уже в ином, в разделительно - исключающем значении.

Примеры:

«Гражданин Российской Федерации не может быть лишён своего гражданства или права изменить его».

«Ты подавишь своей волей собственный страх, или страх подчинит себе твою волю».

Для того, чтобы подчеркнуть строго разделительный характер грамматических союзов, используются их усиленная, двойная форма: «или ... или», «либо ... либо», «то ... то», «ли ... ли» и другие.

Примеры:

«Либо рыбку съесть, либо на мель сесть».

Древние считали: «De mortuis aut bene, aut nihil» («О мёртвых ли-

бо хорошо, либо ничего»).

«Человек к сорока годам либо сам себе доктор, либо он дурак» (Поль Брэгг).

5.2.3 Импликативные суждения Импликативное - сложное суждение, в котором два исходных

суждения соединяются логическим союзом «если..., то...».

Общая формула: «А → В» (читается: если А, то Б»).

«А» будет основанием импликации, а «В» - её следствием.

Для выражения импликации в нашем языке имеются грамматические союзы «если, то», «когда, тогда», «в случае, если то» и другие.

Примеры:

«Если пропустить солнечный луч через призму (А, то он преломится (В)».

«Красота спасёт мир (А), если она добра (В)» (Ф.М. Достоевский).

«Если мы хотим добиться уважения к закону (А), мы сначала должны создать закон, достойный уважения (В)».

101

5.2.4 Эквивалентные суждения

Эквивалентные - суждения, объединённые взаимной (прямой и обратной) условной зависимостью.

Они называются ещё двойной импликацией.

Их образует логический союз «если и только если ..., то». Общая формула: «А ≡ В» (читается: «А эквивалентно Б»). Грамматически эквивалентность выражается также союзами «то-

гда и только тогда, когда», «лишь в том случае, если, то», «только при условии, если, то» и другими.

Примеры:

«Если и только если треугольник равносторонний (А), то он и равноугольный» (В).

«В нормальных условиях вода замерзает (А) тогда и только тогда, когда температура опускается ниже 0°С» (В).

«Страховая премия выплачивается в тех и только в тех случаях (А), когда доказано наличие неумышленного ущерба» (В).

5.2.5 Отрицание суждений

Отрицание - суждение с логическим союзом «неверно, что» или просто «не».

В отличие от бинарных союзов он относится только к одному суждению. Почему тогда мы говорим о сложном суждении? Потому, что прибавление данного союза к любому суждению тут же образует новое суждение, которое находится в определённой зависимости с исходным. Так если исходное суждение - истинное, то отрицание его даёт нам ложное суждение. А если исходное - ложное, то его отрицание приведёт к истинному суждению.

Пример:

Исходное суждение «Все судьи неподкупны» (А). Его отрицание: «Неверно, что все судьи неподкупны» (В) будет эквивалентно суждению «Не все судьи неподкупны».

Записывается отрицание так: ¬А (читается: «не-А»). Если знак «¬» стоит перед сложным суждением, то это значит, что отрицается всё сложное суждение. Например, суждение «Нельзя сказать, что чтение этого романа приятно или полезно» записывается так ¬ (А В) и читается: «неверно, что А либо В».

Подробнее этот тип связи между суждениями мы рассмотрим при анализе отношений по логическому квадрату, что обязательно произойдёт в следующем разделе.

102

Логические союзы, из методических и педагогических соображений рассмотренные порознь, в реальной практике мышления нередко переплетаются друг с другом, образуя порой весьма сложные и даже причудливые мыслительные конструкции.

Например: «судья, народный заседатель, прокурор, секретарь судебного заседания, эксперт и переводчик не могут участвовать в рассмотрении дела и подлежат отводу, если они лично, прямо или косвенно заинтересованы в исходе дела или имеются иные обстоятельства, вызывающие сомнения в их беспристрастности».

В данном предложении в достаточно сжатой форме заключено 36

суждений! Насколько экономична человеческая речь! И как много информации нередко содержат достаточно простые предложения!

Теперь мы подошли к очень трудному вопросу - вопросу об истинности суждений. Прошу быть внимательными.

5.3 НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ ИСТИННОСТИ СЛОЖНЫХ СУЖДЕНИЙ. ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Истинность и ложность простых суждений, как было отмечено в предыдущем модуле, находится вне власти логики. Определение истинности и ложности каждого суждения - дело не логики, а конкретных наук, повседневной практики, наблюдений. Зависят они от добросовестности людей, утверждающих или отрицающих что-либо.

К примеру, истинность суждения «Конфликты являются главной причиной отрицательных эмоций» устанавливается психологией или нашей наблюдательностью.

Ложно или истинно утверждение «Наша Вселенная возникла в результате Большого взрыва»? Понятно, что логика не сможет ответить на данный вопрос. Это проблема астрофизики и космологии.

Сложное суждение - тоже мысль, которая что-то утверждает или отрицает. Она может быть истинной и ложной.

Как установить её истинность?

Поскольку сложные суждения образуются из простых посредством логических союзов, то для определения истинности сложных суждений надо выяснить смысл логических союзов.

Логические союзы не обозначают никаких предметов действительности. Они изобретены людьми как средства связи наших мыслей. Они являются инструментами мышления, не имеющими пря-

103

мых аналогов в реальности. Поэтому вопрос об истинности или ложности высказываний с логическими союзами, об истинности или ложности сложных суждений - это вопрос логики. И решает его только логика.

Издревле люди договорились относительно того, когда логические высказывания с тем или иным логическим союзом считать истинными, а когда - ложными. Конечно, это негласное соглашение скорее всего возникло как результат естественных и объективных процессов формирования человеческого мышления и языка. Постепенно оно закрепилось практикой нашего общения. И усваивается каждым человеком в процессе его воспитания и обучения интуитивно.

Итак, мы договариваемся относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой будем считать истинными, а когда - ложными.

Это наше соглашение достаточно наглядно выражается таблицами (матрицами) истинности, предложенными выдающимся австрийским философом - неотомистом и логиком Людвигом Витгенштейном (1889 - 1951). Строятся таблицы следующим образом:

каждая таблица имеет вход и выход, отделяемые друг от друга двумя вертикальными чертами;

на входе записываются все возможные комбинации истинностных значений простых суждений, из которых составлено рассматриваемое нами сложное суждение. К примеру, суждение состоит из двух простых суждений (переменных, так как простые суждения, входящие в состав сложного, могут быть любыми, меняющимися, переменными) - А и В. Тогда возможны следующие комбинации:

А- истинно, В - истинно;

А- истинно, В - ложно;

А- ложно, В - истинно;

А- ложно, В - ложно.

Если бы переменных было три (А,В,С), то количество комбинаций истинностных значений было бы восемь. При четырёх - шестнадцать. При пяти - тридцать два. И так далее по формуле: 2n.

Здесь цифра 2 обозначает, что каждое простое суждение может иметь только два значения - либо истинное, либо ложное. А n - количество переменных или простых суждений в составе сложного.

В таблице каждая комбинация значений истинности занимает свою отдельную строку;

104

на выходе выписываются значения сложного суждения. Построим общую таблицу для основных логических союзов или

– это одно и то же - для сложных суждений, состоящих из двух простых суждений:

	А	В	А &В	А В	А В	А →В	А ≡В	¬А
1	и	и	и	и	л	и	и	л
2	и	л	л	и	и	л	л	л
3	л	и	л	и	и	и	л	и
4	л	л	л	л	л	и	и	и

Обратите внимание, как на входе записываются значения истинности. Привыкайте с этого момента к правильной записи таблицы (матрицы) истинности.

Конъюнкция истинна только в случае, когда истинны оба простых суждения или обе переменные. Если Вас спросят, при каких условиях будет истинным сложное конъюнктивное суждение «Экономика развивается успешно (А), и все люди счастливы (В)», то Вы согласитесь со мной, что истинным оно будет только при одном том условии, что обе части суждения истинны, то есть и экономика развивается успешно (А), и все люди счастливы (В).

Слабая дизъюнкция истинна в трёх случаях и ложна - в одном: когда обе переменные ложны. Что можно сказать о суждении: «Мы будем изучать математическую (А) или классическую логику (В)»?

Ваша интуиция подскажет Вам, что данное сложное суждение будет истинным в случае 1, 2 и 3, то есть если мы будем изучать обе логики, или одну из двух.

Но если оба простых суждения будут ложными, то есть не доведётся нам изучать ни классической логики, ни математической логики, то тогда и целиком сложное суждение будет ложным.

Строгая дизъюнкция истинна, если один из членов дизъюнкции ложный, а другой - истинный. Исключающая дизъюнкция не может быть истинной, если оба её элемента одновременно ложны или одновременно истинны.

Например: «На предстоящих в США выборах победят либо республиканцы (А), либо демократы (В)». Данное сложное суждение будет ложным, если окажутся истинными оба дизъюнкта, то есть вдруг победят на выборах одновременно и та, и другая американские политические партии. Будет сложное суждение ложным и в

105

случае, если ложными окажутся обе его составные части, то есть проиграют на выборах и республиканцы, и демократы.

Не вызовет затруднений и таблица для эквивалентности. Раз мы утверждаем эквивалентность двух высказываний, то сложное суждение, состоящее из двух простых будет истинным, когда оба члена эквиваленции либо одновременно истинны, либо вместе ложны. Например: «Слон голоден (А) тогда и только тогда, когда он давно не ел (В)».

Импликация или импликативное суждение истинно в трёх случаях и ложно - в одном, когда основание истинно, а следствие ложно.

Жан-Жак Руссо утверждал: «Вам никогда не удастся создать мудрецов (В), если будете убивать в детях шалунов (А)».

Но, допустим, Вам удастся покончить с детскими шалостями, то есть будет подтверждена истинность основания импликации. И вместе с тем в результате вырастут мудрые люди, то есть следствие окажется ложным. Это будет означать, что утверждение Ж. Руссо не имеет права считаться истинным.

Во всех остальных случаях истинность его не вызывает сомнений.

Можете самостоятельно поиграть со значениями простых суждений. А можно просто запомнить, при каких условиях истинно или ложно импликативное суждение.

Значение отрицания, думается, очевидно: если А - истинно, то не-А будет ложным. И наоборот.

В заключении данного раздела рассмотрим, как пользоваться таблицей для определения истинности - ложности сложного суждения.

Первое задание.

Постройте таблицу истинности для следующего сложного суждения: (А В) → (А & В).

Строим таблицу. В ней сначала определяем значения истинности суждений, заключённых в скобки, а затем - между ними. Примерно тот же порядок, что и при выполнении арифметических действий.

А	В	А В	А & В	(А В) → (А & В)
и	и	и	и	и
и	л	и	л	л
л	и	и	л	л
л	л	л	л	и

106

Второе задание.

Если А истинно, то можно ли что-нибудь сказать об истинност-

ном значении следующего выражения: ¬А (¬А & В)? Строим таблицу:

А	В	¬А	¬А & В	¬А (¬А & В)
и	и	л	л	л
и	л	л	л	л
л	и	и	и	и
л	л	и	л	и

Пометьте для себя ещё один существенный момент: для того, чтобы табличным способом проверять истинность тех или иных сложных суждений, содержащихся в наших высказываниях, важно научиться правильно записывать в символической форме эти суждения. Для этого необходимо

-вычленить из сложных речевых конструкций простые, далее неразложимые суждения - мысли, и

-чётко угадать логический смысл многозначных грамматических союзов и (или) тип логической связи между простыми суждениями, из которых состоит суждение сложное.

Например, запишем в символической форме суждения:

1) «Идёт дождь, но нельзя сказать, что жарко».

Рассуждаем так: первое суждение «Идёт дождь» (А); второе - «На улице сейчас жарко» (В). Первое - утверждается, второе - отрицает-

ся, связь - конъюнктивная. Записываем символически: А & ¬В (читается: «А и не-В»).

2) «Картины Рембрандта известны каждому художнику».

В данном простом предложении содержится сложное импликативное (условное) суждение «Если человек является художником (А), то он обязательно знает картины Рембрандта (В)». И записыва-

ется оно так: А → В.

3) «Подальше положишь (А), поближе возьмёшь (В)».

Это импликативное (условное) суждение. Его символическая за-

пись: А → В.

4) Более сложный пример: «Можно сказать, что неверно, что

Иван IY был зол по природе и не заботился об интересах государства тогда и только тогда, когда, когда Иван IY не был зол по природе или заботился об интересах государства».

Здесь два простых суждения «Иван IY был зол по природе» (А) и «Иван IY заботился об интересах государства» (В), а также три отрицания, конъюнкция, дизъюнкция и эквиваленция. И записывается

сложное суждение следующим образом: ¬ (А & ¬ В) ≡ (¬ А В).

107

5.4 ЛОГИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СУЖДЕНИЯМИ

Так же, как и между понятиями, между суждениями существуют определённые логические отношения. Суждения, как и понятия, могут быть сравнимыми и несравнимыми, совместимыми и несовместимыми. Но есть и принципиальное различие. Понятия, поскольку они ни истинны, ни ложны, не могут соотноситься друг с другом с точки зрения истинности или ложности. А между суждениями складываются многообразные отношения прежде всего по истинности и ложности. Причём, это касается как простых, так и сложных суждений. Логические отношения между сложными суждениями достаточно сложны. Поэтому в данном курсе мы их рассматривать не будем. А вот без знания и понимания отношений между простыми суждениями нам не обойтись.

Все отношения между простыми суждениями делятся на атрибутивные и реляционные. Нас будут интересовать только атрибутивные отношения между простыми категорическими суждениями. Они в свою очередь делятся на сравнимые и несравнимые.

Несравнимые - суждения, у которых разные субъекты, разные предикаты или разные и субъекты, и предикаты.

К примеру, в таких отношениях находятся суждения «Закон суров», «Космос необъятен», «Энергия сохраняется», «Вечный двигатель возможен».

В подобной ситуации истинность или ложность одного из суждений не зависит непосредственно от истинности или ложности другого. Они определяются отношением к действительности - соответствием или несоответствием ей.

Правда, в условиях универсальной связи и взаимодействия предметов и процессов действительности суждения о них не могут быть абсолютно независимыми друг от друга. Очевидна лишь их относительная самостоятельность и независимость с точки зрения их истинности или ложности.

Так, если истинно суждение «Энергия сохраняется» (а не исчезает и не возникает из ничего), то будет ложным суждение «Вечный двигатель возможен». Хотя по конкретному содержанию они не имеют ничего общего (ни S, ни Р), то есть являются несравнимыми.

Сравнимые суждения - суждения, имеющие одинаковые S и Р, но различающиеся по количеству и качеству (то есть по логической форме).

108

Для систематизации и наглядного представления отношений между сравнимыми суждениями был придуман (предположительно в XI веке византийским философом Михаилом Псёллом) ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ:

Теперь мы будем рассматривать отношения между суждениями, обращаясь постоянно к данному квадрату.

Отметьте для себя, что дальше вместо слов «общеутвердительное суждение», «общеотрицательное суждение», «частноутвердительное суждение» и «частноотрицательное суждение» будут использоваться их символы А, Е, I и О.

Всесравнимыесуждения делятсянасовместимыеинесовместимые.

5.4.1 Совместимые суждения Совместимые - суждения, полностью или частично содержа-

щие одну и ту же мысль.

Между совместимыми суждениями возникают отношения а) эквивалентности (равнозначности), б) подчинения, в) частичного совпадения.

Эквивалентные - отношения между суждениями, у которых S и Р выражены одними и теми же равнозначными понятиями (хотя и разными словами), причём количество и качество одни и те же.

109

Пример:

«Все адвокаты - юристы» и «Все защитники в суде имеют специальное юридическое образование» - эквивалентные суждения.

Налогическомквадратеотмечено, чтоА ≡А, Е≡Е, I ≡ I, О≡О. Отношения между такого рода суждениями по их истинности или

ложности характеризуются взаимооднозначным соответствием: они или одновременно истинны, или одновременно ложны.

Подчинение - отношения между суждениями, у которых качество одно и то же, а количество различно.

В таком отношении находятся

общеутвердительные (А) и частноутвердительные (I) суждения; общеотрицательные (Е) и частноотрицательные (О) суждения. Суждения А и Е - подчиняющие, суждения I и О - подчинённые. При подчинении действуют следующие закономерности (запо-

минаем старательно):

из истинности подчиняющего (А или Е) однозначно следует истинность соответствующего подчинённого (I или О), но ни в коем случае не наоборот;

из ложности подчинённого (I или О) следует ложность соответствующего подчиняющего (А или Е), но ни в коем случае не наоборот.

Записываются эти закономерности нашего мышления так:

А(и) → I (и) (читается: «из истинности А следует истинность I»);

А(л) → (I (и) & I (л)) (читается: «из ложности А может следовать

иистинное I, и ложное I»).

Е (и) → О (и); Е (л) → (О (л) & О (и)); I (л) → А (л); I (и) → (А (и) &А (л)); О (л) → Е (л); О (и) → (Е (и) & Е (л)).

Рассмотрим примеры:

«Все адвокаты - юристы» → «По крайней мере некоторые адвокаты - юристы». То есть, если первое суждение (А) истинно, то второе (I), подчинённое ему, всегда будет истинным.

«Некоторые свидетели правдивы» и «Все свидетели правдивы». Здесь первое суждение (I) истинно, но общеутвердительное (А), подчиняющее суждение, может быть в таком случае и истинным, и

ложным.

Рассмотрим ложное суждение I: «Некоторые граждане вправе нарушать законы». Ложным, вне сомнения, будет и подчиняющее его общеутвердительное (А): «Все граждане вправе нарушать законы».

110